【数学】2020届一轮复习（理）通用版选修4－5第二节不等式的证明作业 5页

课时跟踪检测（七十三） 不等式的证明 ‎1．已知a，b都是正实数，且a＋b＝2，求证：＋≥1.‎ 证明：∵a＞0，b＞0，a＋b＝2，‎ ‎∴＋－1＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝.‎ ‎∵a＋b＝2≥2，∴ab≤1.‎ ‎∴≥0.‎ ‎∴＋≥1.‎ ‎2．(2019·运城康杰中学模拟)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2.‎ ‎(1)求＋的最小值；‎ ‎(2)求证：≤1.‎ 解：(1)∵a＞0，b＞0，a＋b＝2，‎ ‎∴＋＝＝×≥(当且仅当b＝2a时等号成立)．‎ ‎(2)证明：＝ab·≤ ·2＝1(当且仅当a＝b时等号成立)．‎ ‎3．(2019·石家庄模拟)已知函数f(x)＝|x|＋|x－1|.‎ ‎(1)若f(x)≥|m－1|恒成立，求实数m的最大值M；‎ ‎(2)在(1)成立的条件下，正实数a，b满足a2＋b2＝M，证明：a＋b≥2ab.‎ 解：(1)由绝对值不等式的性质知 f(x)＝|x|＋|x－1|≥|x－x＋1|＝1，‎ ‎∴f(x)min＝1，∴只需|m－1|≤1，即－1≤m－1≤1，‎ ‎∴0≤m≤2，∴实数m的最大值M＝2.‎ ‎(2)证明：∵a2＋b2≥2ab，且a2＋b2＝2，‎ ‎∴ab≤1，∴≤1，当且仅当a＝b时取等号．①‎ 又≤，∴≤，‎ ‎∴≤，当且仅当a＝b时取等号．②‎ 由①②得，≤，∴a＋b≥2ab.‎ ‎4．(2019·湖南师范大学附属中学月考)(1)已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|，解不等式f(x)≥x2－2x；‎ ‎(2)已知x，y，z均为正数，求证：＋＋≥＋＋.‎ 解：(1)f(x)＝|x－2|－|x＋1|＝ 当x≤－1时，不等式为x2－2x≤3，∴－1≤x≤3，‎ 即x＝－1；‎ 当－1＜x＜2时，不等式为x2－2x≤－2x＋1，‎ 解得－1≤x≤1，即－1＜x≤1；‎ 当x≥2时，不等式为x2－2x≤－3，∴x∈∅.‎ 综上，不等式的解集为[－1,1]．‎ ‎(2)证明：因为x，y，z都为正数，‎ 所以＋＝≥， ①‎ 同理可得＋≥， ②‎ ＋≥， ③‎ 当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．‎ 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，‎ 得＋＋≥＋＋.‎ ‎5．(2019·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)＝|x－m|＋|x|，m∈N*，存在实数x使f(x)＜2成立．‎ ‎(1)求实数m的值；‎ ‎(2)若α≥1，β≥1，f(α)＋f(β)＝4，求证：＋≥3.‎ 解：(1)因为|x－m|＋|x|≥|(x－m)－x|＝|m|.‎ 所以要使不等式|x－m|＋|x|＜2有解，则|m|＜2，‎ 解得－2＜m＜2.‎ 因为m∈N*，所以m＝1.‎ ‎(2)证明：因为α≥1，β≥1，‎ 所以f(α)＋f(β)＝2α－1＋2β－1＝4，‎ 即α＋β＝3，‎ 所以＋＝(α＋β)‎ ‎＝ ‎≥＝3.‎ 当且仅当＝，即α＝2，β＝1时等号成立，‎ 故＋≥3.‎ ‎6．已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|.‎ ‎(1)求f(x)的最小值m；‎ ‎(2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：＋＋≥3.‎ 解：(1)当x＜－1时，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x∈(3，＋∞)；‎ 当－1≤x＜2时，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3,6)；‎ 当x≥2时，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x∈[6，＋∞)．‎ 综上，f(x)的最小值m＝3.‎ ‎(2)证明：因为a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝3，‎ 所以＋＋＋(a＋b＋c)‎ ‎＝＋＋ ‎≥2＝2(a＋b＋c)，‎ 当且仅当a＝b＝c＝1时，取“＝”，‎ 所以＋＋≥a＋b＋c，即＋＋≥3.‎ ‎7．已知函数f(x)＝|x－1|.‎ ‎(1)解不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8；‎ ‎(2)若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证：＞f.‎ 解：(1)f(2x)＋f(x＋4)＝|2x－1|＋|x＋3|‎ ‎＝ 当x＜－3时，由－3x－2≥8，解得x≤－；‎ 当－3≤x＜时，－x＋4≥8无解；‎ 当x≥时，由3x＋2≥8，解得x≥2.‎ 所以不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8的解集为 .‎ ‎(2)证明：＞f等价于f(ab)＞|a|f，‎ 即|ab－1|＞|a－b|.‎ 因为|a|＜1，|b|＜1，‎ 所以|ab－1|2－|a－b|2‎ ‎＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)‎ ‎＝(a2－1)(b2－1)＞0，‎ 所以|ab－1|＞|a－b|.‎ 故所证不等式成立．‎ ‎8．设函数f(x)＝x－|x＋2|－|x－3|－m，若∀x∈R，－4≥f(x)恒成立．‎ ‎(1)求实数m的取值范围；‎ ‎(2)求证：log(m＋1)(m＋2)＞log(m＋2)(m＋3)．‎ 解：(1)∵∀x∈R，－4≥f(x)恒成立，‎ ‎∴m＋≥x－|x＋2|－|x－3|＋4恒成立．‎ 令g(x)＝x－|x＋2|－|x－3|＋4＝ ‎∴函数g(x)在(－∞，3]上是增函数，在(3，＋∞)上是减函数，∴g(x)max＝g(3)＝2，∴m＋≥g(x)max＝2，‎ 即m＋－2≥0⇒＝≥0，‎ ‎∴m＞0，‎ 综上，实数m的取值范围是(0，＋∞)．‎ ‎(2)证明：由m＞0，知m＋3＞m＋2＞m＋1＞1，‎ 即lg(m＋3)＞lg(m＋2)＞lg(m＋1)＞lg 1＝0.‎ ‎∴要证log(m＋1)(m＋2)＞log(m＋2)(m＋3)，‎ 只需证＞，‎ 即证lg(m＋1)·lg(m＋3)＜lg2(m＋2)，‎ 又lg(m＋1)·lg(m＋3)＜2‎ ‎＝＜＝lg2(m＋2)，‎ ‎∴log(m＋1)(m＋2)＞log(m＋2)(m＋3)成立．‎