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- 2021-06-11 发布
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2019年北京师大实验中学高考数学
模拟试卷(理科)(一)(3月份)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)已知集合A={0,1,2,3,4,5},集合B={x|x2<10},则A∩B=( )
A.{0,2,4} B.{3} C.{0,1,2,3} D.{1,2,3}
2.(5分)设实数x,y满足约束条件,则z=x+y的最小值是( )
A. B.1 C.2 D.7
3.(5分)若实数a满足,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.(5分)设x∈R,则“”是“()x>1”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.(5分)已知双曲线C:=1(a>0,b>0),其中,双曲线半焦距为c,若抛物线y2=4cx的准线被双曲线C截得的弦长为(e为双曲线C的离心率),则双曲线C的渐近线方程为( )
A.y= B.y= C.y= D.y=
6.(5分)已知奇函数f(x)在(﹣∞,+∞)上是增函数,若a=﹣f(3),b=f[log2(sin)],c=f(0.20.3),则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a
7.(5分)用一块圆心角为240°、半径为R的扇形铁皮制成一个无底面的圆锥容器(接缝忽略不计),则该容器的体积为( )
A. B. C. D.
8.(5分)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人,共猎得五鹿,欲以爵次分之,问各得几何?”其意思:“共有五头鹿,5人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表达,一般表示等差分配,在本题中表示等差分配).”在这个问题中,若大夫得“一鹿、三分鹿之二”,则公士得( )
A.三分鹿之一 B.三分鹿之二
C.一鹿 D.一鹿、三分鹿之一
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分.
9.(5分)在等比数列{an}中,前n项和为Sn,若S3=6,S6=54,则公比q的值是 .
10.(5分)已知数列{an}为等比数列,且a3a11+2a72=4π,则tan(a1a13)的值为 .
11.(5分)已知曲线f(x)=lnx+nx在x=x0处的切线方程为y=2x﹣1,则 f(1)+f'(1)= .
12.(5分)已知实数x,y满足约束条件,则z=x﹣2y的最大值为 .
13.(5分)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为实常数)的导函数为f'(x),若对任意x∈R不等式f(x)≤f'(x)恒成立,则的最大值为 .
14.(5分)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,E为y轴正半轴上的一点.且OE=3OF(O为坐标原点),若抛物线C上存在一点M(x0,y0),其中x0≠0,使过点M的切线l⊥ME,则切线l在y轴的截距为 .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知f(x)=12sin(x+)cosx﹣3,x∈[0,].
(1)求f(x)的最大值、最小值;
(2)CD为△ABC的内角平分线,已知AC=f(x)max,BC=f(x)min,CD=2,求∠C.
16.(13分)在多面体CABDE中,△ABC为等边三角形,四边形ABDE为菱形,平面ABC⊥平面ABDE,AB=2,∠DBA=.
(Ⅰ)求证:AB⊥CD;
(Ⅱ)求点B到平面CDE距离.
17.(14分)近年电子商务蓬勃发展,2017年某网购平台“双11”一天的销售业绩高达1682亿元人民币,平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,网购者对商品的满意率为0.70,对快递的满意率为0.60,其中对商品和快递都满意的交易为80次.
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表,并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”?
对快递满意
对快递不满意
合计
对商品满意
80
对商品不满意
合计
200
(2)为进一步提高购物者的满意度,平台按分层抽样方法从中抽取10次交易进行问卷调查,详细了解满意与否的具体原因,并在这10次交易中再随机抽取2次进行电话回访,听取购物者意见.求电话回访的2次交易至少有一次对商品和快递都满意的概率.
附:K2=(其中n=a+b+c+d为样本容量)
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
18.(13分)已知{bn}为正项等比数列,b2=2,b4=8,且数列{an}满足:anbn﹣1=log2bn.
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Tn,并求使得(﹣1)nλ<Tn恒成立λ的取值范围.
19.(14分)已知椭圆=1(a>b>0)左顶点为M,上顶点为N,直线MN的斜率为.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)直线l:y=x+m(m≠0)与椭圆交于A,C两点,与y轴交于点P,以线段AC为对角线作正方形ABCD,若|BP|=.
(i)求椭圆方程;
(ii)若点E在直线MN上,且满足∠EAC=90°,求使得|EC|最长时,直线AC的方程.
20.(13分)已知函数f(x)=2lnx﹣ax2(a∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;
(2)若函数f(x)的图象始终在函数g(x)=2x3图象的下方,求实数a的取值范围.
2019年北京师大实验中学高考数学模拟试卷(理科)(一)(3月份)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)已知集合A={0,1,2,3,4,5},集合B={x|x2<10},则A∩B=( )
A.{0,2,4} B.{3} C.{0,1,2,3} D.{1,2,3}
【分析】分别求出集合A,集合B,由此能求出A∩B.
【解答】解:∵集合A={0,1,2,3,4,5},
集合B={x|x2<10}={x|﹣},
∴A∩B={0,1,2,3}.
故选:C.
【点评】本题考查交集的求法,考查交集、并集定义等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
2.(5分)设实数x,y满足约束条件,则z=x+y的最小值是( )
A. B.1 C.2 D.7
【分析】由题意作平面区域,由解得A(,),从而求最小值.
【解答】解:由题意作平面区域如下,
,
由解得,A(,),
故z=x+y的最小值是+=,
故选:A.
【点评】本题考查了线性规划,同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想方法应用.
3.(5分)若实数a满足,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【分析】利用对数函数的单调性分别求解不等式与,取交集得答案.
【解答】解:∵=logaa,
∴0<a<1,,
∴.①,
又,
∴a.②,
由①②得:.
∴a的取值范围是(,1).
故选:C.
【点评】本题考查对数不等式的解法,考查了对数函数的单调性,是基础题.
4.(5分)设x∈R,则“”是“()x>1”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【解答】解:由得x<0或x>1,
由()x>1得x<0,
则“”是“()x>1”的必要不充分条件,
故选:B.
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键.
5.(5分)已知双曲线C:=1(a>0,b>0),其中,双曲线半焦距为c,若抛物线y2=4cx的准线被双曲线C截得的弦长为(e为双曲线C的离心率),则双曲线C的渐近线方程为( )
A.y= B.y= C.y= D.y=
【分析】由题意可得准线被双曲线C截得的弦长为=,化简即可求出
【解答】解:∵抛物线y2=4cx的准线:x=﹣c,它正好经过双曲线C:=1(a>0,b>0)的左焦点,
∴准线被双曲线C截得的弦长为:,
∴=,
∴3b2=a2•=c2=a2+b2,
∴2b2=a2,
∴=,
∴则双曲线C的渐近线方程为y=±x,
故选:B.
【点评】本题考查了抛物线和双曲线的简单性质,考查了转化能力和运算能力,属于中档题
6.(5分)已知奇函数f(x)在(﹣∞,+∞)上是增函数,若a=﹣f(3),b=f[log2(sin)],c=f(0.20.3),则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a
【分析】根据题意,由奇函数的性质分析可得a=﹣f(3)=f(﹣3)=f(log23),进而可得log2(sin)<0<0.20.3<1<log23,结合函数的单调性分析可得答案.
【解答】解:根据题意,f(x)为奇函数,则a=﹣f(3)=f(﹣3)=f(log23),
又由log2(sin)<0<0.20.3<1<log23,
又由f(x)在(﹣∞,+∞)上是增函数,
则有b<c<a;
故选:D.
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,关键是掌握函数奇偶性与单调性的性质.
7.(5分)用一块圆心角为240°、半径为R的扇形铁皮制成一个无底面的圆锥容器(接缝忽略不计),则该容器的体积为( )
A. B. C. D.
【分析】根据题意求出扇形围成的圆锥底面圆半径和高,再计算圆锥的体积.
【解答】解:扇形的圆心角为240°=,半径为R;
设扇形围成的圆锥底面半径为r,高为h;
则2πr=R,解得r=;
h==R,
则该圆锥的体积为V=πr2h=••R=.
故选:A.
【点评】本题考查了圆锥的结构特征与体积计算问题,是基础题.
8.(5分)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人,共猎得五鹿,欲以爵次分之,问各得几何?”其意思:“共有五头鹿,5人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表达,一般表示等差分配,在本题中表示等差分配).”在这个问题中,若大夫得“一鹿、三分鹿之二”,则公士得( )
A.三分鹿之一 B.三分鹿之二
C.一鹿 D.一鹿、三分鹿之一
【分析】五人分得的鹿肉斤数构成等差数列{an},d<0.a1=,S5=5,利用求和公式可得d,再利用通项公式即可得出.
【解答】解:五人分得的鹿肉斤数构成等差数列{an},d<0.
a1=1+=,S5=5,
∴+=5,解得d=﹣.
∴a5=﹣=.
故选:A.
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分.
9.(5分)在等比数列{an}中,前n项和为Sn,若S3=6,S6=54,则公比q的值是
2 .
【分析】利用等比数列前n项和列方程组,能求出公比q的值.
【解答】解:∵在等比数列{an}中,前n项和为Sn,S3=6,S6=54,
∴,
解得q=2,
∴公比q的值是2.
故答案为:2.
【点评】本题考查等比数列的公比的求法,考查等差数列、等比数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
10.(5分)已知数列{an}为等比数列,且a3a11+2a72=4π,则tan(a1a13)的值为 .
【分析】由已知条件a3a11+2a72=4π,以及等比数列的性质a3a11=,从而得到,由此能求出tan(a1a13)的值
【解答】解:由等比数列{an}的性质可得,a3a11=a72,
由a3a11+2a72=4π,则3a3a11=4π,
则a3a11=.
则tan(a1a13)=tan=tan=.
故答案为:.
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、三角函数求值,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
11.(5分)已知曲线f(x)=lnx+nx在x=x0处的切线方程为y=2x﹣1,则 f(1)+f'(1)= 3 .
【分析】求出原函数的导函数,利用f′(x0)=2求得x0,再由函数值相等求得n,则答案可求.
【解答】解:由f(x)=lnx+nx,得f′(x)=,
则f′(x0)==2,∴.
得f()==.
∴,即n=1.
∴f(x)=lnx+x,
则f(1)=1,f′(1)=2.
∴f(1)+f'(1)=3.
故答案为:3.
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,是中档题.
12.(5分)已知实数x,y满足约束条件,则z=x﹣2y的最大值为 ﹣1 .
【分析】由已知画出可行域,利用目标函数的几何意义求最大值.
【解答】解:实数x,y满足约束条件,如图区域为开放的阴影部分,
由解得B(5,3),
函数z=x﹣2y过点(5,3)时,zmax=x﹣2y=﹣1.
故答案为:﹣1.
【点评】本题考查了简单线性规划问题;正确画出可行域,利用目标函数的几何意义求最值是解答的关键.
13.(5分)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为实常数)的导函数为f'(x),若对任意x∈R不等式f(x)≤f'(x)恒成立,则的最大值为 .
【分析】由已知可得ax2+(b﹣2a)x+(c﹣b)≥0恒成立,即△=(b﹣2a)2﹣4a(c﹣b)=b2+4a2﹣4ac≤0,且a>0,进而利用基本不等式可得的最大值.
【解答】解:∵f(x)=ax2+bx+c,
∴f′(x)=2ax+b,
∵对任意x∈R,不等式f(x)≤f′(x)恒成立,
∴ax2+bx+c≤2ax+b恒成立,
即ax2+(b﹣2a)x+(c﹣b)≤0恒成立,
故△=(b﹣2a)2﹣4a(c﹣b)=b2+4a2﹣4ac≤0,且a>0,
即b2≤4ac﹣4a2,
∴4ac﹣4a2≥0,
∴c≥a>0,
∴≥1,可令t=,即t≥1,t=1时,a=c,b=0;
故t>1时,≤===
=≤=2﹣2,当且仅当t=1+时,取得最大值2﹣2.
故答案为:2﹣2
【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质,导函数,恒成立问题,最值,基本不等式,是函数方程不等式导数的综合应用,难度大.
14.(5分)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,E为y轴正半轴上的一点.且OE=3OF(O为坐标原点),若抛物线C上存在一点M(x0,y0),其中x0≠0,使过点M的切线l⊥ME,则切线l在y轴的截距为 ﹣1 .
【分析】根据ME与切线l垂直列方程求出M点坐标,从而得出切线l的方程,得出截距.
【解答】解:由题意可得:F(0,1),E(0,3),
由x2=4y可得y=,y′=,
∴直线l的斜率为y′|x=x0=,直线ME的斜率为.
∵切线l⊥ME,∴.结合x02=4y0.
解得x0=±2,
不妨设M(2,1),则直线l的方程为y﹣1=x﹣2,即y=x﹣1.
∴直线l在y轴的截距为﹣1.
故答案为:﹣1.
【点评】本题考查了抛物线的性质,切线的求解,直线位置关系的判断,属于中档题.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知f(x)=12sin(x+)cosx﹣3,x∈[0,].
(1)求f(x)的最大值、最小值;
(2)CD为△ABC的内角平分线,已知AC=f(x)max,BC=f(x)min,CD=2,求∠C.
【分析】(1)首先f(x)=6sin(2x+),由x∈[0,],得sin(2x+)∈[,1],得f(x)max=6,f(x)min=3;
(2)由角平分线性质定理得:AD2=4BD2,由余弦定理得BD2=17﹣12cos,AD2=44﹣24cos,得C=.
【解答】(1)f(x)=12sin(x+)cosx﹣3=12(sinx+cosx)cosx﹣3
=6sinxcosx+6cos2x﹣3=3sin2x+3cos2x=6sin(2x+),
∵x∈[0,],∴2x+∈[,],∴sin(2x+)∈[,1],
∴f(x)max=6,f(x)min=3;
(2)由角平分线性质定理得:===2,∴AD2=4BD2,
△BCD中,BD2=17﹣12cos,
△ACD中,AD2=44﹣24cos,
∴44﹣24cos=68﹣48cos
∴cos=,∴C=.
【点评】本题考查y=Asin(ωx+φ)的最值,余弦定理,把函数转化为y=Asin(ωx+φ)此种形式是关键.
16.(13分)在多面体CABDE中,△ABC为等边三角形,四边形ABDE为菱形,平面ABC⊥平面ABDE,AB=2,∠DBA=.
(Ⅰ)求证:AB⊥CD;
(Ⅱ)求点B到平面CDE距离.
【分析】(Ⅰ)取AB中点O,连结CO,DO,推导出CO⊥AB,DO⊥AB,从而AB⊥面DOC,由此能证明AB⊥CD.
(Ⅱ)推导出CO⊥面ABDE,CO⊥OD,AB⊥CD,ED⊥DC,设点B到面CDE的距离为h,,由此能求出结果.
【解答】证明:(Ⅰ)取AB中点O,连结CO,DO,…..(1分)
∵△ABC为等边三角形,∴CO⊥AB,…(2分)
∵四边形ABDE为菱形,∠DBA=60°,
∴△DAB为等边三角形,∴DO⊥AB,….(3分)
又∵CO∩DO=O,∴AB⊥面DOC,…..(5分)
∵DC⊂面DOC,∴AB⊥CD.…..(6分)
解:(Ⅱ)∵面ABDE⊥面ABC,CO⊥AB,面ABDE∩面ABC=AB,
CO⊂面ABC,∴CO⊥面ABDE,
∵OD⊂面ABDE,∴CO⊥OD,….…(8分)
∵OD=OC=,
在Rt△COD中,CD==,
由(1)得AB⊥CD,
∵ED∥AB,ED⊥DC,
∴==,…(9分)
S△BDE==,…..…..(10分)
设点B到面CDE的距离为h,
∵,∴.….(11分)
即,
∴h=.….….(12分)
【点评】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系,几何体的体积等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等.
17.(14分)近年电子商务蓬勃发展,2017年某网购平台“双11”一天的销售业绩高达1682亿元人民币,平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,网购者对商品的满意率为0.70,对快递的满意率为0.60,其中对商品和快递都满意的交易为80次.
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表,并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”?
对快递满意
对快递不满意
合计
对商品满意
80
对商品不满意
合计
200
(2)为进一步提高购物者的满意度,平台按分层抽样方法从中抽取10次交易进行问卷调查,详细了解满意与否的具体原因,并在这10次交易中再随机抽取2次进行电话回访,听取购物者意见.求电话回访的2次交易至少有一次对商品和快递都满意的概率.
附:K2=(其中n=a+b+c+d为样本容量)
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
【分析】(1)由题意填写列联表,计算观测值,对照临界值得出结论;
(2)根据题意,用列举法求出基本事件数,计算所求的概率值.
【解答】解:(1)由题意,填写2×2列联表,如下:
对快递满意
对快递不满意
合计
对商品满意
80
60
140
对商品不满意
40
20
60
合计
120
80
200
计算K2==≈1.59,
由于1.59<6.635,
所以没有99%的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”;
(2)根据题意,抽取的10次交易中,对商品和快递都满意的交易有4次,记为A、B、C、D,
其余6次不是都满意的交易记为1、2、3、4、5、6,那么抽取2次交易一共有45种可能:
AB、AC、AD、A1、A2、A3、A4、A5、A6、BC、BD、B1、B2、……、56,
其中2次交易对商品和快递不是都满意的有15种:
12、13、14、15、16、……、56;
所以,在抽取的2次交易中,至少一次对商品和快递都满意的概率是
P==.
【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题,也考查了列举法求古典概型的概率问题.
18.(13分)已知{bn}为正项等比数列,b2=2,b4=8,且数列{an}满足:anbn﹣1=log2bn.
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Tn,并求使得(﹣1)nλ<Tn恒成立λ的取值范围.
【分析】(I)设正项等比数列{bn}的公比为q,由b2=2,b4=8,可得q.利用等比数列的通项公式可得bn.又数列{an}满足:anbn﹣1=log2bn.代入可得an.
(II)利用错位相减法可得Tn.(﹣1)nλ<Tn恒成立.对n分类讨论,利用数列的单调性即可得出.
【解答】解:(I)设正项等比数列{bn}的公比为q,∵b2=2,b4=8,∴q==2.
∴bn==2×2n﹣2=2n﹣1.
又数列{an}满足:anbn﹣1=log2bn.
∴2n﹣1•an﹣1=n﹣1,可得an=.
(II)Tn=1++……+,
=++……++,
∴Tn=+……+﹣=﹣,
化为:Tn=4﹣.
Tn﹣Tn﹣1=>0,因此数列{Tn}为单调递增数列.
(﹣1)nλ<Tn恒成立.
n为偶数时,λ<(Tn)min=T2=2.
n为奇数时,﹣λ<(Tn)min=T1=1,解得λ>﹣1.
综上可得:λ的取值范围为(﹣1,2).
【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、数列的单调性、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
19.(14分)已知椭圆=1(a>b>0)左顶点为M,上顶点为N,直线MN的斜率为.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)直线l:y=x+m(m≠0)与椭圆交于A,C两点,与y轴交于点P,以线段AC为对角线作正方形ABCD,若|BP|=.
(i)求椭圆方程;
(ii)若点E在直线MN上,且满足∠EAC=90°,求使得|EC|最长时,直线AC的方程.
【分析】(Ⅰ)根据直线的斜率可得a=2b,即可求出离心率,
(Ⅱ)(i)将直线方程代入椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式求得AC及丨PQ丨,根据勾股定理即可求出b的值,
(ii)根据平行间的距离公式求出|AE|,再根据勾股定理和二次函数的性质即可求出.
【解答】解:(Ⅰ)∵左顶点为M,上顶点为N,直线MN的斜率为.
∴=,
∴e====,
(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知椭圆方程为x2+4y2=4b2,
设A(x1,y1),C(x2,y2),线段AC中点Q
则,整理得:x2+2mx+2m2﹣2b2=0,
由△=(2m)2﹣4×(2m2﹣b2)=2b2﹣m2>0,
则x1+x2=﹣2m,x1x2=2m2﹣2b2,
y1+y2=(x1+x2)+2m=m,
则Q(﹣m, m),
由l与y轴的交点P(0,m),
丨PQ|═=|m|,
∴|BP|2=|BQ|2+|PQ|2=|AC|2+|PQ|2=(2b2﹣m2)+m2=b2=,
∴b2=1,
即b=1,
∴椭圆方程为+y2=1;
(ii)由(i)可知|AC|=•,
∵直线MN的方程为y=x+1,
∴直线MN与直线L的距离为,
∵点E在直线MN上,且满足∠EAC=90°,
∴|AE|=,
∴|EC|2=|AE|2+|AC|2=(1﹣m)2+5(2﹣m2)=﹣m2﹣m+,
当m=﹣时,此时|EC|最长,
故直线直线AC的方程y=x﹣
【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理,弦长公式及中点坐标公式,考查计算能力,属于中档题.
20.(13分)已知函数f(x)=2lnx﹣ax2(a∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;
(2)若函数f(x)的图象始终在函数g(x)=2x3图象的下方,求实数a的取值范围.
【分析】(1)求出函数的导数,得到函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;
(2)问题转化为(x∈(0,+∞)),令(x>0),根据函数的单调性求出h(x)的最大值,从而求出a的范围即可.
【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=2lnx﹣x2,定义域为(0,+∞),
=,令f'(x)=0,则x=1,
∵x∈(0,1)时,f'(x)>0;x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,
∴x=1时,f(x)极大值=f(1)=﹣1;无极小值.
(2)令F(x)=g(x)﹣f(x)=2x3﹣2lnx+ax2,
由题意,函数f(x)的图象始终在函数g(x)=2x3图象的下方,
等价于F(x)>0在(0,+∞)恒成立,即2x3+ax2﹣2lnx>0恒成立,
得到(x∈(0,+∞)).
令(x>0),,
显然h'(1)=0,又函数y=2﹣2x3﹣4lnx在(0,+∞)上单调递减;
所以当x∈(0,1)时,h'(x)>0;x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,
则h(x)≤h(1)=﹣2,因此a>﹣2,
所以a∈(﹣2,+∞).
【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,是一道中档题.