2020届二轮复习数列的概念学案（全国通用） 8页

数列的概念 ‎【考纲要求】‎ ‎1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）. ‎ ‎2.了解数列是自变量为正整数的一类函数. 3.掌握常见的求数列通项的一般方法；‎ ‎4.利用函数的观点去认识和理解数列与其它数学知识之间的内在联系；‎ ‎5.用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题。‎ ‎【知识网络】‎ 数列 表示方法 前n项和公式 概念 单调性 ‎【考点梳理】‎ 考点一：数列的概念 数列的概念382418 知识要点】‎ 按照一定顺序排列着的一列数称为数列. ‎ 数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第位的数称为这个数列的第项.其中数列的第1项也叫作首项。‎ 要点诠释：‎ ‎⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；‎ ‎⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.‎ 考点二：数列的表示 ‎(1)列举法：如-2，-5，-8，…‎ ‎ (2)图象法：由点组成的图象；是离散的点集。‎ ‎(3)解析式法：类似于函数的解析法，数列的解析法就是给出了数列的通项公式an=f(n)，n∈N*。‎ ‎ (4)递推：利用数列的第n项与它前面若干项的关系及初始值确定。如an=an-1+an-2(n≥3)，且a1=1，a2=1.‎ 要点诠释：‎ ‎①并不是每个数列都能写出它的数列通项公式；数列的通项如果存在，也不一定唯一。‎ ‎②数列的列举法与集合的列举法不一样，主要就是有序与无序的差别。‎ ‎③利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值。‎ 考点三：数列的分类 ‎（1）按项数：有限数列和无限数列 ‎（2）按单调性：常数列、摆动数列、单调数列(递增数列、递减数列)‎ 考点四：数列的通项公式与前项和公式 如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.‎ 任意数列的前n项和，于是，‎ 所以有：‎ 要点诠释：由前n项和求数列通项时，要分三步进行：‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求出当n≥2时的；‎ ‎（3）如果令n≥2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式。‎ ‎【典型例题】‎ 类型一：依据数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式 数列的概念382418 ‎ 例1．写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是:‎ ‎(1) 0, ,,,…；‎ ‎(2) 1, ,,,…；‎ ‎(3) 9, 99,999, 9999,…；‎ ‎(4) 6, 1, 6,1,….‎ ‎【解析】（1）将数列改写为，，，，…，‎ 故.‎ ‎（2）此数列奇数项为正，偶数项为负，可用来表示；‎ 其绝对值中分子为奇数数列，分母是自然数的平方数列，‎ 故.‎ ‎（3）将数列改写为, , , ，…，‎ 故.‎ ‎（4）将数列每一项减去6与1的平均值得新数列, -,, -,…，‎ 故或 ‎【总结升华】写通项时注意以下常用思路：‎ ‎①若数列中的项均为分数，则先观察分母的规律再观察分子的规律，特别注意有时分数是约分后的结果，要根据观察还原分数；‎ ‎②注意(－1)n或(-1)n+1〔或(-1)n-1〕在系数中的作用是让数列中的项正、负交替出现；‎ ‎③归纳猜想的关键是从特殊中去寻找一般规律，很多情况下是将已写出的项进行适当的变形，使规律明朗化，在此处经常用到由特殊到一般的不完全归纳法，此时要联想到一些已经学习过的基本数列，如：，，，，，等。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】求下列数列的一个通项公式:‎ ‎(1)1,-1,1,-1,…；‎ ‎(2)3,5,9,17,33,…；‎ ‎(3),2,,8,,…；‎ ‎(4)1,0,-,0,,0,-,0,….‎ ‎【答案】‎ ‎(1)an=(-1)n+1或an=cos(n+1)π.‎ ‎(2)an=2n+1.‎ ‎(3)an=.‎ ‎(4)an=.‎ 类型二：数列的递推关系式 例2.(2017 全国Ⅲ高考) 已知各项都为正数的数列满足，. ‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）求的通项公式.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意得，又，解得.‎ 又，解得.‎ ‎ (Ⅱ)由得 因为的各项都为正数，所以.‎ 故是首项为1，公比为的等比数列，因此.‎ ‎【总结升华】‎ 求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除迭加、迭代、迭乘外还应注意变形式是否是等差（等比）数列.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想其通项公式：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）对一切n∈N﹡，an＞0且 ‎【答案】（1）a1=a,a2=,a3=,a4=，‎ 猜想得an=；‎ ‎（2）令n=1得2＝a1+1得a1=1；‎ 令n=2得2＝a2+1得a2=3；‎ 令n=3得2＝a3+1得a3=5；‎ 令n=4得2＝a4＋1得a4=7，‎ 猜想得an=2n–1。‎ ‎【变式2】(2018 衡水四模)已知数列{an}满足a1=1，且，且n∈N*），则数列{an}的通项公式为（　　）‎ A．an= B．an= C．an=n+2 D．an=（n+2）3n ‎【答案】B ‎【解析】因为，且n∈N*）⇔，‎ 即，则数列{bn}为首项，公差为1的等差数列，‎ 所以bn=b1+（n﹣1）×1=3+n﹣1=n+2，所以，故选B ‎【变式3】数列{an}中，a1=1，对于所有的n≥2，n∈N都有a1·a2·a3·…·an=n2，则a3+a5等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】令n=2、3、4、5，分别求出a3=，a5=，∴a3+a5=.‎ ‎【变式4】若数列{an}满足，若，则的值为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】选B；‎ ‎【解析】逐步计算，可得,‎ 这说明数列{an}是周期数列，‎ 而,所以。‎ 类型三：由数列的前n项和求数列的通项公式 例3．数列{an}的前n项和Sn=n2-n+1,求{an}的通项公式.‎ ‎【解析】∵Sn=n2-n+1,‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2-n+1)-［(n-1)2-(n-1)+1］=2n-2.‎ 当n=1时,a1=S1=1,不适合上式.‎ ‎∴an=‎ ‎【总结升华】1.已知{an}的前n项和Sn,求an时应注意以下三点:‎ ‎(1)应重视分类讨论的应用,分n=1和n≥2两种情况讨论；特别注意an=Sn-Sn-1中需n≥2.‎ ‎(2)由Sn-Sn-1=an推得的an,当n=1时,a1也适合“an式”，则需统一“合写”.‎ ‎(3)由Sn-Sn-1=an推得的an,当n=1时,a1不适合“an式”,则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，‎ 即an=‎ ‎2.利用Sn与an的关系求通项是一个重要内容,应注意Sn与an间关系的灵活运用,同时要注意a1并不一定能统一到an中去.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知数列的前项和，求通项.‎ ‎【解析】当时，，‎ 当时，，‎ ‎∴.‎ ‎【变式2】已知数列的前项积，求通项 ‎【解析】当时，，‎ 当时，，‎ ‎∴.‎ 数列的概念382418 思考题二】‎ ‎【变式3】数列的前n项和，， ，求及 ‎【解析】由，得，所以，‎ 即是首项为，公比为的等比数列，‎ 所以 所以 所以，‎ 类型四：数列的单调性 例4.已知数列,,判断数列的单调性，并给以证明.‎ ‎【解析】方法一：，‎ ‎∴为递增数列，下面给以证明:‎ ‎∵‎ ‎∴数列是递增数列.‎ 方法二：由题意设（），‎ 则 ‎∵，∴‎ ‎∴（）单调递增，‎ ‎∴数列是递增数列.‎ ‎【总结升华】数列也是函数，可以用证明函数的单调性的方法来证明.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】数列中：,（）‎ ‎（1）写出它的前五项，并归纳出通项公式；‎ ‎（2）判断它的单调性.‎ ‎【解析】（1）,,, , ,‎ ‎∴；‎ ‎（2）方法一：∵，∴ 数列是递减数列.‎ 方法二：∵函数在上单调递减，∴ 数列是递减数列.‎ ‎【变式2】数列中：（，且为常数），判断数列的单调性.‎ ‎【解析】∵，‎ 当时， ∴数列是递减数列； ‎ 当时， ∴数列是递增数列. ‎ 例5.已知数列的通项(n∈N﹡)，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由.‎ ‎【解析】∵an+1–an=(n+2)()n+1–(n+1)()n=‎ ‎∴当n＜9时，an+1-an＞0即an+1　＞an　；‎ 当n=9时an+1－an＝0，即an+1＝an；‎ 当n＞9时，an+1-an＜0即an+1＜an　‎ 故a1＜a2＜……＜a9=a10＞a11＞a12＞……，　　‎ ‎∴数列｛an｝中最大项为a9或a10，其值为10·（）9，其项数为9或10。‎ ‎【变式】已知Sn=1++…+,(n∈N*)，设f(n)=S2n+1－Sn+1,试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式:f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立.‎ ‎【解析】∵Sn=1++…+(n∈N*)‎ ‎∴f(n+1)＞f(n)‎ ‎∴f(n)是关于n的增函数 ‎∴对于一切大于1的自然数n，f(n)min=f(2)=‎ ‎∴要使一切大于1的自然数n，不等式f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立 只要＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2成立即可 由得m＞1且m≠2‎ 此时设［logm(m－1)］2=t，则t＞0，‎ 于是有，解得0＜t＜1‎ 由此得0＜［logm(m－1)］2＜1‎ ‎∴－1＜logm(m－1)＜1且logm(m－1)≠0‎ 解得m＞且m≠2。‎