2014福州3月份质检文数试卷 8页

2014 年福州市高中毕业班质量检测 文科数学试卷 （完卷时间：120 分钟；满分：150 分） 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 则 ( ) A.{x|x<－2 或 x>2} B.{x|x>2} C.{x|x>1} D.{x|x<1} 2.“m=1”是“复数 (m∈R,i 为虚数单位)为纯虚数”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.在 中, ,则下列等式成立的是 ( ) A. B. C. D. 4.函数 y=lnx－1 的图象关于直线 y=x 对称的图象大致是 ( ) A B C D 5.执行如图所示的程序框图,输出的 M 值是（ ） A．2 B． C． D． 6.记等比数列 的前 项积为 ，若 ，则 （ ） A.256 B.81 C.16 D.1 7.已知 x,y 满足 ,且目标函数 z=2x+y 的最大值是最小值的 8 倍,则实数 a 的值是( ) A.1 B. C. D. }{ na n { } { }2 , 1 ,M x x N x x= > = > M N = (1 )(1 )z mi i= + + ABC∆ 2 , , , ,AD DC BA a BD b BC c= = = =        2c b a= −   2c a b= −   3 2 2 a bc = −   3 2 2 b ac = −   1− 1 2 2− n Π 4 5 2a a⋅ = 8 =Π    ≥ ≤+ ≥ ax yx xy 2 3 1 4 1 8 1 开始 M=2 i=1 i<5? 1 1 = −M M i=i+1 输出 M 结束 否 是 8.将函数 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵 坐标不变)得到函数 f(x)的图象,则 f(－π)等于( ) A. B. C. D.－ 9. 若直线 与圆 C： 相交于 A、B 两点,则 的值为( ) A.－1 B.0 C.1 D.6 10. 若 在区间 上有极值点,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 11.如图,直线 y=m 与抛物线 y2=4x 交于点 A，与圆(x－1)2+y2=4 的实线部分交于点 B,F 为 抛物线的焦点，则三角形 ABF 的周长的取值范围是( ) A.(2,4) B.(4,6) C.[2,4] D.[4,6] 12. 若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(－x)=f(x), f(2－x)=f(x),且当 x∈[0,1]时，其图象是四分 之一圆(如图所示)，则函数 H(x)= |xex|－f(x)在区间[－3,1]上的零点个数为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.命题 ,使得 ，则 为 14.函数 ,则任取一点 ,使得 的概率为 15．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 16. 已知函数 则 = siny x= a π 3 2 3 2 3− 2 1 2 1 2 0x y− + = 2 2( 3) ( 3) 4x y− + − = CA CB⋅  3 2( ) 13 2 x af x x x= − + +函数 1 ,32      52, 2      52, 2     102, 3      102, 3     :p x R∃ ∈ ( )f x x= p¬ [ ]2( ) 2 , 1,3f x x x x= − + ∈ − [ ]0 1,3x ∈ − 0( ) 0f x ≥ 1 ( 1) sin 2 , [2 ,2 1)2( ) ,( ) ( 1) sin 2 2, [2 1,2 2)2 n n x n x n n f x n Nx n x n n π π+  − + ∈ += ∈  − + + ∈ + + (1) (2) (3) (4) (2013) (2014)f f f f f f− + − +⋅⋅⋅+ − = 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. （本小题满分 12 分）已知数列 为等差数列，且 ． （Ⅰ）求数列 的通项公式；(Ⅱ) 求证： . 18. （本小题满分 12 分）近年来,我国许多地方出现雾霾天气，影响了人们的出行、工作与健康．其形成与 有关. 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物. 日均值越小，空气质 量越好.为加强生态文明建设，我国国家环保部于 2012 年 2 月 29 日，发布了《环境空气质量标准》见下表： 某环保部门为了了解甲、乙两市的空气质量状况，在某月中分别随机抽取了甲、乙两市 6 天的 日均 值作为样本，样本数据茎叶图如右图所示（十位为茎，个位为叶）． （Ⅰ）求甲、乙两市 日均值的样本平均数，据此判断该月中哪个市的空气质量较好； （Ⅱ）若从甲市这 6 天的样本数据中随机抽取两天的数据，求恰有一天空气质量等级为一级的概率． 19. （本小题满分 13 分）已知函数 . （Ⅰ）当 时，求函数 的单调递增区间； （Ⅱ）设 的内角 的对应边分别为 ，且 若向量 与向量 共线，求 的值. )(xf ABC∆ CBA ,, cba ,, )sin,1( Am = )sin,2( Bn = ba, 日均值 k(微克) 空气质量等级 一级 二级 超标 ( )( ){ }3log 1 *na n N− ∈ 1 24, 10a a= = { }na 2 1 3 2 1 1 1 1 1 4n na a a a a a+ + + ⋅⋅⋅+ <− − − 2.5PM 2.5PM 2.5PM 2.5PM 2.5PM 2( ) 2cos 2 3sin cos ( ).f x x x x x R= + ∈ [0, ]2x π∈ 3, ( ) 2,c f C= = 2.5PM 35k ≤ 35 75k< ≤ 75k > 20. （本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 AA1⊥平面 ABC,△ABC 为正三角形，侧面 AA1C1C 是正方形, E 是 的中点,F 是棱 CC1 上的点. （Ⅰ）当 时，求正方形 AA1C1C 的边长； （Ⅱ）当 A1F+FB 最小时，求证：AE⊥平面 A1FB. 21. （本小题满分 12 分）动点 到定点 与到定直线, 的距离之比为 ． （Ⅰ）求 的轨迹方程；（Ⅱ）过点 的直线 （与 x 轴不重合）与（Ⅰ）中轨迹交于两点 、 . 探究是否存在一定点 E(t，0)，使得 x 轴上的任意一点(异于点 E、F)到直线 EM、EN 的距离相等？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由． 22. （本小题满分 14 分）已知函数 .其中 . （Ⅰ）若曲线 y＝f(x)与 y=g(x)在 x＝1 处的切线相互平行,求两平行直线间的距离; （Ⅱ）若 f(x)≤g(x)－1 对任意 x>0 恒成立,求实数 a 的值; （Ⅲ）当 a<0 时，对于函数 h(x)=f(x)－g(x)+1,记在 h(x)图象上任取两点 A、B 连线的斜率为 ,若 , 求 a 的取值范围. 1A B E ABFV - = 3 3 ( , )P x y (1,0)F 2x = 2 2 P (1,0)F l M N 2( ) ln , ( )f x a x g x x= = x R∈ ABk 1ABk ≥ 2014 年福州市高中毕业班质量检测 数学(文)评分标准及参考答案 1--12; BCDAB CDDBC BB 13. ,都有 f(x)≠x 14.1/2 15.10 16.－1007 17. 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为 d， 由 得 所以 d=1；…………3 分 所以 即 ．…………6 分 (Ⅱ)证明： …………8 分 所以 ……12 分 18. 解：（Ⅰ）甲市抽取的样本数据分别是 32，34,45,56,63,70；乙市抽取的样本数据为 33,46,47,51,64,71. ， ．……3 分 因为 ，所以甲市的空气质量较好. …… 4 分 （Ⅱ）由茎叶图知，甲市 6 天中有 2 天空气质量等级为一级，有 4 天空气质量等级为二级，空气质量等级为二 级的 4 天数据为 ，空气质量等级为一级的两天数据为 ，则 6 天中抽取两天的所有情况为 ，基本事件总数为 15. …… 9 分 记“恰有一天空气质量等级为一级”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件为： ，事件 数为 8. …… 11 分 所以 . 即恰有一天空气质量等级为一级的概率为 .---------12 分 19. 解:(I) = = 令 ， 解得 即 …………4 分 ,f(x)的递增区间为 ………………6 分 (Ⅱ)由 ,得 而 ,所以 ,所以 得 Rx ∈∀ 1 24, 10a a= = 3 3log (4 1) 1,log (10 1) 2− = − = 3log ( 1) 1 ( 1) 1na n n− = + − × = 3 1n na = + 1 1 1 1 1 1 3 3 2 3n n n n na a + + = = ⋅− − 2 1 3 2 1 1 1 1 n na a a a a a+ + + ⋅⋅⋅+− − − 1 2 3 1 1 1 1 1( )2 3 3 3 3n = + + ⋅⋅⋅+ 1 1 1 1 1 1 1 13 3 3( ) (1 )12 2 2 3 41 3 n n − × = = ⋅ − < − 32 34 45 56 63 70 506x + + + + += =甲 33 46 47 51 64 71 526x + + + + += =乙 x x甲 乙 , , ,a b c d ,m n , , , , , , , , , , , , , ,ab ac ad am an bc bd bm bn cd cm cn dm dn mn , , , , , , ,am bm cm dm an bn cn dn 8( ) 15P A = 8 15 2( ) 2cos 3sin 2f x x x= + cos2 3sin 2 1x x+ + 2sin 2 16x π + +   2⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 分 - 2 2 2 ,2 6 2k x k k Z π π ππ π+ ≤ + ≤ + ∈ 3223 22 ππππ +≤≤− kxk 63 ππππ +≤≤− kxk  [0, ]2x π∈ ]6,0[ π 21)62sin(2)( =++= π CCf 2 1)62sin( =+ π C ( )0,C π∈ 132 ,6 6 6C π π π + ∈   52 6 6C π π+ = 3C π= 8⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 分 因为向量 与向量 共线，所以 ， 由正弦定理得: 　　　　 ①……………10 分 由余弦定理得: ,即 a2+b2－ab=9　②………11 分 由①②解得 ……………12 分 Ks5u 20. 解：（Ⅰ）设正方形 AA1C1C 的边长为 由于 E 是 的中点，△EAB 的面积为定值。Ks5u ∥平面 ， 点 F 到平面 EAB 的距离为定值 即为点 C 到平面平面 的距离 又 ，且 = 即 ， ………………5 分 （Ⅱ）解法一：将侧面 展开到侧面 得到矩形 ,连结 ,交 于点 ,此时点 使得 最小.此时 平行且等于 的一半, 为 的中点.……7 分 取 AB 中点 O，连接 OE,EF，OC， 为平行四边形， △ABC 为正三角形， ，又 平面 ABC， ,且 , 平面 , 平面 ， ,又 ∥ , ………… 11 分 由于 E 是 的中点，所以 ,又 , 所以直线 AE 与平面 垂直…………12 分 解法二：将侧面 展开到侧面 得到矩形 ,连结 ,交 于点 ,此时点 使得 最小.此时 平行且等于 的一半, 为 的中点.…………7 分 过点 作 交 于 ，则 是 的中点， . )sin,1( Am = )sin,2( Bn = 2 1= b a 3cos2222 π abbac −+= sin 1 sin 2 A B = 32,3 == ba x 1A B 1CC 1AA B ∴ 1AA B E ABF F ABEV V− −= 1 3F ABE ABEV S h− ∆= ⋅ 3 3 1 1 3 3 3 2 2 2 3 xx x⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 3 8, 2x x∴ = = 11BBCC 11 ACCA 11 AABB BA1 CC1 F F BFFA +1 FC AA1 F∴ CC1 OEFC∴  ∴ OC AB⊥ 1AA ⊥ 1OC AA∴ ⊥ 1AB AA A∩ = OC∴ ⊥ 1A AB AE ⊂ 1A AB OC AE∴ ⊥ EF OC AE EF∴ ⊥ 1A B 1AE A B⊥ 1A B EF E∩ = A FB1 11BBCC 11 ACCA 11 AABB BA1 CC1 F F BFFA +1 FC AA1 F∴ CC1 E FAEG 1// BF G G BF 1 1 5 .2 2EG A F= = 过点 作 交 于 ，则 又 于是在 中， 在 中， 在 中， ， ∴ ………… 11 分 由于 E 是 的中点，所以 ,又 , 所以直线 AE 与平面 垂直…………12 分 21. 解：（Ⅰ）由题意得, ,…………2 分 化简得, ,即 ,即点 的轨迹方程 …………4 分 （Ⅱ）若存在点 E(t，0)满足题设条件.并设 M(x1，y1)、N(x2，y2)， 当 ⊥x 轴时，由椭圆的对称性可知，x 轴上的任意一点(异于点 E、F)到直线 EM、EN 的距离相等……5 分 当 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)(k≠0)． ，得 ， 所以 …………7 分 根据题意，x 轴平分∠MEN，则直线 ME、NE 的倾斜角互补，即 KME＋KNE＝0．……8 分 设 E(t，0)，则有 (当 x1＝t 或 x2＝t 时不合题意) 又 k≠0，所以 ，将 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)代入上式，得 又 k≠0，所以 ，即 ， ， ，…………10 分 将 代入，解得 t＝2．…………11 分 综上，存在定点 E(2，0)，使得 x 轴上的任意一点(异于点 E、F)到直线 EM、EN 的距离相等。……………12 分 G ,BCGH ⊥ BC H .2 1 2 1 == FCGH ,3=AH AGHRt∆ ;2 1322 =+= GHAHAG 1ABARt∆ .2=AE AEG∆ 2 2 2=AE GE AG+ ,AE EG∴ ⊥ 1 .AE A F⊥ 1A B 1AE A B⊥ 1 1A B A F E∩ = A FB1 2 2( 1) 2 | 2 | 2 x y x − + =− 2 22 2x y+ = 2 2 12 x y+ = P MN MN 2 2 ( 1) 12 y k x x y = − + = 2 2 ( 1) 12 y k x x y = − + = 2 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x k x k+ − + − = 2 2 1 2 1 22 2 4 2 2, , 1 2 1 2 k kx x x x k k −+ = = + + 1 2 1 2 0y y x t x t + =− − 1 2 1 2 0y y x t x t + =− − 1 2 1 2 ( 1) ( 1) 0k x k x x t x t − −+ =− − 1 2 1 2 1 1 0x x x t x t − −+ =− − 1 2 2 1 1 2 ( 1)( ) ( 1)( ) 0( )( ) x x t x x t x t x t − − + − − =− − 1 2 1 2 1 2 2 (1 )( ) 2 0( )( ) x x t x x t x t x t − + + + =− − 1 2 1 22 (1 )( ) 2 0x x t x x t− + + + = 2 2 1 2 1 22 2 4 2 2, 1 2 1 2 k kx x x x k k −+ = = + + 22. 解: （Ⅰ） ,依题意得:a=2; ……………2 分 曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线为 2x－y－2=0, 曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线方程为 2x－y－1=0. ……………3 分 两直线间的距离为 ……………4 分 （Ⅱ）令 h(x)=f(x)－g(x)+1, ,则 当 a≤0 时, 注意到 x>0, 所以 <0, 所以 h(x)在(0,+∞)单调递减, ………………5 分 又 h(1)=0,故 00,即 f(x)> g(x)-1,与题设矛盾. ……………6 分 当 a>0 时, 当 , 当 时, 所以 h(x)在(0， a 2)上是增函数,在( a 2，＋∞)上是减函数, ……………8 分 ∴h(x)≤ 因为 h(1)＝0,又当 a≠2 时, a 2≠1, 与 不符. 所以 a＝2. ……………9 分 （Ⅲ）当 a<0 时,由(2)知 <0,∴h(x)在(0,＋∞)上是减函数, 不妨设 00), ……………12 分 ∴－2x2＋x＋a≤0 在 x>0 时恒成立,∴a≤(2x2－x)min ……………13 分 Ks5u 又 x>0 时, (2x2－x)min= ∴a≤－1 8,又 a<0,∴a 的取值范围是 . ……………14 分 xxgx axf 2)(',)(' == 5 5 x xaxx axh 222)(' −=−= )(' xh )0)(2)(2(2)(' >−+= xxaxa xxh 20 ax << ,0)(' >xh 2 ax > 0)(' hah 0)2( ≤ah )(' xh x axxxx axH ++−=+−= 2212)(' 8 1− ]8 1,( −−∞