2020-2021学年高二数学上册同步练习：两点式方程 9页

2020-2021 学年高二数学上册同步练习：两条直线平行与垂直的判定 一、单选题 1．过点 6(5 )A ， 和点 ()12B － ， 的直线的两点式方程是（ ） A． 51 62 yy xx  B． 65 2 6 1 5 yx   C． 2 6 1 5 65yx    D． 65 2 6 1 5 xy   【答案】B 【解析】因为所求直线过点 和点 ，根据直线的两点式方程可得： 所求直线方程为 . 故选 B. 2．过两点 ( 2 ,0 ) ， (0 ,1) 的直线方程为（ ） A． 2 2 0xy- + = B． 2 1 0xy   C． 20xy D． 2 1 0xy   【答案】A 【解析】 根据直线方程的两点式  11 12 2121 yyxx xxyyxx  将两点 , 代入可得: 02 1002 yx 整理可得: 过两点 , 的直线方程为: 故选 A. 3．△ABC 的三个顶点为 (2,8),(4,0),(6,0)ABC  ，则 AC 边上的中线所在直线的方程为（ ） A． 40xy B． 2 4 0xy   C． 2 4 0xy   D． 2 4 0xy   【答案】D 【解析】 26 42   ， 80 42   ，∴ AC 边中点为 (4,4)D ， ∴中线 BD 方程为 4 4 4 4 xy  ，即 ． 故选 D． 4．直线 l 过点 A(-4，-6)，B(2，6)两点，点 C(1006，b)在直线 l 上，则 b 的值为（ ） A．2012 B．2013 C．2014 D．2016 【答案】C 【解析】因为直线 l 过 A(-4，-6)，B(2，6)两点， 所以直线 l 的方程为 y6 66   = x4 24   ，即 y=2x+2. 又点 C(1006，b)在直线 l 上， 所以 b=2×1006+2=2014. 故选 C 5．已知 A、B 两点分别在两条互相垂直的直线 y＝2x 和 x＋ay＝0 上，且线段 AB 的中点为 P(0，10 a )，则直 线 AB 的方程为（ ） A．y＝－ 3 4 x＋5 B．y＝ x－5 C．y＝ x＋5 D．y＝－ x－5 【答案】C 【解析】由直线 2x﹣y=0 和 x+ay=0 垂直可得 a=2， 则 P（0，5）， 设   2 112A2B 2 xxxx  ， ， ， ， 于是有 12 2 1 0 210 2 xx xx   ，解得 1 2 4 4 x x    ． 于是 A（4，8），B（﹣4，2）， ∴AB 所在的直线方程为 24 8 2 4 4 yx ，即 y＝ x＋5． 故选 C 6．已知直线 1110a x b y   和直线 2210a xb y 都过点  2,1A ,则过点  1 1 1,P a b 和点  2 2 2,P a b 的直 线方程是（ ） A． 2 1 0xy   B． 2 1 0xy   C． 2 1 0xy   D． 2 1 0xy   【答案】B 【解析】把  2,1A 坐标代入两条直线 1110a x b y   和 2210a x b y   ,得 112 1 0ab   , 222 1 0ab   ,  12212 aabb , 过点  1 1 1 ,P a b ,  222 ,P a b 的直线的方程是： 11 2121 y b x a b b a a ,  112ybxa ,则  11220xyab , 112 1 0ab   , 1121ab    ,  所求直线方程为： 2 1 0xy   ． 故选 B 7．一条光线从 1( ,0 )2A  处射到点 ( 0 ,1)B 后被 y 轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ） A． 2 1 0xy   B． 2 1 0xy   C． 2 1 0xy   D． 2 1 0xy   【答案】B 【解析】由反射定律可得点 关于 轴的对称点 1(,0)2M 在反射光线所在的直线上， 再根据点 也在反射光线所在的直线上，用两点式求得反射光线所在的直线方程为 ． 故选 B． 8．设 △ABC 的一个顶点是 A（3，-1），∠B，∠C 的平分线方程分别是 x=0，y=x，则直线 BC 的方程是（ ） A． 25yx B． 23yx C． 35yx D． 5 22 xy  【答案】A 【解析】∵∠B、∠C 的平分线分别是 x=0，y=x， ∴AB 与 BC 对于 x=0 对称，AC 与 BC 对于 y=x 对称． 因为点 A（3，-1）关于 x=0 的对称点 A'（-3，-1）在直线 BC 上， 点 A 关于 y=x 的对称点 A''（-1，3）也在直线 BC 上． 由两点式得 3 3 1 ,1 1 3 y x    所求直线 BC 的方程：y=2x+5． 故选 A． 9．下列命题中正确的是（ ） A．经过点  0 0 0,P x y 的直线都可以用方程  00y y k x x   表示 B．经过定点  0,Ab的直线都可以用方程 y k x b表示 C．经过任意两个不同点    111222,,,PxyPxy 的直线都可用方程    211x x y y   211yyxx 表示 D．不经过原点的直线都可以用方程 1xy ab表示 【答案】C 【解析】因为直线与 x 轴垂直时不能用点斜式与斜截式表示，所以选项 ,AB不正确； 因为直线与坐标轴垂直时不能与截距式表示，所以选项 D 不正确； 故选 C. 10．已知  ()2,3,6,2MN ，点 P 在 轴上，且使得 P M P N 取最小值，则点 的坐标为（ ） A． ( 2 ,0 ) B． 12 ,05   C． 14 ,05   D．  6 ,0 【答案】C 【解析】如图， M 关于 x 轴对称点是  ' 2,3M  ，M’和 N 在 x 轴两侧，则当 M’N 成一直线，此时，M’N 与 x 轴交于 P 点，有 取最小值，此时， 'PMPNMN ，而直线 M’N 的方程为 26 3 2 2 6 yx    ，化 简得，58140xy ，则直线 M’N 交 x 轴于 P 点，所以，P 点坐标为 故选 C 11．A、B 两点的坐标分别为 3,1 和 1,3 ，则线段 AB 的垂直平分线方程为（ ） A． yx B． yx C． 40xy   D． 40xy 【答案】A 【解析】由题,直线 AB 的两点式方程为: 13 3 1 1 3 yx,即 , 设直线 的垂线为 0x y D   ,中点为  2 ,2 , 将点代入可得 2 2 0 D   ,则 0D  ,所以 0xy, 所以线段 AB 的垂直平分线方程为: , 故选 A 12．在平面直角坐标系中，下列四个结论： ①每一条直线都有点斜式和斜截式方程； ②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数； ③方程 1 2 yk x   与方程  12y k x   可表示一条直线； ④直线 l 过点  00,Pxy ，倾斜角为 90 ，则其方程为 0xx . 其中正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故错；对于②，倾斜角是钝角的直线， 其倾斜角的正切值为负数，直线斜率为负数，正确；对于③，方程 表示直线 去掉点 2, 1 与方程 不表示同一直线，故错；对于④，直线 过点 ，倾斜 角为 90 ，则其方程为 ，正确，正确的个数为 2 ， 故选 B. 二、填空题 13．已知点  1,2A ，  1,2B  ，则直线 的方程是________. 【答案】 20xy 【解析】 直线的两点式方程为 11 2 1 2 1 x x y y x x y y  ， 代入  1, 2A ，  1, 2B  ，得 12 1 2 12 xy    ， 整理得直线 AB 的方程是 20xy. 故填 . 14．若三点 A(1,1)，B(a，0)，Ｃ（0，2）共线，则 a＝____． 【答案】2 【解析】由题意得过点 A,C 的直线方程为 11 2 1 0 1 yx ， 整理得 20xy   ． 又点 ( ,0 )Ba 在直线上， ∴ 20a ， 解得 2a  ． 故填 2． 15．已知△ABC 三顶点 A(1,2)、B(3,6)、C(5,2)，M 为 AB 中点，N 为 AC 中点，则中位线 MN 所在直线方 程为______ 【答案】 280xy 【解析】由中点坐标公式可求得中点坐标：  2,4M ，  3 , 2N ， 代入两点式公式可得： 24 3224 xy ，化简得： . 故填 16．一条光线从点 ( 6 ,4 )P 射出，与 x 轴相较于点 (2 ,0 )Q ，经 x 轴反射，则反射光线所在的直线方程为______ 【答案】 2yx   【解析】由光学知识可得反射光线所在的直线过点  2,0Q 和  6,4P 关于 x 轴的对称点 (6,4)M  ，其 直线方程为 0 4 0 2 6 2 y x    ，即 . 故填 17．若 112 3 4ab， 222 3 4ab，则过点  11,A a b ，  22,B a b 的直线方程为________． 【答案】 2 3 4xy 【解析】因为点  11,A a b ，  22,B a b 的坐标满足方程 2 3 4xy， 故过点 ， 的直线方程为 . 故填 18．以点 ( 5 ,8 )P 和 ( 3, 4 )Q  为端点的线段的方程是_________. 【答案】6220(35)xyx „ . 【解析】过两点 ， 的线段的方程是 85(35)4835 yx x 剟 即 6 22 0(3 5)x y x   剟 . 故填 三、解答题 19．已知 ABC 的顶点 ( 2 ,1 )A  、 (4,3)B 、 (2, 2)C  ，试求： （1）求 AB 边的中线所在直线方程； （2）求 AC 边上的高所在直线的方程. 【解析】（1）线段 的中点坐标为 (1,2 ) 所以 边上的中线所在直线的方程是： 21 2221 yx ， 即 460xy ； （2）由已知 1(2) 22 3 4ACk      ，则 边上高的斜率是 4 3 ， 边上的高所在直线方程是 3 43(4)yx ， 即 4370xy ． 20．已知点  2, 3A 和点  4,5B  ， 直线 l 过点  1,2P  （1）求直线 的方程 （2）若直线 到点 和点  4, 5B  的距离相等，求直线 的方程. 【解析】（1）由题意直线 方程为 32 5 3 4 2 yx   ，即 3 11 0xy   （2）当直线 l 与 AB 平行时，设直线 的方程为 30x y m   ， ∵直线过 ( 1,2 )P  ，∴ 1 3 2 0 m     ， 5m  ， 直线方程为 3 5 0xy   ， 线段 的中点为 ( 1,4 )N  ，直线 过 ,PN两点，方程为 1x  ． ∴所求直线方程为 或 ． 21．已知点 ( 5,1)A 关于 x 轴的对称点为 11( , )B x y ，关于原点的对称点为 22( , )C x y . （1）求 ABC 中过 ， BC 边上中点的直线方程； （2）求 的面积. 【解析】（1）∵点 关于 轴的对称点为 ，∴ ( 5 , 1)B  . 又∵点 关于原点的对称点为 ， ∴ (5,1)C  ， ∴ 的中点坐标是 ( 5 ,0 ) ， 的中点坐标是 ( 0 , 1) . 过 ， 的直线方程是 05 1 0 0 5 yx   ， 整理得 550xy . （2）易知 112AB  ， 5510BC  ， ABBC ， ∴ 的面积 112 10 1022S AB BC      . 22．已知 的三个顶点分别为      1,1,5,4,3,8ABC ， （1）求 AB 的垂直平分线所在的直线方程； （2）过点 A 作直线 ，它把 的面积分成 1：3 两部分，求直线 的方程. 【解析】（1） 的三个顶点分别为 4 1 3 5 1 4ABk  ，则 4 3k  ， 中点为 1 5 1 4( , )22 即 5(3,)2 则垂直平分线方程为： 45(3)32yx  整理得到 394 3 02xy   （2）过点 A 作直线 ，它把 的面积分成 1：3 两部分 则直线 l 过 BC 的四等分点 ( , )D x y ，即 1 4B D B C 或 3 4B D B C 当 时： 1(5,4)(2,4) 4xy 解得 9 ,52xy 此时的 AD 直线方程为： 9 11 2 1 5 1 y x   整理得到 8 7 1 0xy   当 时： 3(5,4)(2,4) 4xy 解得 7 ,72xy 此时的 直线方程为： 7 11 2 1 7 1 y x   整理得到 1 2 5 7 0xy   综上所述：直线方程为 或 .