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- 2021-06-11 发布
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云浮市2019~2020学年第二学期高二期末检测
数 学
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容：人教A版选修2-2，2-3．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数满足，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
2．已知函数，则（ ）
A． B． C．2 D．4
3．（ ）
A． B． C． D．
4．某演讲比赛候选人中高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名，从每个年级中各选1人参加市团委组织的演讲比赛，则不同的选法有（ ）
A．60种 B．45种 C．30种 D．12种
5．若的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中所有二项式系数和为（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
6．某中学有三栋教学楼，如图所示，若某学生要从处到达他所在的班级处（所有楼道间是连通的），则最短路程不同的走法数为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．21
7．已知随机变量，若，，则（ ）
A．54 B．9 C．18 D．27
8．某小区有1000户居民，各户每月的用电量（单位：度）近似服从正态分布，则用电量在210度以上的居民户数约为（ ）
（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）
A．17 B．23 C．90 D．159
9．设随机变量的分布列为，为常数，则（ ）
A． B．
C． D．
10．用0，1，3，5，7，9这6个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是（ ）
A．360 B．300 C．240 D．180
11．已知函数，则的图象大致为（ ）
12．已知函数的图象与直线恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为，，，则属于（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．若，则复数的虚部为__________．
14．函数的极大值为__________．
15．根据某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在刮风天里，下雨的概率为__________，在下雨天里，刮风的概率为__________．（本题第一空2分第二空3分）
16．已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：
①对于任意，函数是上的增函数；
②对于任意，函数存在最小值；
③存在，使得对于任意的，都有成立；
④存在，使得函数有两个零点．
其中正确命题的序号是__________．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知函数．
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；
（2）若函数在上是单调递增函数，求的取值范围．
18．（12分）
某大学读书协会为了解本校大学生网上阅读与传统纸质阅读的情况，调查了该大学1000名大学生（男、女各占一半），就偏向网上阅读和偏向传统纸质阅读的情况作了调查记录．记录显示，偏向网上阅读的男大学生比偏向传统纸质阅读的男大学生多300人，这1000名大学生中，偏向传统纸质阅读的大学生共有400人．
（2）根据题意，完成下列2×2列联表：
阅读方式
性别
偏向网上阅读
偏向传统纸质阅读
总计
男
女
总计
1000
（2）根据列联表，判断能否有99．9%的把握认为该大学的大学生的阅读方式与性别有关，说明你的理
由．
附：．
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
19．（12分）
（1）求的展开式的各项系数之和及展开式的常数项．
（2）4位男同学与3位女同学任意排成一排照相．
（i）求3位女同学站在一起的概率；
（ii）求4位男同学互不相邻的概率．
20．（12分）
某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．
（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；
（2）请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大．
21．（12分）
为了解某企业生产的某产品的年利润与年广告投入的关系，该企业对最近一些相关数据进行了调查统计，得出相关数据见下表：
年广告投入（万元）
2
3
4
5
6
年利润（十万元）
3
4
6
8
11
根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程：方程甲，；方程乙，．
（1）求（结果精确到0．01）与的值．
（2）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务．
①完成下表（备注：，称为相应于点的残差）；
年广告投入（万元）
2
3
4
5
6
年利润（十万元）
3
4
6
8
11
模型甲
估计值
残差
模型乙
估计值
残差
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并通过比较，的大小，判断哪一个模型拟合效果更好．
22．（12分）
已知函数．
（1）当时，证明：；
（2）若函数，证明：函数存在极小值．
云浮市2019~2020学年第二学期高二期末检测
数学参考答案
1．B ，则．
2．A 因为所以．
3．D ．
4．A 由乘法计数原理可得共有种不同的选法．
5．C 因为的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，
所以，所以展开式中所有二项式系数和为．
6．D 从到共需走7步，其中横步（向右）有2步，竖直向上的有5步，
故最短路程的不同走法数为．
7．A 因为随机变量，，，
所以，解得，
因此．
8．D 由题得，，
所以，
所以，
所以用电量在210度以上的居民户数为．
9．B 因为，所以，
所以，，．
10．B 当四个数字中没有0时，没有重复数字的四位数有种；
当四个数字中有0时，没有重复数字的四位数有种，两类相加一共有300种．
11．C 令，则，
在上单调递减，在上单调递增，
又，所以当时，，即，故选C．
12．B 函数的图象关于对称，直线过，
作出函数的图象与直线恰有三个公共点的图象，
由图象可知，，且．
由于，，所以，
即，所以．
13． ，则，，
所以，虚部为．
14． 依题意得，
所以当时，；当时，．
所以当时，函数有极大值．
15．，
设“下雨”，“刮风”，“刮风又下雨”，
所以在刮风天里，下雨的概率为，
所以在下雨天里，刮风的概率为．
16．①②④
函数的定义域是，且，
当时，在上恒成立，
所以函数在上单调递增，故①对；
对于，存在，使，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以对于任意，函数存在最小值，故②正确；
函数与，的图象在上有公共点，
所以对于任意，有零点，故③错误；
由②得函数存在最小值，且存在，
使，故④正确．
故填①②④．
17．解：（1）由题可知，则，
解得．
（2）∵在上是增函数，
∴对恒成立，所以，
只需，故的取值范围是．
18．解：列联表如下：
阅读方式
性别
偏向网上阅读
偏向传统纸质阅读
总计
男
400
100
500
女
200
300
500
总计
600
400
1000
（2）因为，
所以有99.9%的把握认为该大学的大学生的阅读方式与性别有关．
19．解：（1）令，得的展开式的各项系数之和为，
常数项为．
（2）（i）3位女同学站在一起的概率为．
（ii）4位男同学互不相邻的概率为．
20．解：（1）设甲正确完成面试的题数为，则的取值分别为1，2，3．
，，．
应聘者甲正确完成题数的分布列为
1
2
3
．
设乙正确完成的面试题数为，则的取值可能为0，1，2，3．
；；
；．
应聘者乙正确完成题数的分布列为
0
1
2
3
．
（或因为，所以）
（2）因为，
，所以．
综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大．
21．解：（1）设，则，
因为，
所以，解得．
又，所以，解得．
（2）①经计算，可得下表：
年广告投入（万元）
2
3
4
5
6
年利润（十万元）
3
4
6
8
11
模型甲
估计值
3.08
4.07
5.72
8.03
11
残差
0.28
0
模型乙
估计值
2.4
4.4
6.4
8.4
10.4
残差
0.6
0.6
②，
，
因为，所以模型甲的拟合效果更好．
22．解：（1）依题意，，
因为，且，故，
故函数在上单调递减，
故．
（2）依题意，，，
令，则．
而，可知当时，，
故函数在上单调递增，
故当时，．
当时，函数单调递增，而，
又，
故，使得，
故，使得，即函数单调递增，即单调递增，
故当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，函数有极小值．
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