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- 2021-06-11 发布
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第三讲 等比数列及其前n项和
1.[2020陕西省部分学校摸底检测]等比数列{an}中,若an>0,a2a4 =1,a1+a2+a3 =7,则公比q =( )
A.14 B.12 C.2 D.4
2.[2020南昌市测试]公比不为1的等比数列{an}中,若a1a5 =aman,则mn不可能为( )
A.5 B.6 C.8 D.9
3.[2020惠州市一调]等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,若S6 =9S3,S5 =62,则a1 =( )
A.2 B.2 C.5 D.3
4.[2020成都市高三摸底测试]已知等比数列{an}的各项均为正数,若log3a1+log3a2+…+log3a12 =12,则a6a7 =( )
A.1 B.3 C.6 D.9
5.[2020大同市高三调研]已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3 =5,a7a8a9 =10,则a4a5a6 = .
6.[2019长春市高三第一次质量监测]各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S6 =30,S9 =70,则S3 =.
7.[2020河北邢台月考]已知等比数列{an}的前n项和Sn =3n-1-m,m∈R.
(1)求m及an;
(2)记bn =an+log3an,求数列{bn}的前n项和Tn.
8.[2020石家庄市重点高中高三摸底测试]已知等比数列{an}满足:a1 =4,Sn =pan+1+m(p>0),则p-1m取最小值时,数列{an}的通项公式为( )
A.an =4×3n-1 B.an =3×4n-1C.an =2n+1 D.an =4n
9.[2019长春市高三质量监测]已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若公比q =2,则a1+a3+a5S6 =( )
A.13 B.17 C.23 D.37
10.设Tn为等比数列{an}的前n项之积,且a1 =-6,a4 =-34,则当Tn最大时,n的值为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
11.[2020安徽省示范高中名校联考]设Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和,a1 =3,若-a4,a3,a5成等差数列,则Sn与an的关系式为 .
12.[2019河南新乡一模]设Sn是数列{an}的前n项和,且a1 =1,(n+1)an+1 =(n-1)Sn,则Sn = .
13.已知公比q>1的等比数列{an}满足a52 =a10,2(an+an+2) =5an+1.若bn =(n-λ)an(n∈N*),且数列{bn}是递增数列,则实数λ的取值范围是 .
14.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知数列{an}是等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,且a3 =3,S3 =9.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn =log23a2n+3,且{bn}为递增数列,若cn =4bnbn+1,求证:c1+c2+c3+…+cn<1.
15.[2019河北廊坊省级示范高中联考]在数列{an}中,a1 =1,an+1an =4(n+1)2n(n+2),设bn =n+1n·an.
(1)证明数列{bn}是等比数列;
(2)求{an}的前n项积Tn.
第三讲 等比数列及其前n项和
1.B 解法一 由题意得q>0,a1>0,因为a2a4=1,a1+a2+a3=7,所以a1q·a1q3=1,a1+a1q+a1q2=7,解得a1=4,q=12,故选B.
解法二 由等比数列的性质得a32=a2a4=1,结合an>0,得a3=1.由a1+a2+a3=7,得a3q2+a3q+a3=7,则1q2+1q=6,结合q>0,解得q=12,故选B.
2.B 由等比数列的性质可知,m+n=6,m∈N*,n∈N*,当m=n=3时,mn=9;当m=4,n=2时,mn=8;当m=5,n=1时,mn=5.故选B.
3.B 由题意可得q≠1,且a1(1 - q6)1 - q=9×a1(1 - q3)1 - q,a1(1 - q5)1 - q=62,即q3=8,a1(1 - q5)1 - q=62,解得q=2,a1=2,故选B.
4.D 因为等比数列{an}的各项均为正数,所以log3a1+log3a2+…+log3a12=log3(a1·a2·…·a12)=log3(a6a7)6=12,所以(a6a7)6=312=96,所以a6a7=9,故选D.
5.52 各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=a23=5,a7a8a9=a83=10,则a4a5a6=a53=a23a83=52.
6.10 解法一 设数列{an}的公比为q(q>0且q≠1),由题意可得S6=a1(1 - q6)1 - q=30 ①,S9=a1(1 - q9)1 - q=70 ②,①÷②,得1 - q61 - q9=1+q31+q3+q6=37,结合q>0,得q3=2,由S3S6=a1(1 - q3)1 - qa1(1 - q6)1 - q=11+q3=13,得S3=13S6=10.
解法二 由题意可得(S6 - S3)2=S3(S9 - S6),即(30 - S3)2=40S3,即S32 - 100S3+900=0,解得S3=10或S3=90.又数列{an}的各项均为正数,所以S30,∴p= - m4,∴m= - 4p,
p - 1m=p+14p≥2p×14p=1,当且仅当p=14p,即p=12时取等号,
此时等比数列{an}的公比为p+1p=3,∴an=4×3n - 1.
9.A 解法一 由题意知a1+a3+a5=a1(1+22+24)=21a1,而S6=a1(1 - 26)1 - 2=63a1,所以a1+a3+a5S6=21a163a1=13,故选A.
解法二 由题意知S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=a1+a3+a5+(a2+a4+a6)=a1+a3+a5+2(a1+a3+a5)=3(a1+a3+a5),故a1+a3+a5S6=13,故选A.
10.A 设等比数列{an}的公比为q,∵a1= - 6,a4= - 34,∴ - 34= - 6q3,解得q=12,∴an= - 6×(12)n - 1.
∴Tn=( - 6)n×(12)0+1+2+…+(n - 1)=( - 6)n×(12)n(n - 1)2,当n为奇数时,Tn<0,当n为偶数时,Tn>0,故当n为偶数时,Tn才有可能取得最大值.
∵T2k=36k×(12)k(2k - 1),∴T2k+2T2k=36k+1×(12)(k+1)(2k+1)36k×(12)k(2k - 1)=36×(12)4k+1,当k=1时,T4T2=98>1,当k≥2时,T2k+2T2k<1.∴T2T6>T8>…,
则当Tn最大时,n的值为4.故选A.
11.Sn=2an - 3 设等比数列{an}的公比为q,因为数列{an}的各项均为正数,所以q>0.由 - a4,a3,a5成等差数列,得2a3=a5 - a4,则q2 - q - 2=0,解得q=2,所以Sn=a1(1 - qn)1 - q=a1 - anq1 - q=2an - a1,即Sn=2an - 3.
12.2n - 1n ∵(n+1)an+1=(n - 1)Sn,∴nan+1+Sn+1=nSn,∴n(Sn+1 - Sn)+Sn+1=nSn,∴(n+1)Sn+1nSn=2,∴{nSn}是首项为1,公比为2的等比数列,则nSn=
2n - 1,∴Sn=2n - 1n.
13.( - ∞,3) 2(an+an+2)=5an+1⇒2q2 - 5q+2=0⇒q=2或q=12(舍去),a52=a10⇒(a1q4)2=a1q9⇒a1=q=2,所以数列{an}的通项公式为an=2n,所以bn=(n - λ)2n(n∈N*),所以bn+1=(n+1 - λ)·2n+1.因为数列{bn}是递增数列,所以bn+1>bn,所以(n+1 - λ)2n+1>(n - λ)2n,化简得λ