辽宁省大连市2020届高三上学期第二次模拟考试数学（文）试题 含解析 11页

‎2019-2020学年辽宁省大连市高三（上）第二次模拟数学试卷（文科）‎ 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. ‎ 2. 已知复数z满足，则 A. B. C. D. ‎ 3. 命题“，”的否定是 A. ， B. ， C. ， D. ，‎ 4. 若，，则 A. B. C. D. ‎ 5. 若命题“”为假，且“”为假，则 A. p或q为假 B. q假 C. q真 D. 不能判断q的真假 6. 在等差数列中，已知，，则等于 A. 40 B. ‎42 ‎C. 43 D. 45‎ 7. 运行流程图，若输入，则输出的y值为 ‎ A. 4 B. ‎9 ‎C. 0 D. 5‎ 8. 双曲线过点，则双曲线的焦点是 A. ， B. ， C. ， D. ，‎ 9. 已知向量，，，则 A. B. C. D. 24‎ 10. 若函数在区间上单调递减，则a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 11. 甲、乙、丙三名同学在军训的实弹射击各射击10发子弹，三人的射击成绩如表．，，分别表示甲、乙、丙三名同学这次射击成绩的标准差，则 环数 ‎7环 ‎8环 ‎9环 ‎10环 甲的频数 ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎2‎ 乙的频数 ‎1‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎1‎ 丙的频数 ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ A. B. C. D. ‎ 1. 如图，，，是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1，与间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在，，上，则的边长是 ‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 2. 实数x，y满足，则的最小值等于______．‎ 3. 已知，则 ______ ．‎ 4. 已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸单位：，可得这个几何体的体积是______  ． ‎ 5. 对于，有如下命题： 若，则一定为等腰三角形． 若，则一定为等腰三角形． 若，则一定为钝角三角形． 若，则一定为锐角三角形． 则其中正确命题的序号是______ 把所有正确的命题序号都填上 三、解答题（本大题共7小题）‎ 6. 设A，B，C是的内角，已知向量，向量，． Ⅰ求角B的大小； Ⅱ求的取值范围． ‎ 7. 试比较下面概率的大小： Ⅰ如果以连续掷两次骰子依次得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，点P在直线的下面包括直线的概率； Ⅱ 在正方形，，x，，随机地投掷点P，求点P落在正方形T内直线的下面包括直线的概率． ‎ 1. 一个多面体的三视图正视图、侧视图、俯视图如图所示，M，N分别是，的中点． 求证：平面； 求证：平面； 若这个多面体的六个顶点A，B，C，，，都在同一个球面上，求这个球的体积．‎ ‎ ‎ 2. 已知椭圆C过点，两焦点为，． Ⅰ求椭圆C的方程； Ⅱ若椭圆C与直线交于P，Q两点，且为坐标原点，求证：为定值，并求此定值． ‎ 3. 设函数在，处取得极值，且． Ⅰ若，求b的值，并求的单调区间； Ⅱ若，求b的取值范围． ‎ 1. 已知直线l经过点，且倾斜角为，圆C的参数方程为是参数，直线l与圆C交于，两点． Ⅰ写出直线l的参数方程，圆C的普通方程； Ⅱ求，两点的距离． ‎ 2. 是否存在实数a，使得不等式有解？若存在，求出实数a的范围；若不存在，说明理由． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D ‎ ‎【解析】解：由已知， ，则， 故选D． 根据一元二次不等式的解法，对集合M进行化简得，利用数轴求出它们的交集即可． 此题是基础题．本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题， 2.【答案】D ‎ ‎【解析】解： ， 故选：D． 首先根据所给的等式表示出z，是一个复数除法的形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母同时进行乘法运算，得到最简形式． 本题考查复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果． 3.【答案】C ‎ ‎【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“”的否定是命题：，． 故选：C． 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题． 4.【答案】A ‎ ‎【解析】解：，， ， ． 故选：A． 由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据两角和的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解． 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 5.【答案】B ‎ ‎【解析】解：因为“”为假， 所以p为真； 又因为“”为假， 所以q为假． 对于A，p或q为真， 对于C，D，显然错， 故选：B． 根据复合命题的真值表，先由“”为假，判断出p为真；再根据“”为假，判断q 为假． 本题考查复合命题的真假与构成其两个简单命题的真假的关系：“”全真则真；：“”全假则假；“”与p真假相反． 6.【答案】B ‎ ‎【解析】解：在等差数列中，已知，， 得，， ． 故选：B． 先根据，求得d和，进而根据等差中项的性质知求得答案． 本题主要考查了等差数列的性质．属基础题． 7.【答案】A ‎ ‎【解析】解：分析程序的功能是计算并输出分段函数 ； 输入时，计算； 所以输出． 故选：A． 分析程序的功能是计算并输出分段函数y的值，代入对应是x的值求出y的值即可． 本题考查了利用程序框图求分段函数值的应用问题，是基础题． 8.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查双曲线的焦点坐标的求法，做题时注意判断焦点位置，属于基础题． 先将点的坐标代入双曲线方程求出a值，再利用双曲线的标准方程，就可求出双曲线中的a，b的值，根据双曲线中a，b，c的关系式即可求出半焦距c的值，判断焦点位置，就可得到焦点坐标． 【解答】 解：双曲线过点， ， ，，， 又双曲线焦点在x轴上， 焦点坐标为 故选B． 9.【答案】C ‎ ‎【解析】解：，， ， ， ． 故选：C． 根据，，对两边平方，进行数量积的运算即可求出的值． 本题考查了向量数量积的运算，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题． 10.【答案】D ‎ ‎【解析】解：在区间上单调递减， 在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， ， ． 故选：D． 由在区间上恒成立，结合二次函数的性质即可求解． 本题主要考查导数法研究函数的单调性． 11.【答案】A ‎ ‎【解析】解：解法一：，，， 同理可得，，，， 或者观察法：乙的数据比较集中，方差最小，丙的数据比较离散，方差最大， 故选：A． 求出平均数，代入计算标准差即可，或者用观察法，判断离散情况估计． 本题考查了求平均数与方差和标准差的问题，基础题． 12.【答案】D ‎ ‎【解析】解：作高AE，BG，如图， 设，则， 于是，， ， ， ∽， ，即， ， ， ， ， ． 故选：D． 根据题意作高AE，BG，如图根据等边三角形及直角三角形的性质，设，则，求出DG，BG根据三角形相似根据其相似比可求出DF，DE的长，再根据勾股定理即可解答． 本题考查了勾股定理，此题比较复杂，结合了平行线的性质，等腰三角形，直角三角形的性质，是一道具有一定综合性的好题． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示； 由得，平移直线， 则由图象可知当直线， 经过点A 时直线的截距最小， 此时z最小， 由，解得， 此时； 即的最小值为． 故答案为：． 画出不等式组表示的平面区域，由得直线，平移直线找出最优解，计算z的最小值． 本题考查了简单的线性规划应用问题，根据z的几何意义，利用数形结合是解题的关键． 14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：函数的导数为， 则， 故答案为： 求函数的导数，即可得到结论． 本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥， 其底面面积， 高， 故体积， 故答案为： 由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入锥体体积公式，可得答案． 本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】【分析】 本题借助命题考查三角形的有关知识，属于一般题． 【解答】 解：或，为等腰或直角三角形，故不正确． 或，又，不可能成立，故A，一定是等腰三角形，故正确． 由可得 由正弦定理可得 再由余弦定理可得，C为钝角，命题正确． 、B、C全为锐角，命题正确． 故答案是． 17.【答案】解：Ⅰ向量，向量，， ，得， 又，， ，解得． Ⅱ由Ⅰ知 ，， ， ，， 的取值范围是 ‎ ‎【解析】Ⅰ利用向量垂直的性质求出，由此能求出B． Ⅱ由，得，，由此能求出的取值范围． 本题考查角的大小和两角的正弦和的取值范围的求法，考查向量垂直的性质、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 18.【答案】解：Ⅰ把一颗质地均匀的骰子连续掷两次，基本事件的总数为． 由m，2，3，4，5，  满足的点有： ，，，，，，，，共10种． ． Ⅱ正方形的面积． 直线与，围成的三角形面积 ． ． ． 故． ‎ ‎【解析】Ⅰ把一颗质地均匀的骰子连续掷两次，依次得到点数m、n，基本事件部数，将m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线下方的基本事件有10种，由此能示出点P在直线下方的概率． Ⅱ分别求出正方形的面积以及阴影部分的面积，根据几何概型的面积之比即可求解． 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用． 19.【答案】解：由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且，， Ⅰ连接，，由直三棱柱的性质，得平面， ，可得四边形为矩形． 由矩形的性质，得过的中点N． 在中，由中位线性质得， 又平面平面，平面分 Ⅱ平面，平面， 在正方形中，可得 又，平面 又，平面分 Ⅲ多面体为直三棱柱， 矩形中， 可得， 是直角三角形斜边的中线， 同理可得 是这个多面体的外接球的球心，半径分 外接球的体积分 ‎ ‎【解析】根据三视图的性质，可得该几何体是直三棱柱，且，连接，，矩形中对角线的中点N就是的中点．结合M是的中点证出，由线面平行的判定定理，证出平面． 由平面，得到正方形中可得，结合线面垂直判定定理，证出平面，再由，可得平面； 根据三棱柱是直三棱柱，在矩形中算出可得，从而得到，同理得，所以点N是多面体的外接球心，得到半径由球的体积公式，即可算出该外接球的体积． 本题给出直三棱柱的三视图，求证线面平行、线面垂直并求外接球的体积．着重考查了三角形中位线定理、线面平行垂直的判定与性质和球的体积公式等知识，属于中档题． ‎ ‎20.【答案】解：Ⅰ依题意 设椭圆C的方程为； 椭C过点 得 解得 舍去， 椭圆C的方程是； Ⅱ证明：椭圆C的方程可化为  设椭圆C与直线交于，两点， 则由 得  由得代入 得，   同理由得代入 得 将、代入得， ， 即为定值． ‎ ‎【解析】Ⅰ由题意有，将点A代入椭圆方程，求出a，b； Ⅱ设出P，Q的坐标，由 得，再联立方程分别求出，  即可； 本题考查椭圆方程，向量的垂直条件的处理，求代数式为定值的问题，设而不求的方法的应用，属于中档题． 21.【答案】解：分 Ⅰ当时，； 由题意知，为方程的两根，所以． 由，得分 从而，． 当时，；当时， 0'/>． 故在单调递减，在，单调递增．分 Ⅱ由式及题意知，为方程的两根， 所以从而， 由上式及题设知分 考虑，分 故在单调递增，在单调递减，从而在的极大值为． 又在上只有一个极值，所以为在上的最大值，且最小值为所以，即b的取值范围为分 ‎ ‎【解析】Ⅰ由题意，求出其导数，令，求出极值点，利用求出b值，并求的单调区间； Ⅱ不知a值，只知，由题意知，为方程的两根，得，求出a的范围，因，求出的单调区间，从而求出a与b的关系，最后根据a的范围确定b的范围． 本小题主要考查函数的导数，单调性、极值，最值等基础知识，考查综合利用导数研究函数的有关性质的能力． 22.【答案】解：Ⅰ直线l的参数方程为 即为参数 圆的参数方程化为普通方程 得． Ⅱ直线的参数方程代入圆的普通方程 ‎ 得； 即； ， ； ． ，两点的距离为：． ‎ ‎【解析】Ⅰ利用，消去参数，求得C的普通方程；再根据直线经过点，倾斜角，求出直线l的参数方程． Ⅱ把l的参数方程代入圆的方程，利用根与系数的关系求得以及，再由直线参数方程中参数的几何意义即可求出结论． 本题主要考查参数方程与普通方程之间的转化，直线和圆的位置关系的应用，属于基础题． 23.【答案】解：存在， 设； 画出其图象， ； 由图象可知，当时，不等式有解． 故存在实数使得不等式有解． ‎ ‎【解析】画出不等号前的函数对应图象，结合图象即可求解． 本题主要考查绝对值不等式的解法以及数形结合思想的应用，属于基础题目． ‎