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- 2021-06-11 发布
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数列求和
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一、选择题
1.数列{an}的通项公式为an=,若该数列的前k项之和等于9,则k=( )
A.80 B.81 C.79 D.82
B [an==-,
∴Sn=a1+a2+a3+…+an=(-)+(-)+(-)+…+(-)=.
由题意知Sk==9,解得k=81,故选B.]
2.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则它的前100项之和S100=( )
A.150 B.120
C.-120 D.-150
A [S100=a1+a2+a3+…+a99+a100
=-1+4-7+…+(-295)+298
=50×3=150.故选A.]
3.已知数列{an}的通项公式是an=,其前n项和Sn=,则项数n=( )
A.13 B.10 C.9 D.6
D [由an==1-得
Sn=+++…+
=n-=n-=n-1+.
令n-1+=,即n+=.
解得n=6,故选D.]
4.+++…+的值为( )
A. B.-
C.- D.-+
C [因为===,
所以+++…+
==
=-.]
5.Sn=+++…+等于( )
A. B.
C. D.
B [由Sn=+++…+,①
得Sn=++…++,②
①-②得,
Sn=+++…+-
=-,
所以Sn=.]
二、填空题
6.已知数列:1,2,3,…,,…,则其前n项和关于n的表达式为 .
-+1 [设所求的前n项和为Sn,则Sn=(1+2+3+…+n)+=+=-+1.]
7.有穷数列1,1+2,1+2+4,…,1+2+4+…+2n-1所有项的和为 .
2n+1-n-2 [an=1+2+4+…+2n-1==2n-1,
则Sn=a1+a2+…+an=(2+22+…+2n)-n=-n=2n+1-n-2.]
8.化简Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×22+…+2×2n-2+2n-1的结果是 .
2n+1-n-2 [因为Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×22+…+2×2n-2+2n-1,①
2Sn=n×2+(n-1)×22+(n-2)×23+…+2×2n-1+2n,②
所以①-②得,-Sn=n-(2+22+23+…+2n)=n+2-2n+1,所以Sn=2n+1-n-2.]
三、解答题
9.(2019·泰安模拟)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
[解] (1)由题意知,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+5.
当n=1时,a1=S1=11,所以an=6n+5(n∈N*).
设数列{bn}的公差为d.
由即
可解得b1=4,d=3.
所以bn=3n+1.
(2)由(1)知cn==3(n+1)·2n+1.
又Tn=c1+c2+…+cn,
得Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1],
2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],
两式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2]
=3×
=-3n·2n+2.
所以Tn=3n·2n+2.
10.(2017·全国卷Ⅲ)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
[解] (1)因为a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,
故当n≥2时,
a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1),
两式相减得(2n-1)an=2,
所以an=(n≥2).
又由题设可得a1=2,满足上式,
所以{an}的通项公式为an=.
(2)记的前n项和为Sn.
由(1)知==-,
则Sn=-+-+…+-=.
1.在数列{an}中,a1=2,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,n∈N*,则S60的值为( )
A.990 B.1 000
C.1 100 D.99
A [n为奇数时,an+2-an=0,an=2;n为偶数时,an+2-an=2,an=n.故S60=2×30+(2+4+…+60)=990.]
2.设数列{an}的前n项和为Sn,若a1=4,an+1=2Sn-4,则S10=( )
A.2×(310-1) B.2×(310+1)
C.2×(39+1) D.4×(39-1)
C [∵a1=4,an+1=2Sn-4,①
∴a2=2a1-4=4,
当n≥2时,an=2Sn-1-4,②
①-②得an+1-an=2an,
∴an+1=3an(n≥2),
∴{an}从第2项起是公比为3的等比数列,
∴S10=a1+(a2+a3+…+a10)=4+=2×(39+1),故选C.]
3.已知Sn为数列{an}的前n项和,对n∈N*都有Sn=1-an,若bn=log2an,则++…+= .
[对n∈N*都有Sn=1-an,当n=1时,a1=1-a1,解得a1=.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=1-an-(1-an-1),化为an=an-1.∴数列{an}是等比数列,公比为,首项为.
∴an=n.
∴bn=log2an=-n.
∴==-.
则++…+=++…+=1-=.]
4.等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列,满足a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)令cn=设数列{cn}的前n项和为Tn,求T2n.
[解] (1)设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q,
由
得解得
∴an=3+2(n-1)=2n+1,bn=2n-1.
(2)由a1=3,an=2n+1,得Sn==n(n+2),
则cn=
即cn=
∴T2n=(c1+c3+…+c2n-1)+(c2+c4+…+c2n)
=+(2+23+…+22n-1)
=1-+
=+(4n-1).
1.已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),则S2 020=( )
A.22 020-1 B.3×21 010-3
C.3×21 010-1 D.3×21 009-2
B [a1=1,a2==2,又==2.∴=2.
∴a1,a3,a5,…成等比数列;a2,a4,a6,…成等比数列,
∴S2 020=a1+a2+a3+a4+a5+a6+…+a2 019+a2 020
=(a1+a3+a5+…+a2 019)+(a2+a4+a6+…+a2 020)
=+=3×21 010-3.故选B.]
2.已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn为数列的前n项和,若λTn≤an+1对一切n∈N*恒成立,求实数λ的最大值.
[解] (1)设数列{an}的公差为d(d≠0),由已知得,
解得或(舍去),所以an=n+1.
(2)由(1)知=-,
所以Tn=++…+
=-=.
又λTn≤an+1恒成立,
所以λ≤=2+8,
而2+8≥16,当且仅当n=2时等号成立.
所以λ≤16,即实数λ的最大值为16.