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- 2021-06-11 发布
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核心素养测评四十七 平行、垂直的综合问题
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知线段AB在平面α外,A,B两点到平面α的距离分别为3和5,则线段AB的中点到平面α的距离为 ( )
A.1 B.4 C.1或4 D.4或6
【解析】选C.当A,B在平面α同侧时,距离为=4,当A,B在α异侧时,距离为=1.
2.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则折叠后AC的长为 ( )
A.a B.a C.a D.a
【解析】选D.如图所示:取BD的中点O,连接A′O,CO,则∠A′OC是二面角A′-BD-C的平面角.即∠A′OC=90°,又A′O=CO=a,
所以A′C==a,即折叠后AC的长A′C为a.
3.如图所示,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与B1O垂直的是 ( )
A.A1D B.AA1
C.A1D1 D.A1C1
【解析】选D.易知AC⊥平面BB1D1D.
因为A1C1∥AC,所以A1C1⊥平面BB1D1D.
又B1O平面BB1D1D,所以A1C1⊥B1O.
4.如图,三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且==λ(0<λ<1).下面说法正确的是 ( )
A.当λ≠时,平面BEF⊥平面ABC;
B.当λ≠时,平面BEF⊥平面ABC;
C.当λ= 时,平面BEF⊥平面ACD;
D.当λ= 时,平面BEF⊥平面ACD.
【解析】选C.因为AB⊥平面BCD,所以AB⊥CD.
因为CD⊥BC,且AB∩BC=B,AB⫋平面ABC,BC⫋平面ABC,所以CD⊥平面ABC.
又因为==λ(0<λ<1),所以不论λ为何值,恒有EF∥CD.所以EF⊥平面ABC,EF平面BEF.
所以不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.
若平面BEF⊥平面ACD,因为BE⊥EF,所以BE⊥平面ACD.所以BE⊥AC.
因为BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ABD=90°,∠ADB=60°,所以BD=,AB=
tan 60°=.
所以AC==.由AB2=AE·AC,得AE=.所以λ==.
故当λ=时,平面BEF⊥平面ACD.
5.已知矩形ABCD,AB=1,BC=,将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中 世纪金榜导学号( )
A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直
B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直
C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直
D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直
【解析】选B.找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量.
对于选项A,过点A作AE⊥BD,垂足为E,过点C作CF⊥BD,垂足为F,
在图(1)中由边AB,BC不相等可知点E,F不重合.
在图(2)中,连接CE,若直线AC与直线BD垂直,
又因为AC∩AE=A,所以BD⊥面ACE,
所以BD⊥CE,与点E,F不重合相矛盾,故A错误.
对于选项B,若AB⊥CD,
又因为AB⊥AD,AD∩CD=D,所以AB⊥面ADC,
所以AB⊥AC,由AB=1,BC=,ABAB,所以不存在这样的直角三角形.所以C错误.
由上可知D错误.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足条件 时,有MN∥平面B1BDD1.
【解析】如图,连接FH,HN,FN,
由题意知HN∥平面B1BDD1,FH∥平面B1BDD1.
且HN∩FH=H,所以平面NHF∥平面B1BDD1.
所以当M在线段HF上运动时,有MN∥平面B1BDD1.
答案:M∈线段HF
7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF= 时,CF⊥平面B1DF.
【解析】由题意易知,B1D⊥平面ACC1A1,又CF平面ACC1A1,所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF,只需CF⊥DF即可.
令CF⊥DF,设AF=x,则A1F=3a-x.
由Rt△CAF∽Rt△FA1D,得=,即=,整理得x2-3ax+2a2=0,解得x=a或x=2a.
答案:a或2a
8.在长方体ABCD-A1B1C1D1的A1C1面上有一点P(如图所示,其中P点不在对角线B1D1上).过P点在平面A1C1内作一直线m,使m与直线BD成α角,其中α∈ ,这样的直线有 条. 世纪金榜导学号
【解析】连接B1D1,BD,因为BD∥B1D1,所以直线m与直线B1D1也成α角,如图.在平面A1B1C1D1内,过直线B1D1外一点P与B1D1成锐角α的直线有两条,所以与BD所成的角α∈的直线m有两条.
答案:两
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2019·全国卷Ⅰ)如图,直四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,
∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
(1)证明:MN∥平面C1DE.
(2)求点C到平面C1DE的距离.
【解析】(1)连接B1C,ME,C1D.
因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以ME∥B1C,且ME=B1C.
又因为N为A1D的中点,所以ND=A1D.
由题设知A1B1
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