【数学】2020届一轮复习（理）江苏专版8-6空间向量的应用(空间角的求法)作业 5页

课时跟踪检测（四十一） 空间向量的应用（空间角的求法）‎ 一保高考，全练题型做到高考达标 ‎1．(2019·苏锡常镇调研)如图，已知正四棱锥PABCD中， PA＝AB＝2，点M，N分别在PA，BD上，且＝＝.‎ ‎(1)求异面直线MN与PC所成角的大小；‎ ‎(2)求二面角NPCB的余弦值．‎ 解：(1)设AC，BD交于点O，在正四棱锥PABCD中，OP⊥平面ABCD.又PA＝AB＝2，所以OP＝.以O为坐标原点，，方向分别为x轴、y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.‎ 则A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)，P(0，0，)，＝(－1,1，)．‎ 故＝＋＝＋＝，‎ ＝＝，‎ 所以＝－＝，＝(－1,1，－)，‎ 所以cos〈，〉＝＝，‎ 所以异面直线MN与PC所成角的大小为30°.‎ ‎(2)由(1)知＝(－1,1，－)，＝(2,0,0)，＝.‎ 设m＝(x1，y1，z1)是平面PCB的一个法向量，‎ 则即 令y1＝，则z1＝1，即m＝(0，，1)．‎ 设n＝(x2，y2，z2)是平面PCN的一个法向量，‎ 则即 令x2＝2，则y2＝4，z2＝，即n＝(2,4，)，‎ 所以cos〈m，n〉＝＝＝，‎ 故二面角NPCB的余弦值为.‎ ‎2．(2018·启东检测)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，‎ AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.‎ ‎(1)求二面角APCD的余弦值；‎ ‎(2)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．‎ 解：(1)因为PA⊥平面ABCD，‎ 所以PA⊥AD，PA⊥AC，‎ 又因为AC⊥AD，故以A为原点，以AD，AC，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系Axyz，‎ 依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，B，P(0,0,2)．‎ ＝(0,1，－2)，＝(2，－1,0)．‎ 设平面PCD的法向量n＝(x，y，z)，‎ 则即 不妨令z＝1，可得n＝(1,2,1)，‎ 可取平面PAC的法向量m＝(1,0,0)．‎ 于是cos 〈m，n〉＝＝＝.‎ 由图知二面角APCD为锐角，‎ 所以二面角APCD的余弦值为.‎ ‎(2)设点E的坐标为(0,0，h)，其中h∈[0,2]．‎ 由此得＝，由＝(2，－1,0)，‎ 故cos〈，〉＝＝＝，‎ 所以＝cos 30°＝，解得h＝，即AE＝.‎ ‎3．(2019·南通一调)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，AB＝1，AD＝AS＝2，P是棱SD上一点，且SP＝PD.‎ ‎(1)求直线AB与CP所成角的余弦值；‎ ‎(2)求二面角APCD的余弦值．‎ 解：(1)如图，分别以AB，AD，SA所在直线为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系Axyz，‎ 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，S(0,0,2)．‎ 设P(x0，y0，z0)，由＝，得(x0，y0，z0－2)＝(0,2，－2)，‎ 所以x0＝0，y0＝，z0＝，则点P的坐标为.‎ 故＝，＝(1,0,0)，‎ 设直线AB与CP所成的角为α，‎ 则cos α＝＝－.‎ 所以直线AB与CP所成角的余弦值为.‎ ‎(2)设平面APC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，‎ 因为＝，＝(1,2,0)，‎ 所以即 令y1＝－2，则x1＝4，z1＝1，m＝(4，－2,1)，‎ 设平面SCD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，‎ 由于＝(1,0,0)，＝(0，－2,2)，‎ 所以即 令y2＝1，则z2＝1，n＝(0,1,1)．‎ 设二面角APCD的大小为θ(由图可知θ为锐角)，‎ 所以cos θ＝|cos〈m，n〉|＝＝，‎ 所以二面角APCD的余弦值为.‎ ‎4.如图，圆锥的高PO＝4，底面半径OB＝2，D为PO的中点，E为母线PB的中点，F为底面圆周上一点，满足EF⊥DE.‎ ‎(1)求异面直线EF与BD所成角的余弦值；‎ ‎(2)求二面角ODFE的正弦值．‎ 解：(1)以O为原点，底面上过O点且垂直于OB的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则B(0,2,0)，P(0,0,4)，D(0，0,2)，E(0,1,2)．‎ 设F(x0，y0,0)(x0＞0，y0＞0)，且x＋y＝4.‎ 则＝(x0，y0－1，－2)，‎ ＝(0,1,0)．‎ 因为EF⊥DE，则·＝y0－1＝0，故y0＝1.‎ 所以F(，1,0)，＝(，0，－2)，＝(0，－2,2)．‎ 设异面直线EF与BD所成角为α，‎ 则cos α＝＝＝.‎ 故异面直线EF与BD所成角的余弦值为.‎ ‎(2)设平面ODF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，‎ 则即 令x1＝1，得y1＝－，‎ 则平面ODF的一个法向量为n1＝(1，－，0)．‎ 设平面DEF的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，‎ 因为＝(0,1,0)，＝(，1，－2)，‎ 则即 令x2＝1，得z2＝，‎ 则平面DEF的一个法向量为n2＝.‎ 设二面角ODFE的平面角为β，‎ 则|cos β|＝＝＝，所以sin β＝.‎ 即二面角ODFE的正弦值为.‎ 二上台阶，自主选做志在冲刺名校 ‎(2018·镇江高三期末考试)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，E是棱PC的中点．‎ ‎(1)求BE与平面PBD所成角的正弦值；‎ ‎(2)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角FABP的正弦值．‎ 解：(1)以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0，2,0)，P(0,0,2)，由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)，‎ 故＝(0,1,1)，＝(－1,2,0)，＝(1,0，－2)．‎ 设n＝(x，y，z)为平面PBD的一个法向量，‎ 则即 令y＝1，得x＝2，z＝1，‎ 所以n＝(2,1,1)为平面PBD的一个法向量，‎ 设BE与平面PBD所成角为α，‎ 于是sin α＝|cos〈n，〉|＝＝＝.‎ 所以BE与平面PBD所成角的正弦值为.‎ ‎(2)由(1)知＝(1,2,0)，＝(－2，－2,2)，＝(2,2,0)，＝(1,0,0)．‎ 由点F在棱PC上，设＝λ (0≤λ≤1)．‎ 故＝＋＝＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．‎ 由BF⊥AC，得·＝0，‎ 因此2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝，‎ 即＝.‎ 设n1＝(x1，y1，z1)为平面FAB的法向量，‎ 则即 令z1＝1，得y1＝－3，‎ 所以n1＝(0，－3,1)为平面FAB的一个法向量．‎ 易知平面ABP的一个法向量n2＝(0,1,0)，‎ 则cos〈n1，n2〉＝＝－，‎ 设二面角FABP的平面角为θ，‎ 即sin θ＝.‎ 故二面角FABP的正弦值为.‎