内蒙古鄂尔多斯西部四旗2019届高三上学期期末考试数学（理）试题 含解析 22页

2018-2019 学年高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（本题共 12 个小题） 1．已知集合 A＝{x|x（x﹣2）＞0}，B＝{x|2x＜1}，则 A∩B＝（ ） A．（0，1） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，0） D．（1，+∞） 2．复数 ＝1﹣i， 为 z 的共轭复数，则 +i ＝（ ） A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i 3．甲、乙两名学生在之前五次物理测试中成绩的茎叶图，如图，（ ） ①甲的平均成绩低，方差较大 ②甲的平均成绩低，方差较小 ③乙的平均成绩高，方差较大 ④乙的平均成绩高，方差较小 A．①④ B．②③ C．①③ D．③④ 4．已知双曲线中心为原点，焦点在 x 轴上，过点（ ，2），且渐近线方程为 y＝±2x， 则该双曲线的方程为（ ） A．x2﹣ ＝1 B．x2﹣4y2＝2 C．x2﹣ ＝1 D．x2﹣2y2＝1 5．已知 x，y 满足不等式组 ，则 z＝3x﹣2y 的最小值为（ ） A． B．﹣ C．2 D．﹣2 6．若非零向量 ， 满足| |＝ | |，且（ + ）⊥（3 ﹣2 ），则 与 的夹角为（ ） A． B． C． D． 7．如图所示的程序框图，若输入 m＝10，则输出的 S 值为（ ） A．10 B．21 C．33 D．47 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 9．已知函数 f（x）是奇函数，且 x≥0 时，f（x）＝2x+x+a，g（x）＝ ， 若函数 y＝g（x）+2x﹣b 有 2 个零点，则 b 的取值范围是（ ） A．（1，2] B．[2，4） C．（﹣∞，4] D．[4，+∞） 10．设 O 为坐标原点，M 为圆（x﹣3）2+（y﹣1）2＝2 的圆心，且圆上有一点 C（x0，y0）满 足 • ＝0，则 ＝（ ） A．1 或﹣7 B．﹣1 或 7 C． 或﹣1 D．1 或﹣ 11．已知函数 f（x）＝sin（ωx+ ）+ （ω＞0），x∈R，且 f（α）＝﹣ ，f（β） ＝ ．若|α﹣β|的最小值为 ，则函数 f（x）的单调递增区间为（ ） A．[2kπ﹣ ，2kπ+ ]（k∈Z） B．[kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z） C．[2kπ+ ，2kπ+ ]（k∈Z） D．[kπ﹣ ，kx+ ]（k∈Z） 12．已知∀x∈R 有 f（﹣x）+2f（x）＝（ex+2e﹣x）（x2﹣3），若函数 f（x）在（m，m+1） 上是增函数，则实数 m 的取值范围为（ ） A．[﹣1，2] B．[2，+∞） C．[0，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．（2x+ ）6 的展开式中，x3 的系数为 192，则 a＝ ． 14．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ＝ 则 sin（A﹣ ） ＝ ． 15．已知三棱锥 P﹣ABC 的外接球的球心 O 在 AB 上，且二面角 P﹣AB﹣C 的大小为 120°， 若三棱锥 P﹣ABC 的体积为 ，PA＝PB＝AC＝BC，则球 O 的表面积为 ． 16．已知 O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y2＝2x 的焦点，直线 l：y＝m（2x﹣1）与抛物线 C 交于 A，B 两点，点 A 在第一象限，若|AF|＝2|BF|，则 m 的值为 ． 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. 17．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 2a2﹣a4＝20，S3﹣2a1＝8． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）当 n 为何值时，数列{an}的前 n 项和最大？ 18．已知四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面是边长为 2 的菱形，且 BC＝BD，DD1⊥平面 ABCD，AA1 ＝1，BE⊥CD 于点 E，点 F 是 A1B1 中点． （Ⅰ）求证：AF∥平面 BEC1； （Ⅱ）求平面 ADF 和平面 BEC1 所成锐二面角的余弦值． 19．某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取 50 条作为样本进行统计， 按海鱼重量（克）得到如图的频率分布直方图： （Ⅰ）若经销商购进这批海鱼 100 千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用 该区间的中点值作代表）； （Ⅱ）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表： 等级 一等品 二等品 三等品 重量（g） [165，185] [155，165） [145，155） 若经销商以这 50 条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这 批海鱼中随机抽取 3 条，记抽到二等品的条数为 X，求 x 的分布列和数学期望． 20．已知椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，焦距为 2c，直线 bx﹣y+ a＝ 0 过椭圆的左焦点． （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）若直线 bx﹣y+2c＝0 与 y 轴交于点 P，A，B 是椭圆 C 上的两个动点，∠APB 的平 分线在 y 轴上，|PA|≠|PB|．试判断直线 AB 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若 不过定点，请说明理由． 21．设 f（x）＝xlnx+ax2，a 为常数． （1）若曲线 y＝f（x）在 x＝1 处的切线过点 A（0，﹣2），求实数 a 的值； （2）若 f（x）有两个极值点 x1，x2 且 xl＜x2 ①求证： ＜a＜0 ②求证：f （x2）＞f （x1）＞ ． [选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆 C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、（ ，0）为一个顶点．直线 l 的参数方程是 ，（t 为参数）． （Ⅰ）求椭圆 C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线 l 与椭圆 C 的交点分别为 M（x1，y1），N（x2，y2），求线段 MN 的长度． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）＝|x+3|﹣2． （Ⅰ）解不等式|f（x）|＜4； （Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤|x﹣1|﹣t2+4t﹣1 恒成立，求实数 t 的取值范围． 参考答案 一、选择题（本题共 12 个小题） 1．已知集合 A＝{x|x（x﹣2）＞0}，B＝{x|2x＜1}，则 A∩B＝（ ） A．（0，1） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，0） D．（1，+∞） 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可． 解：A＝{x|x＜0 或 x＞2}，B＝{x|x＜0}， ∴A∩B＝（﹣∞，0）． 故选：C． 2．复数 ＝1﹣i， 为 z 的共轭复数，则 +i ＝（ ） A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i 【分析】把已知代入 +i ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解：∵ ＝1﹣i，∴z＝1+i， 则 +i ＝ ＝1﹣i+1+i＝2． 故选：A． 3．甲、乙两名学生在之前五次物理测试中成绩的茎叶图，如图，（ ） ①甲的平均成绩低，方差较大 ②甲的平均成绩低，方差较小 ③乙的平均成绩高，方差较大 ④乙的平均成绩高，方差较小 A．①④ B．②③ C．①③ D．③④ 【分析】根据茎叶图所给的两组数据，算出甲和乙的平均数，把两个人的平均数进行比 较，得到乙的平均数大于甲的平均数，再结合极差的大小即可求出结论． 解：由茎叶图知， 甲的平均数是 ═78； 乙的平均数是 ═81， 且甲的极差为：96﹣63＝33； 乙的极差为 97﹣69＝28； 所以乙更稳定，故乙的方差较小，甲的方差较大； 故正确的说法为①④； 故选：A． 4．已知双曲线中心为原点，焦点在 x 轴上，过点（ ，2），且渐近线方程为 y＝±2x， 则该双曲线的方程为（ ） A．x2﹣ ＝1 B．x2﹣4y2＝2 C．x2﹣ ＝1 D．x2﹣2y2＝1 【分析】首先根据条件中的渐近线方程，可设双曲线方程为 4x2﹣y2＝λ，λ≠0，把点 的坐标代入即可求出结果． 解：∵渐近线方程为 2x±y＝0， 设双曲线方程为 4x2﹣y2＝λ，λ≠0， 将 P（ ，2）的坐标代入方程得 4（ ）2﹣22＝λ， 求得λ＝4， 则该双曲线的方程为 x2﹣ ＝1， 故选：C． 5．已知 x，y 满足不等式组 ，则 z＝3x﹣2y 的最小值为（ ） A． B．﹣ C．2 D．﹣2 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 解：由约束条件 作出可行域如图， A（0，1）， 化目标函数 z＝3x﹣2y 为 ， 由图可知，当直线 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最小值为﹣2． 故选：D． 6．若非零向量 ， 满足| |＝ | |，且（ + ）⊥（3 ﹣2 ），则 与 的夹角为（ ） A． B． C． D． 【分析】根据平面向量的数量积求夹角即可． 解：非零向量 ， 满足| |＝ | |，且（ + ）⊥（3 ﹣2 ）， 则（ + ）•（3 ﹣2 ）＝3 + • ﹣2 ＝0， 解得 • ＝2 ﹣3 ＝2• ﹣3 ＝ ， 所以 cosθ＝ ＝ ＝ ； 又θ∈[0，π]， 所以θ＝ ，即 与 的夹角为 ． 故选：A． 7．如图所示的程序框图，若输入 m＝10，则输出的 S 值为（ ） A．10 B．21 C．33 D．47 【分析】按照程序图一步一步计算，直到跳出循环． 解：m＝10，k＝10，s＝0； 不满足条件 k＞m+2，s＝10，k＝11； 不满足条件 k＞m+2，s＝21，k＝12； 不满足条件 k＞m+2，s＝33，k＝13， 满足条件 k＞m+2，退出循环，输出 s 的值为 33． 故选：C． 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 【分析】由三视图可知，几何体是三棱柱与四棱锥的组合体，利用三视图的数据，即可 求出该几何体的体积． 解：由题意可知几何体是组合体，左侧是四棱锥右侧是三棱柱，如图： 棱锥的高为 2，底面正方形的边长为 2，三棱柱的底面等腰三角形的底边长为 2，高为 2． 所以几何体的体积为： ＝ ． 故选：B． 9．已知函数 f（x）是奇函数，且 x≥0 时，f（x）＝2x+x+a，g（x）＝ ， 若函数 y＝g（x）+2x﹣b 有 2 个零点，则 b 的取值范围是（ ） A．（1，2] B．[2，4） C．（﹣∞，4] D．[4，+∞） 【分析】根据定义在 R 上的奇函数的性质，f（0）＝0，可求出 a 的值； 函数 y＝g（x）+2x﹣b 有 2 个零点等价于函数 y＝g（x）+2x 的图象与直线 y＝b 有两个 交点， 数形结合，由图即可求出 b 的取值范围． 解：因为函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，所以 f（0）＝0，即 20+0+a＝0，解得 a＝ ﹣1． 函数 y＝g（x）+2x﹣b 有 2 个零点等价于函数 y＝g（x）+2x 的图象与直线 y＝b 有两个 交点， y＝g（x）+2x＝ ，作出其图象， 由图可知，2≤b＜4． 故选：B． 10．设 O 为坐标原点，M 为圆（x﹣3）2+（y﹣1）2＝2 的圆心，且圆上有一点 C（x0，y0）满 足 • ＝0，则 ＝（ ） A．1 或﹣7 B．﹣1 或 7 C． 或﹣1 D．1 或﹣ 【分析】利用 • ＝0 可知 OC⊥CM，即 OC 是圆 M 的切线，故 ＝ ，由此即 可求解． 解：∵ ， ∴OC⊥CM； ∴OC 是圆 M 的切线， 设直线 OC：y＝kx， 则 ＝ ， 解得 ． 故选：D． 11．已知函数 f（x）＝sin（ωx+ ）+ （ω＞0），x∈R，且 f（α）＝﹣ ，f（β） ＝ ．若|α﹣β|的最小值为 ，则函数 f（x）的单调递增区间为（ ） A．[2kπ﹣ ，2kπ+ ]（k∈Z） B．[kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z） C．[2kπ+ ，2kπ+ ]（k∈Z） D．[kπ﹣ ，kx+ ]（k∈Z） 【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的单调区间． 解：函数 f（α）＝﹣ ，f（β）＝ ．若|α﹣β|的最小值为 ， 所以 T＝ ，解得ω＝2． 所以 f（x）＝sin（2x+ ）+ ， 令 （k∈Z）， 整理得 （k∈Z）， 所以函数的单调递增区间为：[ ]（k∈Z） 故选：B． 12．已知∀x∈R 有 f（﹣x）+2f（x）＝（ex+2e﹣x）（x2﹣3），若函数 f（x）在（m，m+1） 上是增函数，则实数 m 的取值范围为（ ） A．[﹣1，2] B．[2，+∞） C．[0，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） 【分析】利用 f（﹣x）+2f（x）＝（ex+2e﹣x）（x2﹣3），可以得出 f（x）+2f（﹣x） ＝（e﹣x+2ex）（x2﹣3）；联立可以解出 f（x）的解析式，再利用导数求出其单调性即可 求解； 解：∵f（﹣x）+2f（x）＝（ex+2e﹣x）（x2﹣3）， ∴f（x）+2f（﹣x）＝（e﹣x+2ex）（x2﹣3）； ∴ ， ∴ ； 令 f′（x）≥0，则﹣1≤x≤3； ∴f（x）的单调递增区间为[﹣1，3]， ∴ ； ∴﹣1≤m≤2 故选：A． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．（2x+ ）6 的展开式中，x3 的系数为 192，则 a＝ 1 ． 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出 x3 的系数，再根据 x3 的系数为 192， 求得 a 的值． 解：（2x+ ）6 的展开式中，通项公式为 Tr+1＝ •26﹣r•ar•x6﹣3r， 令 6﹣3r＝3，求得 r＝1，故 x3 的系数为 6×25•a＝192，则 a＝1， 故答案为：1． 14．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ＝ 则 sin（A﹣ ） ＝ ． 【分析】由已知结合正弦定理及余弦定理可求 A，然后代入即可求解． 解：∵ ＝ ， 由正弦定理可得， ， 整理可得，b2+c2﹣a2＝bc， 由余弦定理可得，cosA＝ ， ∵0＜A＜π， ∴A＝ ， 则 sin（A﹣ ）＝sin ＝ ． 故答案为： 15．已知三棱锥 P﹣ABC 的外接球的球心 O 在 AB 上，且二面角 P﹣AB﹣C 的大小为 120°， 若三棱锥 P﹣ABC 的体积为 ，PA＝PB＝AC＝BC，则球 O 的表面积为 16π ． 【分析】根据题给信息，利用等腰三角形常作辅助线能够证出对棱垂直，再利用对棱垂 直时的体积公式进行求解． 解：设球半径为 r，则 OA＝OB＝OC＝OP＝r，所以 O 是 AB 的中点， 因为 PA＝PB，AC＝BC，所以 OP⊥AD，OC⊥AB，所以 AB⊥平面 OPC， 所以体积 ＝ ，所以 r＝2， 所以球的表面积 S＝4πr2＝16π． 故答案为：16π． 16．已知 O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y2＝2x 的焦点，直线 l：y＝m（2x﹣1）与抛物线 C 交于 A，B 两点，点 A 在第一象限，若|AF|＝2|BF|，则 m 的值为 ． 【分析】求得抛物线的焦点坐标，设 A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＞0，y1＞0），联 立直线 l 的方程和抛物线方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可得 m 的 值． 解：y2＝2x 的焦点 F（ ，0）， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＞0，y1＞0）， 直线 l：y＝m（2x﹣1）（m＞0）与抛物线 y2＝2x 联立，可得 4m2x2﹣（2+4m2）x+m2＝0， 即有 x1x2＝ ①，x1+x2＝1+ ②， 由题意可得 ＝2 ，即为 ﹣x1＝2（x2﹣ ），即 x1+2x2＝ ③， 由①③可得 x1＝1，x2＝ （x1＝x2＝ 舍去）， 代入②可得 1+ ＝1+ ，解得 m＝ （负的舍去）， 故答案为： ． 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. 17．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 2a2﹣a4＝20，S3﹣2a1＝8． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）当 n 为何值时，数列{an}的前 n 项和最大？ 【分析】（I）设等差数列{an}的公差为 d，由 2a2﹣a4＝20，S3﹣2a1＝8．利用通项公式 可得 2（a1+d）﹣（a1+3d）＝20，3a1+3d﹣2a1＝8，解出即可得出． （Ⅱ）令 an≥0，解得 n． 解：（I）设等差数列{an}的公差为 d，∵2a2﹣a4＝20，S3﹣2a1＝8． ∴2（a1+d）﹣（a1+3d）＝20，3a1+3d﹣2a1＝8， 联立解得：a1＝17，d＝﹣3． ∴an＝17﹣3（n﹣1）＝20﹣3n． （Ⅱ）令 an＝20﹣3n≥0，解得 n≤ ． ∴当 n＝6 时，数列{an}的前 n 项和最大． 18．已知四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面是边长为 2 的菱形，且 BC＝BD，DD1⊥平面 ABCD，AA1 ＝1，BE⊥CD 于点 E，点 F 是 A1B1 中点． （Ⅰ）求证：AF∥平面 BEC1； （Ⅱ）求平面 ADF 和平面 BEC1 所成锐二面角的余弦值． 【分析】（Ⅰ）根据边长与相应的倍数关系，构造平行四边形，即可证明线面平行； （Ⅱ）根据题给条件建立空间直角坐标系，得出相应点的坐标，即可求解． 【解答】（Ⅰ）证明：因为 BC＝BD，BE⊥CD，∴E 是 CD 的中点， 取 AB 中点 G，连 B1G，GE，则在菱形 ABCD 中，EG∥BC，EG＝BC， 因为 BC∥B1C1，BC＝B1C1，所以 EG∥B1C1，EG＝B1C1， ∴四边形 B1C1EG 为平行四边形，所以 C1E∥B1G， 又 B1F∥GA，B1F＝GA，∴四边形 B1GAF 为平行四边形， ∴AF∥B1G，所以 AF∥C1E， 又 AF⊄ 平面 BEC1，C1E⊂平面 BEC1，∴AF∥平面 BEC1． （Ⅱ）解：以 D 为原点，以 DC，DG，DD1，分别为 x，y，z 建立如图所示的空间直角坐标 系， 因为已知该四棱柱为直四棱柱，BC＝BD，BC＝CD， 所以三角形 BCD 为等边三角形， 因为 BE⊥CD，所以点 E 是 CD 的中点， 故 点 ， ， ， 设平面 ADF 的法向量 ， ， 由 ，得 ， 取 y＝1，得 ，故 ， 因为 ， 所以 ，所以 是平面 BEC1 的法向量， 设平面 ADF 和平面 BEC1 所成锐角为θ， 则 ， 即平面 ADF 和平面 BEC1 所成锐角的余弦值为 ． 19．某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取 50 条作为样本进行统计， 按海鱼重量（克）得到如图的频率分布直方图： （Ⅰ）若经销商购进这批海鱼 100 千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用 该区间的中点值作代表）； （Ⅱ）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表： 等级 一等品 二等品 三等品 重量（g） [165，185] [155，165） [145，155） 若经销商以这 50 条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这 批海鱼中随机抽取 3 条，记抽到二等品的条数为 X，求 x 的分布列和数学期望． 【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图先求出每条海鱼平均重量，由此能估计这批海鱼有多 少条． （Ⅱ）从这批海鱼中随机抽取 3 条，[155，165）的频率为 0.04×10＝0.4，则 X～B（3， 0.4），由此能求出 X 的分布列和数学期望． 解：（Ⅰ）由频率分布直方图得每条海鱼平均重量为： ＝150×0.016×10+160×0.040×10+170×0.032×10+180×0.012×10＝164（g）， ∵经销商购进这批海鱼 100 千克， ∴估计这批海鱼有：（100×1000）÷164≈610（条）． （Ⅱ）从这批海鱼中随机抽取 3 条，[155，165）的频率为 0.04×10＝0.4， 则 X～B（3，0.4）， P（X＝0）＝ ＝0.216， P（X＝1）＝ ＝0.432， P（X＝2）＝ ＝0.288， P（X＝3）＝ ＝0.064， ∴X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.216 0.432 0.288 0.064 ∴E（X）＝3×0.4＝1.2． 20．已知椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，焦距为 2c，直线 bx﹣y+ a＝ 0 过椭圆的左焦点． （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）若直线 bx﹣y+2c＝0 与 y 轴交于点 P，A，B 是椭圆 C 上的两个动点，∠APB 的平 分线在 y 轴上，|PA|≠|PB|．试判断直线 AB 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若 不过定点，请说明理由． 【分析】（Ⅰ）因为直线 bx﹣y+ a＝0 过椭圆的左焦点，故令 y＝0，得 x＝﹣ ＝ ﹣c，又因为离心率为 ，从而求出 b＝2，又因为 a2＝b2+c2，求出 a 的值，从而求出椭 圆 C 的标准方程； （Ⅱ）先求出点 P 的坐标，设直线 AB 的方程为 y＝kx+m，联立方程组，利用根与系数的 关系，设 A（x1，y1），B（x2，y2），得到 k1+k2＝ ，又因为∠APB 的平分线在 y 轴上，所以 k1+k2＝0，从而求出 m 的值，得到直线 AB 的方程为 y＝kx+1 过定点坐标． 解：（Ⅰ）因为直线 bx﹣y+ a＝0 过椭圆的左焦点， 故令 y＝0，得 x＝﹣ ＝﹣c， ∴ ＝ ＝ ，解得 b＝2， 又∵a2＝b2+c2＝b2+ ，解得 a＝2 ， ∴椭圆 C 的标准方程为： ； （Ⅱ）由（Ⅰ）得 c＝ a＝2， ∴直线 bx﹣y+2c＝0 的方程为 2x﹣y+4＝0， 令 x＝0 得，y＝4，即 P（0，4）， 设直线 AB 的方程为 y＝kx+m， 联立方程组 ，消去 y 得，（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣8＝0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴x1+x2＝﹣ ，x1x2＝ ， 则直线 PA 的斜率 k1＝ ＝k+ ， 则直线 PB 的斜率 k2＝ ＝k+ ， 所有 k1+k2＝2k+ ＝2k+ ＝ ， ∵∠APB 的平分线在 y 轴上， ∴k1+k2＝0，即 ＝0， 又|PA|≠|PB|，∴k≠0，∴m＝1， ∴直线 AB 的方程为 y＝kx+1，过定点（0，1）． 21．设 f（x）＝xlnx+ax2，a 为常数． （1）若曲线 y＝f（x）在 x＝1 处的切线过点 A（0，﹣2），求实数 a 的值； （2）若 f（x）有两个极值点 x1，x2 且 xl＜x2 ①求证： ＜a＜0 ②求证：f （x2）＞f （x1）＞ ． 【分析】（1）求出函数 f（x）的导数，求得切线的斜率，由两点的斜率公式计算即可 得到 a＝1； （2）①由题意可得 f′（x）＝0 有两个不等的实根 x1，x2，且 0＜x1＜x2，设 g（x）＝ lnx+1+2ax，求出导数，对 a 讨论，分 a≥0，a＜0，求出单调区间和极值，令极大值大 于 0，即可得到 a 的范围； ②由上可知，f（x）在（x1，x2）递增，即有 f（x2）＞f（x1），求出 x1∈（0，1），设 h（x）＝ （xlnx﹣x），0＜x＜1，求出导数，判断单调性，运用单调性，即可得到所 求范围． 解：（1）f（x）＝xlnx+ax2 的导数为 f′（x）＝lnx+1+2ax， 在 x＝1 处的切线斜率为 k＝1+2a，切点为（1，a）， 在 x＝1 处的切线过点 A（0，﹣2），则 k＝1+2a＝a+2， 解得 a＝1； （2）证明：①由题意可得 f′（x）＝0 有两个不等的实根 x1，x2，且 0＜x1＜x2， 设 g（x）＝lnx+1+2ax，g′（x）＝ +2a，x＞0． 当 a≥0，则 g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，不合题意； 当 a＜0 时，g′（x）＞0 解得 x＜﹣ ，g′（x）＜0 解得 x＞﹣ ， 即有 g（x）在（0，﹣ ）递增，在（﹣ ，+∞）递减． 即有 g（﹣ ）＝ln（﹣ ）＞0，解得﹣ ＜a＜0； ②由上可知，f（x）在（x1，x2）递增，即有 f（x2）＞f（x1）， f′（1）＝g（1）＝1+2a＞0，则 x1∈（0，1），由①可得 ax1＝ ， 即有 f（x1）＝x1lnx1+ax1 2＝ （x1lnx1﹣x1）， 设 h（x）＝ （xlnx﹣x），0＜x＜1， h′（x）＝ lnx＜0 在（0，1）恒成立， 故 h（x）在（0，1）递减，故 h（x）＞h（1）＝﹣ ， 由此可得 f（x1）＞﹣ ， 综上可得，f （x2）＞f （x1）＞ ． [选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆 C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、（ ，0）为一个顶点．直线 l 的参数方程是 ，（t 为参数）． （Ⅰ）求椭圆 C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线 l 与椭圆 C 的交点分别为 M（x1，y1），N（x2，y2），求线段 MN 的长度． 【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转 换． （Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系的应用及一元二次方程根和系数关系式的应用求出结 果． 解：（Ⅰ）椭圆 C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、（ ，0） 为一个顶点． 所以 c＝1，a＝ ，b＝1， 所以椭圆的方程为 ，转换为极坐标方程为 ． （Ⅱ）直线 l 的参数方程是 ，（t 为参数）．转换为直角坐标方程为 2x+y﹣2＝ 0． 设交点 M（x1，y1），N（x2，y2）， 所以 ，整理得 9x2﹣16x+6＝0， 所以 ， ， 所以 |x1﹣x2|＝ ＝ ． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）＝|x+3|﹣2． （Ⅰ）解不等式|f（x）|＜4； （Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤|x﹣1|﹣t2+4t﹣1 恒成立，求实数 t 的取值范围． 【分析】（Ⅰ）由绝对值不等式的解法，化简可得所求解集； （Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤|x﹣1|﹣t2+4t﹣1 恒成立，可得|x+3|﹣|x﹣1|≤﹣t2+4t+1 恒成立，由绝对值不等式的性质可得不等式左边的最大值，运用二次不等式的解法，可 得所求范围． 解：（Ⅰ）函数 f（x）＝|x+3|﹣2， 不等式|f（x）|＜4 即为﹣4＜f（x）＜4， 即﹣4＜|x+3|﹣2＜4，即有﹣2＜|x+3|＜6， 所以|x+3|＜6，即﹣6＜x+3＜6，可得﹣9＜x＜3， 则原不等式的解集为（﹣9，3）； （Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤|x﹣1|﹣t2+4t﹣1 恒成立， 可得|x+3|﹣|x﹣1|≤﹣t2+4t+1 恒成立， 由|x+3|﹣|x﹣1|≤|（x+3）﹣（x﹣1）|＝4， 可得﹣t2+4t+1≥4，即 t2﹣4t+3≤0， 解得 1≤t≤3． 则实数 t 的取值范围是[1，3]．