2015福州3月份质检文数试卷(2) 11页

‎2015年福州市高中毕业班质量检测 文科数学能力测试 ‎（完卷时间：120分钟；满分：150分）‎ 注意事项：‎ ‎1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；‎ ‎2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．‎ 参考公式：‎ ‎1．样本数据的标准差 ‎，‎ 其中为样本平均数；‎ ‎2．柱体体积公式：，‎ 其中为底面面积，为高；‎ ‎3．锥体体积公式：，‎ 其中为底面面积，为高.‎ 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）‎ 1． 函数的定义域为 A． B． C． D．‎ 2． 若复数满足（为虚数单位），则的虚部为 A． B． C． D． ‎ 第3题图 3． 如图是某篮球联赛中，甲、乙两名运动员12个场次得分的茎叶图．设甲、乙两人得分的平均数分别为,，中位数分别为,，则 A． B． C． D．‎ 4． 已知直线为双曲线（）的一条渐近线，则双曲线的离心率为 A． B． C．2 D．‎ 1． 执行如图所示的程序框图，输出的有序实数对为 A． B． C． D．‎ 第5题图 2． 已知直线与平面平行，则下列结论错误的是 A．直线与平面没有公共点 B．存在经过直线的平面与平面平行 C．直线与平面内的任意一条直线平行 D．直线上所有的点到平面的距离都相等 3． 已知偶函数满足：当时，恒成立．设,,，则的大小关系为 A． B． C． D． ‎ 4． 设变量满足约束条件则的取值范围为 A． B． C． D．‎ 5． 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积为 A．17 B．‎22 ‎C． D．‎ 第10题图 6． 函数的零点个数为 A．0 B．‎1 ‎C．2 D．3‎ 7． 在中，点为的重心．已知，且向量与的夹角为，则的最小值是 A． B．6 C．9 D．24‎ 8． 已知函数，有下列三个结论： ①存在常数，对任意的实数，恒有成立； ②对任意给定的正数，都存在实数，使得； ③直线与函数的图象相切，且切点有无数多个． 则所有正确结论的序号是 A．① B．② C．③ D．②③‎ 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卡的相应位置上．）‎ 1． 已知集合，则集合等于　★★★　．‎ 2． 已知函数．若在区间上随机取一个数，则使得不等式成立的概率为　★★★　．‎ 3． 的内角所对的边分别是．若，则的值为　★★★　．‎ 4． 在各项均为正整数的单调递增数列中，，，且，则的值为　★★★　．‎ 三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.)‎ 5． ‎（本小题满分12分） 已知函数的图象与直线的相邻两个交点之间的 距离为． （Ⅰ）求函数的单调递增区间； （Ⅱ）若，求的值．‎ 6． ‎（本小题满分12分） 调查表明，中年人的成就感与收入、学历、职业的满意度的指标有极强的相关性．现 将这三项的满意度指标分别记为，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意，再用综合指标的值评定中年人的成就感等级：若，则成就感为一级；若，则成就感为二级；若，则成就感为三级．为了了解目前某群体中年人的成就感情况，研究人员随机采访了该群体的10名中年人，得到如下结果：‎ 人员编号 人员编号 ‎（Ⅰ）若该群体有200人，试估计该群体中成就感等级为三级的人数是多少？‎ ‎（Ⅱ）从成就感等级为一级的被采访者中随机抽取两人，这两人的综合指标均为4的概率是多少？‎ 1． ‎（本小题满分12分） 如图，在长方体中，，为 线段上一点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）当为线段的中点时，求三棱锥的高． ‎ 第19题图 ‎ ‎ 2． ‎（本小题满分12分） 小辉是一位收藏爱好者，在第1年初购买了价值为20万元的收藏品M，由于受到收 藏品市场行情的影响，第2年、第3年的每年初M的价值为上年初的；从第4年开始，每年初M的价值比上年初增加4万元. （Ⅰ）求第几年初开始M的价值超过原购买的价值； （Ⅱ）记（）表示收藏品M前年的价值的平均值，求的最小值． ‎ ‎ ‎ 3． ‎（本小题满分12分） 已知函数,,为自然对数的底数． （Ⅰ）若是的极值点，求的值； （Ⅱ）证明：当时，． ‎ 4． ‎（本小题满分14分） 如图，已知椭圆（）的离心率．点分别为椭圆的 左焦点和右顶点，且． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点作一条直线交椭圆于两点，点关于 轴第22题图 的对称点为．若，求证：．‎ ‎2015年福州市高中毕业班质量检测 文科数学能力测试参考答案及评分细则 一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分，满分60分．‎ ‎1．A 2．A 3．C 4．D 5．D 6．C ‎7．C 8．B 9．D 10．B 11．B 12．D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分．‎ ‎13． 14． 15．2 16．55‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．‎ ‎17． 本小题主要考查三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）、二倍角的余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分12分．‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为，‎ 所以． 2分 所以．‎ 因为函数与直线的相邻两个交点之间距离为，‎ 所以， 3分 所以，解得 4分 所以．‎ 令， 5分 解得． 6分 所以函数的单调递增区间是． 7分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，因为，‎ 所以． 8分 所以 10分 ‎ 11分 ‎． 12分 ‎18．本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．满分12分．‎ ‎【解析】（Ⅰ）计算10名被采访者的综合指标，可得下表：‎ 人员编号 综合指标 ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎ 1分 由上表可知：成就感为三级（即）的只有一位，其频率为． 3分 用样本的频率估计总体的频率，可估计该群体中成就感等级为三级的人数有．‎ ‎ 5分 ‎（Ⅱ）设事件为 “从成就感等级是一级的被采访者中随机抽取两人，他们的综合指标均为4”．由（Ⅰ）可知成就感是一级的（）有：，共6位，从中随机抽取两人，所有可能的结果为：‎ ‎，共15种． 9分 其中综合指标有：，共3名，事件发生的所有可能结果为：‎ ‎，共3种， 10分 所以． 12分 ‎19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．‎ 证明：（Ⅰ）连结．‎ 因为是长方体，且，‎ 所以四边形是正方形， 1分 所以． 2分 因为在长方体中，‎ 平面，平面，‎ 所以． 4分 因为平面，平面，‎ 且，‎ 所以平面． 5分 因为平面，‎ 所以 6分 ‎（Ⅱ）点到平面的距离，‎ 的面积， 7分 所以． 8分 在Rt△中，,所以， 9分 同理.又，所以的面积． 10分 设三棱锥的高为，则 因为，所以， 11分 所以，解得．‎ 即三棱锥的高为 12分 ‎20．本小题主要考查数列、等差数列、等比数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、应用意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分12分．‎ 解：（Ⅰ）设第年初M的价值为，‎ 依题意，当时，数列是首项为20，公比为的等比数列，‎ 所以．故，，所以．‎ ‎ 2分 当时，数列是以为首项，公差为4的等差数列，又，所以． 3分 令，得，又因为，所以． 4分 因此，第7年初M开始的价值超过原购买的价值． 5分 ‎（Ⅱ）设表示前年初M的价值的和，则 ‎ 由（Ⅰ）知，当时，，①；‎ ‎ 7分 当时，由于，故，‎ ‎．② 9分 当时，由①得，，，，所以 10分 当时，由②知，，当且仅当，即时等号成立．即． 11分 由于，故在第4年初的值最小，其最小值为11． 12分 ‎21．本小题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．‎ 解：（Ⅰ）因为，所以， 1分 由是的极值点，得， 2分 解得， 3分 此时，经检验，是的极值点．‎ 所以所求的实数的值为0． 4分 ‎（Ⅱ）证明：取时，，此时． 6分 构造函数， 7分 所以在上恒负，‎ 所以在上单调递减， 8分 所以, 9分 故在恒成立，说明在上单调递减． 10分 所以当时，，又因为，所以，‎ 所以， 11分 所以成立． 12分 ‎22．本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，则 ‎ 2分 解得， 3分 所以， 4分 所以椭圆的方程为． 5分 ‎（Ⅱ）方法一：依题意得， 与坐标轴不垂直．设．因为点与点关于轴对称,所以．由（Ⅰ）讨论可知，． ‎ 因为，所以直线与直线的斜率相等，故， 7分 解得． 8分 又因为点在椭圆上，所以，或． 9分 由椭圆对称性，不妨取，则直线的斜率．‎ 所以直线方程为． 10分 由得点坐标为． 11分 所以， 12分 ‎． 13分 所以． 14分 方法二：依题意得， 与坐标轴不垂直．‎ 设方程为（），．‎ 因为点与点关于轴对称,所以．‎ 又因为椭圆关于轴对称，所以点也在椭圆上． 6分 由消去得．‎ 所以． 7分 因为，所以直线的方程为．‎ 由消去得．‎ 因为直线交椭圆于两点，‎ 所以，故． 9分 所以，‎ 解得．‎ 所以． 11分 所以， 12分 ‎． 13分 所以． 14分 方法三：依题意，得与坐标轴不垂直．‎ 设方程为（），．‎ 因为点与点关于轴对称,所以．‎ 又因为椭圆关于轴对称，所以点也在椭圆上． 6分 由消去得．‎ 所以． 7分 因为，所以直线的方程为．‎ 由消去得，．‎ 因为直线交椭圆于两点，‎ 所以，即． 9分 设（），则，所以． 11分 所以，解得， 13分 所以，即． 14分 方法四：依题意，得与坐标轴不垂直．‎ 设方程为（），．‎ 因为点与点关于轴对称,所以． 6分 因为三点共线，所以与共线，‎ 所以． 7分 因为，所以可设（），即，‎ 所以． 8分 所以，即． 9分 依题意，，所以． 10分 因为点在椭圆上，所以，‎ 解得或． 11分 由椭圆对称性，不妨取，则 ‎，因为点在椭圆上，所以，解得 或（舍去）． 13分 所以，即． 14分 方法五：依题意，得与坐标轴不垂直．‎ 设方程为（），．‎ 因为点与点关于轴对称,所以． 6分 直线过定点，理由如下： 7分 由消去得．‎ 所以． 8分 所以，‎ ‎． 9分 因为，‎ 所以，‎ 所以， 11分 所以三点共线，即直线过定点． 12分 因为为线段中点，，所以． 14分