【数学】2020届一轮复习人教B版（文）第九章43椭圆作业 8页

‎【课时训练】椭　圆 一、选择题 ‎1．(2018湖南六校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋y2＝1 D.＋y2＝1‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c＝1.又离心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎2．(2018保定模拟)已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　)‎ A．－21 B．21‎ C．－或21 D.或－21‎ ‎【答案】D ‎【解析】当9>4－k>0，即4>k>－5时，a＝3，c2＝9－(4－k)＝5＋k，∴＝，解得k＝.‎ 当9<4－k，即k<－5时，a＝，c2＝－k－5，‎ ‎∴＝，解得k＝－21，故选D.‎ ‎3．(2018青岛模拟)已知A1，A2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左 ‎，右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，若直线PA1，PA2的斜率的乘积为－，则椭圆C的离心率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎【答案】D ‎【解析】设P(x0，y0)，则×＝－，‎ 化简，得＋＝1，‎ 则＝，e＝＝＝，故选D.‎ ‎4．(2018百校联盟TOP20联考)根据天文物理学和数学原理，月球绕地球运行时的轨道是一个椭圆．地球位于椭圆的两个焦点位置中的一个，椭圆上的点距离地球最近的点称为近地点．已知月球轨道上近地点高度约为36万千米，月球轨道上点P与椭圆两焦点F1，F2构成的三角形PF‎1F2的面积约为480 (万千米)2，∠F1PF1＝，则月球绕地球运行轨道的一个标准方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎【答案】B ‎【解析】设月球绕地球运行轨道的一个标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由椭圆的定义和余弦定理可得焦点三角形的面积S＝b2tan＝b2＝480　，解得b2＝40×36.‎ ‎∵月球轨道上近地点高度为36，∴a－c＝36.‎ ‎∵b2＝a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝40×36，‎ ‎∴a＋c＝40，∴a＝38.‎ 故所求的标准方程为＋＝1.故选B. ‎ ‎5．(2018贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为(　　)‎ A．1 B. ‎ C．2 D．2 ‎【答案】D ‎【解析】设a，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意，知当三角形的高为b时面积最大，‎ 所以×2cb＝1，bc＝1.‎ 而‎2a＝2≥2＝2(当且仅当b＝c＝1时取等号)，故选D.‎ ‎6．(2018济南质检)设A1，A2为椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右顶点，若在椭圆上存在异于A1，A2的点P，使得·＝0，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】A1(－a,0)，A2(a,0)，‎ 设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(a－x，－y)，∵·＝0，∴(a－x)(－x)＋(－y)(－y)＝0.‎ ‎∴y2＝ax－x2>0，∴0.‎ 又0<<1，∴<<1.故选D.‎ 二、填空题 ‎7．(2018西安质量检测)若椭圆＋＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，过点(2,1)作圆x2＋y2＝4的切线，切点分别为点A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程为________________．‎ ‎【答案】＋＝1‎ ‎【解析】设切点坐标为(m，n)，‎ 则·＝－1，‎ 即m2＋n2－n－‎2m＝0.‎ ‎∵m2＋n2＝4，∴‎2m＋n－4＝0，‎ 即直线AB的方程为2x＋y－4＝0.‎ ‎∵直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，‎ ‎∴‎2c－4＝0，b－4＝0，解得c＝2，b＝4.‎ ‎∴a2＝b2＋c2＝20.‎ ‎∴椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎8．(2018南昌一模)已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.‎ ‎9．(2018石家庄质检)椭圆＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是____________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，‎ 则＝(x＋，y)，＝(x－，y)．‎ ‎∵∠F1PF2为钝角，∴·<0，‎ 即x2－3＋y2<0.①‎ ‎∵y2＝1－，代入①，得x2－3＋1－<0，‎ x2<2，∴x2<，‎ 解得－b>0)的左顶点A(－a,0)作直线l交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且＝2，则椭圆的离心率为________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】∵△AOP是等腰三角形，A(－a,0)，∴P(0，a)．‎ 设Q(x0，y0)，∵＝2，‎ ‎∴(x0，y0－a)＝2(－a－x0，－y0)．‎ ‎∴解得 代入椭圆方程化简，可得＝，‎ ‎∴e＝＝.‎ 三、解答题 ‎11．(2018乌鲁木齐调研)如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点，上顶点分别为A，B，且|AB|＝|BF|.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)若斜率为2的直线l过点(0,2)，且l交椭圆C于P，Q两点，OP⊥OQ，求直线l的方程及椭圆C的方程．　‎ ‎【解】(1)由已知|AB|＝|BF|，即＝a，‎ ‎4a‎2＋4b2＝‎5a2,‎4a2＋4(a2－c2)＝‎5a2，∴e＝＝.‎ ‎(2)由(1)，知a2＝4b2，∴椭圆C：＋＝1.‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 直线l的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.‎ 由消去y，‎ 得x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0，‎ 即17x2＋32x＋16－4b2＝0.‎ Δ＝322＋16×17(b2－4)>0，解得b>.‎ x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ ‎∵OP⊥OQ，∴·＝0，‎ 即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0，‎ ‎5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0.‎ 从而－＋4＝0，‎ 解得b＝1，满足b>.‎ ‎∴椭圆C的方程为＋y2＝1.‎