【数学】2020届一轮复习人教A版第42课两条直线的相交作业（江苏专用） 4页

随堂巩固训练(42)‎ ‎ 1. 已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则集合M∩N＝__{(3，－1)}__．‎ 解析：联立方程组解得则M∩N＝{(3，－1)}．‎ ‎ 2. 已知直线l经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直，则直线l的方程为__4x＋3y－6＝0__．‎ 解析：方法一：解方程组得故点P(0，2)．因为l3的斜率为，且l⊥l3，所以直线l的斜率为－，由斜截式可知直线l的方程为y＝－x＋2，即4x＋3y－6＝0.‎ 方法二：设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.又l⊥l3，所以3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.‎ 点评：本题方法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直关系求出斜率，由于交点在y轴上，故采用斜截式求解；方法二则采用了过两直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，直接设出过两直线交点的直线方程，再根据垂直条件用待定系数法求解．‎ ‎ 3. 若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＝0相交于一点，则实数k的值为__－__．‎ 解析：联立方程解得所以交点为(－1，－2)．又三条直线交于一点，所以－1－2k＝0，解得k＝－.‎ ‎ 4. 点P(4，3)关于直线x－y＋1＝0的对称点Q的坐标是__(2，5)__．‎ 解析：设点Q(x，y)，由题意得解得故点Q的坐标是(2，5)．‎ ‎ 5. 若三条直线ax－y＋1＝0，x－ay－1＝0，x＋y＋a＝0能构成三角形，则实数a满足的条件是__a≠2且a≠±1__．‎ 解析：由题意知任意两条直线都相交，则≠且≠，故a≠±1.因为三条直线不共点，所以直线x－ay－1＝0与x＋y＋a＝0的交点(1－a，－1)不在直线ax－y＋1＝0上，即a(1－a)＋1＋1≠0，解得a≠2且a≠－1.综上，a≠2且a≠±1.‎ ‎ 6. 若一条直线被直线4x＋y＋6＝0和3x－5y－6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，则这条直线的方程为__x＋6y＝0__．‎ 解析：设A，B为截得的线段的两个端点，若点A(m，n)在直线4x＋y＋6＝0上，则点B(－m，－n)在直线3x－5y－6＝0上，‎ 所以解得因为所求直线过原点，所以斜率k＝＝ ‎×＝－，故所求方程为y＝－x，即x＋6y＝0.‎ ‎ 7. 已知定点A(0，1)，点B在直线x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为____．‎ 解析：当线段AB最短时，就是直线AB与直线x＋y＝0垂直时，则直线AB的方程为y－1＝x，联立x＋y＝0，解得x＝－，y＝，所以点B的坐标为.‎ ‎ 8. 设直线l1的方程为x＋2y－2＝0，将直线l1绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线l2，则直线l2的方程是__y＝2x＋2__．‎ 解析：直线l1绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线l2，则原点到直线l1和直线l2的距离相等，且直线l1和直线l2相互垂直，所以设直线l2的方程为y＝2x＋b，所以＝，解得b＝±2.又直线是按逆时针方向旋转90°，所以b＝2，所以直线l2的方程是y＝2x＋2.‎ ‎ 9. 直线2x＋3y＋1＝0关于直线x－y－1＝0的对称直线方程为__3x＋2y＝0__．‎ 解析：在对称直线上任取一点A(x，y)，点A关于直线x－y－1＝0的对称点A′(x′，y′)，所以解得即点A′(1＋y，x－1)在直线2x＋3y＋1＝0上，代入得3x＋2y＝0.故所求对称直线的方程为3x＋2y＝0.‎ ‎10. 已知正方形ABCD的相对顶点A(0，－1)和C(2，5)，则顶点B和D的坐标分别为__(4，1)，(－2，3)__．‎ 解析：由已知得AC的中点坐标为(1，2)且kAC＝3，则kBD＝－.设点B的坐标为(a，b)，则解得或所以点B的坐标为(4，1)，点D的坐标为(－2，3)．‎ ‎11. 已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0，求顶点C的坐标．‎ 解析：由题意知BH与AC垂直，所以kBH·kAC＝kAC＝－1，即kAC＝－2，‎ 所以直线AC的方程为2x＋y－11＝0.‎ 联立解得 所以点C的坐标为(4，3)．‎ ‎12. 已知点A(1，3)，B(3，1)，C是直线l1：3x－2y＋3＝0和直线l2：2x－y＋2＝0的交点．‎ ‎(1) 求交点C的坐标；‎ ‎(2) 求△ABC的面积．‎ 解析：(1) 联立解得 所以直线l1与l2的交点C的坐标为(－1，0)．‎ ‎(2) 由题意知AB＝＝2，‎ AB边所在直线方程为＝，即x＋y－4＝0，‎ 所以点C到直线x＋y－4＝0的距离为h＝＝，‎ 所以S△ABC＝×2×＝5.‎ ‎13. 已知过点A(1，1)且斜率为－m(m>0)的直线l与x轴、y轴分别交于P，Q两点，过点P，Q作直线2x＋y＝0的垂线，垂足分别为R，S.求四边形PRSQ面积的最小值．‎ 解析：如图，由题意知直线l的方程为y－1＝－m(x－1)，‎ 则点P，Q(0，1＋m)，‎ 从而可得直线PR，QS的方程分别为：x－2y－＝0，x－2y＋2(m＋1)＝0.‎ 又PR∥QS，‎ 所以RS＝＝.‎ 又PR＝，QS＝，四边形PRSQ为梯形，‎ 所以S梯形PRSQ＝‎ ‎＝－ ‎≥×－＝3.6，‎ 当且仅当m＝，即m＝1时取等号，‎ 所以当m＝1时，四边形PRSQ面积的最小值为3.6.‎