2020届二轮复习坐标系与参数方程学案（全国通用） 36页

第1讲　坐标系与参数方程 ‎[做真题]‎ ‎1．(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2，0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1，0)，，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.‎ ‎(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；‎ ‎(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标．‎ 解：(1)由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.‎ 所以M1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，M2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，M3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ.‎ ‎(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知：‎ 若0≤θ≤，则2cos θ＝，解得θ＝；‎ 若≤θ≤，则2sin θ＝，解得θ＝或θ＝；‎ 若≤θ≤π，则－2cos θ＝，解得θ＝.‎ 综上，P的极坐标为或或或.‎ ‎2．(2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ＋11＝0.‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程；‎ ‎(2)求C上的点到l距离的最小值．‎ 解：(1)因为－1＜≤1，且x2＋＝＋＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋＝1(x≠－1)．‎ l的直角坐标方程为2x＋y＋11＝0.‎ ‎(2)由(1)可设C的参数方程为(α为参数，－π＜α＜π)．‎ C上的点到l的距离为＝.‎ 当α＝－时，4cos＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.‎ ‎[明考情]‎ ‎1．坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．‎ ‎2．全国卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．‎ 极坐标方程及其应用 ‎[典型例题]‎ ‎ (2019·高考全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.‎ ‎(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；‎ ‎(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．‎ ‎【解】　(1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝时，ρ0＝4sin ＝2.‎ 由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2.‎ 设Q(ρ，θ)为l上除P的任意一点．连接OQ，‎ 在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2.‎ 经检验，点P在曲线ρcos＝2上．‎ 所以，l的极坐标方程为ρcos＝2.‎ ‎(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.‎ 因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是.‎ 所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈.‎ ‎(1)极坐标方程与普通方程互化的技巧 ‎①巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方，将极坐标方程构造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．‎ ‎②巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．‎ ‎③将直角坐标方程中的x换成ρcos θ，将y换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程．‎ ‎(2)求解与极坐标有关问题的主要方法 ‎①直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用．‎ ‎②转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．　 ‎ ‎[对点训练]‎ ‎1．(2019·合肥模拟)在直角坐标系xOy中，直线l1：x＝0，圆C：(x－1)2＋(y－1－)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求直线l1和圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线l2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设l1，l2与圆C的公共点分别为A，B，求△OAB的面积．‎ 解：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 所以直线l1的极坐标方程式为ρcos θ＝0，即θ＝(ρ∈R)，圆C的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2(1＋)ρsin θ＋3＋2＝0.‎ ‎(2)设A(，ρ1)、B(，ρ2)，将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋)ρsin θ＋3＋2＝0，‎ 得ρ2－2(1＋)ρ＋3＋2＝0，解得ρ1＝1＋.‎ 将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋)ρsin θ＋3＋2＝0，‎ 得ρ2－2(1＋)ρ＋3＋2＝0，解得ρ2＝1＋.‎ 故△OAB的面积为×(1＋)2×sin＝1＋.‎ ‎2．(2018·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.‎ ‎(1)求C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．‎ 解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.‎ ‎(2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆．‎ 由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．‎ 当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．‎ 当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.经检验，当k＝0时，l1与 C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点．综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.‎ 参数方程及其应用 ‎[典型例题]‎ ‎ (2018·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程；‎ ‎(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率．‎ ‎【解】　(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.‎ 当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，‎ 当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.‎ ‎(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.　①‎ 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.‎ 又由①得t1＋t2＝－，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l的斜率k ‎＝tan α＝－2.‎ ‎(1)有关参数方程问题的2个关键点 ‎①参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化．‎ ‎②利用参数方程解决问题，关键是选准参数，理解参数的几何意义．‎ ‎(2)利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题 经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：‎ ‎①t0＝.‎ ‎②|PM|＝|t0|＝.‎ ‎③|AB|＝|t2－t1|.‎ ‎④|PA|·|PB|＝|t1·t2|.　 ‎ ‎[对点训练]‎ ‎1．已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；‎ ‎(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．‎ 解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.‎ ‎(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为d＝|4cos θ＋3sin θ－6|.‎ 则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝.‎ 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.‎ ‎2．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C交于A，B两点．‎ ‎(1)求|AB|的值；‎ ‎(2)若F为曲线C的左焦点，求·的值．‎ 解：(1)由(θ为参数)，消去参数θ得＋＝1.‎ 由 消去参数t得y＝2x－4.‎ 将y＝2x－4代入x2＋4y2＝16中，得17x2－64x＋176＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 所以|AB|＝|x1－x2|＝×＝，所以|AB|的值为.‎ ‎(2)由(1)得，F(－2，0)，则 ·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)‎ ‎＝(x1＋2)(x2＋2)＋(2x1－4)(2x2－4)‎ ‎＝x1x2＋2(x1＋x2)＋12＋4[x1x2－2(x1＋x2)＋12]‎ ‎＝5x1x2－6(x1＋x2)＋60‎ ‎＝5×－6×＋60＝44，‎ 所以·的值为44.‎ 极坐标方程与参数方程的综合应用 ‎[典型例题]‎ ‎ (2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝，点P的极坐标为(，)．‎ ‎(1)求C的直角坐标方程和P的直角坐标；‎ ‎(2)(一题多解)设l与C交于A，B两点，线段AB的中点为M，求|PM|.‎ ‎【解】　(1)由ρ2＝得ρ2＋ρ2sin2θ＝2　①，将ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ代入①并整理得，曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1.‎ 设点P的直角坐标为(x，y)，因为点P的极坐标为(，)，‎ 所以x＝ρcos θ＝cos ＝1，y＝ρsin θ＝sin＝1.‎ 所以点P的直角坐标为(1，1)．‎ ‎(2)法一：将代入＋y2＝1，并整理得41t2＋110t＋25＝0，Δ＝1102－4×41×25＝8 000>0，故可设方程的两根分别为t1，t2，则t1，t2为A，B对应的参数，且t1＋t2＝－.‎ 依题意，点M对应的参数为，‎ 所以|PM|＝||＝.‎ 法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则x0＝，y0＝.‎ 由，消去t，得y＝x－.‎ 将y＝x－代入＋y2＝1，并整理得41x2－16x－16＝0，‎ 因为Δ＝(－16)2－4×41×(－16)＝2 880>0，‎ 所以x1＋x2＝，x1x2＝－.‎ 所以x0＝，y0＝x0－＝×－＝－，即M(，－)．‎ 所以|PM|＝ ‎＝＝.‎ 解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法 ‎(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．‎ ‎(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．‎ ‎(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．　 ‎ ‎[对点训练]‎ ‎1．(2019·石家庄市模拟(一))在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ＝.‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)当00，结合00，‎ 所以＋＝＋＝＝.‎ 因为30，结合00，t2>0，‎ 所以＋＝＋＝＝.‎ 因为30)都在曲线M 上．‎ ‎(1)求证：ρ1＝ρ2＋ρ3；‎ ‎(2)若过B，C两点的直线的参数方程为(t为参数)，求四边形OBAC的面积．‎ 解：(1)证明：由题意得ρ1＝2cos φ，ρ2＝2cos(φ＋)，ρ3＝2cos(φ－)，则ρ2＋ρ3＝2cos(φ＋)＋2cos(φ－)＝2cos φ＝ρ1.‎ ‎(2)由曲线M的极坐标方程得曲线M的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，将直线BC的参数方程代入曲线M的直角坐标方程得t2－t＝0，解得t1＝0，t2＝，所以在平面直角坐标中，B(，)，C(2，0)，则ρ2＝1，ρ3＝2，φ＝，所以ρ1＝.所以四边形OBAC的面积S＝S△AOB＋S△AOC＝ρ1ρ2sin＋ρ1ρ3sin＝.‎ ‎1．(2019·东北四市联合体模拟(一))在平面直角坐标系xOy中，直线l1的倾斜角为30°，且经过点A(2，1)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2：ρcos θ＝3.从坐标原点O作射线交l2于点M，点N为射线OM上的点，满足|OM|·|ON|＝12，记点N的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出直线l1的参数方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线l1与曲线C交于P，Q两点，求|AP|·|AQ|的值．‎ 解：(1)直线l1的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)．‎ 设N(ρ，θ)，M(ρ1，θ1)(ρ>0，ρ1>0)，‎ 则，又ρ1cos θ1＝3，所以ρ＝12，即ρ＝4cos θ，所以曲线C的直角坐标方程为x2－4x＋y2＝0(x≠0)．‎ ‎(2)设P，Q对应的参数分别为t1，t2，将直线l1的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，‎ 得(2＋t)2－4(2＋t)＋(1＋t)2＝0，‎ 即t2＋t－3＝0，Δ＝13>0，‎ t1，t2为方程的两个根，所以t1t2＝－3，‎ 所以|AP||AQ|＝|t1t2|＝|－3|＝3.‎ ‎2．(2019·四省八校双教研联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并取相同的单位长度，曲线C2的极坐标方程为ρcos(θ＋)＝1.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)过P(0，1)的直线l交曲线C1于A，B两点，当|PA|·|PB|＝8时，求直线l的倾斜角．‎ 解：(1)消去参数t得曲线C1的普通方程为x2＝4y，曲线C2的极坐标方程可化为ρcos θ－ρsin θ＝2，化为直角坐标方程为x－y－2＝0.‎ ‎(2)设直线l的参数方程为(m为参数，α为直线l的倾斜角且α≠90°)，‎ 代入曲线C1的普通方程中得m2cos2α－4msin α－4＝0，‎ 所以m1m2＝，‎ 所以|PA|·|PB|＝|m1m2|＝＝8，得α＝45°或135°，即直线l的倾斜角为45°或135°.‎ ‎3．(2019·广州市综合检测(一))在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρ(sin θ－acos θ)＝(a∈R)．‎ ‎(1)写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；‎ ‎(一题多解)(2)若直线C2与曲线C1有两个不同的交点，求a的取值范围．‎ 解：(1)曲线C1的普通方程为y＝1－x2(－1≤x≤1)，把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入ρ(sin θ－acos θ)＝，得直线C2的直角坐标方程为y－ax＝，即ax－y＋＝0.‎ ‎(2)法一：由直线C2∶ax－y＋＝0，知直线C2恒过点M(0，)．由y＝1－x2(－1≤x≤1)，知当y＝0时，x＝±1，‎ 则直线MP的斜率为k1＝＝，‎ 直线MQ的斜率为k2＝＝－.‎ 因为直线C2的斜率为a，且直线C2与曲线C1有两个不同的交点，所以k2≤a≤k1，即－≤a≤.‎ 所以a的取值范围为[－，]．‎ 法二：联立，消去y得x2＋ax－＝0，依题意，得x2＋ax－＝0在[－1，1]上有两个不相等的实根．‎ 设f(x)＝x2＋ax－，‎ 则解得－≤a≤.‎ 所以a的取值范围为[－，]．‎ ‎4．(2019·湖南省湘东六校联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ＝4sin(θ＋)．‎ ‎(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设曲线C与直线l的交点为A，B，Q是曲线C上的动点，求△ABQ面积的最大值．‎ 解：(1)由消去t得x＋y－5＝0，所以直线l的普通方程为x＋y－5＝0.‎ 由ρ＝4sin(θ＋)＝4sin θ＋4cos θ，得ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，‎ 化为直角坐标方程为x2＋y2＝4x＋4y，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.‎ ‎(2)由(1)知，曲线C是以(2，2)为圆心，2为半径的圆，直线l过点P(3，2)，可知点P在圆内．‎ 将直线l的参数方程化为，代入圆的直角坐标方程，得t2－9t＋33＝0.‎ 设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝9，t1t2＝33，‎ 所以|AB|＝|t2－t1|＝＝.‎ 又圆心(2，2)到直线l的距离d＝＝，‎ 所以△ABQ面积的最大值为××(＋2)＝.‎ ‎5．(2019·济南市学习质量评估)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ，直线l的参数方程为(t为参数，其中a>0)，直线l与曲线C相交于M，N两点．‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若点P(0，a)满足＋＝4，求a的值．‎ 解：(1)曲线C的极坐标方程可化为ρ2cos2θ＝ρsin θ，‎ 由，得曲线C的直角坐标方程为y＝x2.‎ ‎(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入y＝x2，得t2－－a＝0，Δ＝＋3a>0.‎ 设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝，t1t2＝－，‎ 所以＋＝＝ ‎＝＝＝4，‎ 化简得64a2－12a－1＝0，‎ 解得a＝或a＝－(舍去)，‎ 所以a＝.‎ ‎6．(2019·广东省七校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(φ为参数，实数a>0)，曲线C2：(φ为参数，实数b>0)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α(ρ≥0，0≤α≤)与C1交于O，A两点，与C2交于O，B两点，当α＝0时，|OA|＝1；当α＝时，|OB|＝2.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)求2|OA|2＋|OA|·|OB|的最大值．‎ 解：(1)将C1的参数方程化为普通方程为(x－a)2＋y2＝a2，其极坐标方程为ρ1＝2acos θ，‎ 由题意可得，当θ＝α＝0时，|OA|＝2a＝1，所以a＝.‎ 将C2的参数方程化为普通方程为x2＋(y－b)2＝b2，其极坐标方程为ρ2＝2bsin θ，‎ 由题意可得，当θ＝α＝时，|OB|＝2b＝2，所以b＝1.‎ ‎(2)由(1)可得C1，C2的方程分别为ρ1＝cos θ，ρ2＝2sin θ，‎ 所以2|OA|2＋|OA|·|OB|＝2cos2θ＋2sin θcos θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋1＝sin(2θ＋)＋1.‎ 因为θ＝α，0≤α≤，所以0≤θ≤，所以2θ＋∈[，]，‎ 所以当2θ＋＝，即θ＝时，sin(2θ＋)＋1取得最大值，为＋1.‎ ‎7．(2019·合肥市第一次质量检测)已知曲线C的参数方程为(α为参数)，以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)P，Q为曲线C上两点，若·＝0，求的值．‎ 解：(1)由，得曲线C的普通方程是＋y2＝1，将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得5ρ2sin2θ＋2ρ2cos2θ＝5，‎ 即ρ2＝(ρ2＝也可得分)．‎ ‎(2)因为ρ2＝，所以＝sin2θ＋，‎ 由·＝0，得OP⊥OQ，‎ 设点P的极坐标为(ρ1，θ)，则点Q的极坐标可设为(ρ2，θ±)，‎ 所以＝＝ ‎＝＝＝.‎ ‎8．(2019·郑州市第二次质量预测)在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C交于M，N两点．‎ ‎(1)若点P的极坐标为(2，π)，求|PM|·|PN|的值；‎ ‎(2)求曲线C的内接矩形周长的最大值．‎ 解：(1)由ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12得x2＋3y2＝12，故曲线C的直角坐标方程为＋＝1，点P的直角坐标为(－2，0)，‎ 将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程＋＝1中，得t2－t－4＝0，设点M，N对应的参数分别为t1，t2，则|PM|·|PN|＝|t1t2|＝4.‎ ‎(2)由(1)知，曲线C的直角坐标方程为＋＝1，可设曲线C上的动点A(2cos α，2sin α)，0<α<，‎ 则以A为顶点的内接矩形的周长为4(2cos α＋2sin α)＝16sin(α＋)，0<α<.‎ 因此该内接矩形周长的最大值为16，当且仅当α＝时取得最大值．‎