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- 2021-06-11 发布
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第6讲 对数与对数函数
一、选择题
1．若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是( )．
A．01，且>0，得11，b＝0＝1，c＝log30.4<0，故cb>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>a>b
解析 ∵log30.3＝5log3，1log2>log3，∴log23.4>log3>log43.6，∴5log23.4>5log3>5log43.6，故选C.
答案 C
5．若函数f(x)＝loga(x2－ax＋3)(a>0且a≠1)满足对任意的x1，x2，当x10，则实数a的取值范围为 ( )．
A．(0,1)∪(1,3) B．(1,3)
C．(0,1)∪(1,2) D．(1,2)
解析 “对任意的x1，x2，当x10”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“f(x)有意义”．事实上由于g(x)＝x2－ax＋3在x≤时递减，从而由此得a的取值范围为(1,2)．故选D.
答案 D
6．已知函数f(x)＝|lg x|，若03.故选C.
答案 C
二、填空题
7．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算原理如图所示，则(log8)⊗－2＝________.
解析 框图的实质是分段函数，log8＝－3，－2＝9，由框图可以看出输出＝－3.
答案 －3.
8．设g(x)＝则g＝________.
解析 g＝ln ＜0，
∴g＝g＝eln＝.
答案
9．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.
解析 ∵log2x≤2，∴0＜x≤4.又∵A⊆B，∴a＞4，∴c＝4.
答案 4
10．对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．在实数轴R(箭头向右)上[x]是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时[x]就是x.这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么[log31]＋[log32]＋[log33]＋[log34]＋…＋[log3243]＝________.
解析 当1≤n≤2时，[log3n]＝0，当3≤n<32时，[log3n]＝1，…，当3k≤n<3k＋1时，[log3n]＝k.
故[log31]＋[log32]＋[log33]＋[log34]＋…＋[log3243]＝0×2＋1×(32－3)＋2×(33－32)＋3×(34－33)＋4×(35－34)＋5＝857.
答案 857
三、解答题
11．已知函数f(x)＝log(a2－3a＋3)x.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若y＝f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．
解 (1)函数f(x)＝log(a2－3a＋3)x的定义域为R.
又f(－x)＝log(a2－3a＋3)－x
＝－log(a2－3a＋3)x＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
(2)函数f(x)＝log(a2－3a＋3)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则y＝(a2－3a＋3)x在(－∞，＋∞)上为增函数，
由指数函数的单调性，知a2－3a＋3>1，解得a<1或a>2.
所以a的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．
12．若函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M.当x∈M时，求f(x)＝2x＋2－3×4x的最值及相应的x的值．
解 y＝lg(3－4x＋x2)，∴3－4x＋x2＞0，
解得x＜1或x＞3，∴M＝{x|x＜1，或x＞3}，
f(x)＝2x＋2－3×4x＝4×2x－3×(2x)2.
令2x＝t，∵x＜1或x＞3，∴t＞8或0＜t＜2.
∴f(t)＝4t－3t2＝－32＋(t＞8或0＜t＜2)．
由二次函数性质可知：
当0＜t＜2时，f(t)∈，
当t＞8时，f(t)∈(－∞，－160)，
当2x＝t＝，即x＝log2 时，f(x)max＝.
综上可知：当x＝log2 时，f(x)取到最大值为，无最小值．
13．已知函数f(x)＝loga(a＞0，b＞0，a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)讨论f(x)的单调性；
解 (1)令＞0，
解得f(x)的定义域为(－∞，－b)∪(b，＋∞)．
(2)因f(－x)＝loga＝loga－1
＝－loga＝－f(x)，
故f(x)是奇函数．
(3)令u(x)＝，则函数u(x)＝1＋在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是减函数，所以当0＜a＜1时，f(x)在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是增函数；当a＞1时，f(x)在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是减函数．
14．已知函数f(x)＝loga，(a>0，且a≠1)．
(1)求函数的定义域，并证明：f(x)＝loga在定义域上是奇函数；
(2)对于x∈[2,4]，f(x)＝loga>loga恒成立，求m的取值范围．
解 (1)由>0，解得x<－1或x>1，
∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f(－x)＝loga＝loga＝loga－1＝－loga＝－f(x)，
∴f(x)＝loga在定义域上是奇函数．
(2)由x∈[2,4]时，f(x)＝loga>loga恒成立，
①当a>1时，
∴>>0对x∈[2,4]恒成立．
∴00.
∴y＝g(x)在区间[2,4]上是增函数，g(x)min＝g(2)＝15.
∴0loga恒成立，
∴<对x∈[2,4]恒成立．
∴m>(x＋1)(x－1)(7－x)在x∈[2,4]恒成立．
设g(x)＝(x＋1)(x－1)(7－x)，x∈[2,4]，
由①可知y＝g(x)在区间[2,4]上是增函数，
g(x)max＝g(4)＝45，∴m>45.
∴m的取值范围是(0,15)∪(45，＋∞).
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