河南省洛阳市2013届高三二练考试数学（理）试题 9页

河南省洛阳市2013届高三年级二练 数学（理）试题 ‎ 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 Ⅱ卷（非选择题）两部分．共 150 分．考试时间 120 分钟。‎ 第I 卷（选择题，共 60 分）‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卷上．‎ ‎ 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． ‎ ‎ 3．考试结束，将答题卷交回．‎ 一、选择超：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ‎ ‎1．已知，则中元素个数为 ‎ A． 0 B． ‎1 ‎ C． 2 D．不确定 ‎ ‎2．i 是虚数单位，则的模为 ‎ A． B． C． D． 2‎ ‎3．某项测量中，测量结果，若 X 在（0， 1 ）内取值的概率为 0．4 ，则 X 在（0, 2 ）内取值的概率为 ‎ A．0．8 B．0．‎4 ‎ C．0．3 D．0．2 ‎ ‎4．已知的展开式中第五项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为 ‎ ‎ A． 128 B． ‎64 ‎ C． 32 D．16‎ ‎5．设是等差数列｛an｝的前 n 项和。若，则 ‎ A． B． C． 2 D． 3‎ ‎6．已知命题若 为假命题，则实数m的取值范围是 ‎ A． （ B．[0，2] ‎ ‎ C．R D．‎ ‎7· 已知正数x，y满足则的最大值是 ‎ ‎ A． 8 B． ‎4 ‎ C． 2 D． 1 ‎ ‎8．已知双曲线上一点 P 到 F（ 3 ，0）的距离为 6，O 为坐标原点，‎ ‎ A． 1 B． 2 ‎ ‎ C． 2 或 5 D． 1 或 5 ‎ ‎9．对任意非零实数 a , b ，若 a *b 的运算原理如图所示，‎ ‎ 那么 ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎10．已知函数的图象关于直线 ‎ 对称，且，则的最小值是 ‎ ‎ A． 1 B． ‎2 ‎ C． 3 D． 4 ‎ ‎11．动点 P 在正方体A BCD 一 A 1B‎1C1D1的对角线 BD1上，过 P 作垂直于平面 BB1 D1D 的直线，与正方体表面交于 M , N 两点，设|BP|= x ， △ BMN 的面积是 y , 则函数的图象大致为 ‎12．已知正数是 a , b , c 满足：的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎ 第 Ⅱ 卷（非选择题，共 90 分）‎ 二、坡空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分．共 20 分 ‎13．正三角形 A BC中， D 是边 BC上的点， AB =3，BD = l ，则·= 。‎ ‎14．设 a > 0 , b > 0 ，则“a2+b2≥‎1”‎是“ a + b ≥ ab ＋ l ”成立的 条件．（填“充分不必要” , “必要不充分” , “充要” , ' ‘既不充分也不必要” ．）‎ ‎15．已知等比数列{an}满足 an＞ 0 , n = l , 2 , 3 ， … ，且 a5·a2n－5=22n （ n ≥ 3 ），则当 ‎ n ≥1） 1 时， 。‎ ‎16．如图，平面四边形 ABCD 中， AB =AD =CD =l , BD=， ‎ BD ⊥ CD ，将其沿对角线 BD 拆成四面体 A ‘一 BCD ，‎ 使平面 A ' BD⊥平面 BCD ，若四面体 A’一 BCD 顶点在 同一个球面上，则该球的体积为 。‎ 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步赚． ‎ ‎17．（本题满分 12 分） ‎ ‎ 已知函数 ‎ （1）若 求的值域； ‎ ‎ （2） △ ABC 中，角 A , B , c 的对边为 a , b ，c，若求的值。‎ ‎18．（本题满分 12 分）‎ ‎ 某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名考生的笔试成绩，分为 5组制出频率分布直方图如图所示．‎ ‎ （1）求a， b , c , d ; ‎ ‎ （2）该校决定在成绩较好的 3 , 4 , 5 组用分层抽样抽取 6 名学生进行面试，则每组应各抽多少名学生？‎ ‎ （3）在（2）的前提下，已知面试有 4 位考官，被抽到的 6 名学生中有两名被指定甲考官面试，其余 4 名则随机分配给 3 位考官中的一位对其进行面试，求这 4 名学生分配到的考官个数 X 的分布列和期望．‎ ‎19．（本题满分 12 分）‎ ‎ 如图分别为三棱锥 S 一 ABC 的直观图与三视图，在直观图中 SA = SC , M , N 分别为 AB , SB 的中点． ‎ ‎ （l）求证 AC⊥SB ; ‎ ‎ （2）求二面角 M 一 NC 一 B 的余弦值．‎ ‎20．（本题满分 12 分）‎ ‎ 已知椭圆的左、右顶点分别为 A1, A2 ，上、下顶点分别为 B1 , B2，左、右焦点分别为 F1， F2，离心率为 e ． ‎ ‎ （l）若| A 1 B1|=，设四边形 B‎1 F1B‎2 F2的面积为 S1, ，四边形 A 1 B ‎1A 2B2的面积为 S2，且，求椭圆 C 的方程；‎ ‎ （2）若 F2（ 3 , 0） ，设直线 y =kx 与椭圆 C 相交于 P , Q 两点， M , N 分别为线段 P F2，QF2的中点，坐标原点 O 在以 MN 为直径的圆上，且，求实数k的取值范围。‎ ‎21．（本题满分 12 分）‎ ‎ 已知是大于0的实数．‎ ‎（1）若在上恒成立，求a的取值范围； ‎ ‎ （2）设，若函数有两个极值点，证明的极小值小于一· ‎ 请考生在第 22 、 23 、 24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。‎ ‎22．（本题满分 10 分）选修 4 一 l ：几何证明选讲 ‎ 如图， AB 是圆 O 的直径，以 B 为圆心的圆 B 与圆 O 的一个交点为 P ．过点 A 作直线交圆 O 于点 Q ，交圆 B 干点 M , N ． ‎ ‎ （1）求证： QM= QN ；‎ ‎ （2）设圆O的半径为 2 ，圆 B 的半径为 1 ，当 时，求 MN 的长． ‎ ‎23．（本题满分 10 分）选修 4 一 4 ：极坐标与参数方程 ‎ 已知曲线 C 的极坐标方程为 p = 1 ，以极点为原点，极轴为 x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为 为参数），设曲线 C 经过伸缩变换得到曲线 C ' ，试判断 与 C’的位置关系．‎ ‎24．（本题满分 10 分）选修 4 一 5 ：不等式 ‎ 若存在实数 x 使成立，求实数 a 的取值范围。‎