高中数学北师大版新教材必修一同步课件：1-1-1-2　集合的表示 53页

第 2 课时　集合的表示 必备知识 · 自主学习 1. 列举法 (1) 方法 : 把集合中的元素一一列举出来写在花括号“ { }” 内 . (2) 一般形式 :{a,b,c,…}. (3) 关注点 : 元素的排列 _____ 可以不同 . 导思 1. 用列举法表示集合要注意哪些问题 ? 2. 用描述法表示集合要注意哪些问题 ? 3. 有限集、无限集、空集的含义是什么 ? 4. 用区间表示集合要注意哪些问题 ? 顺序 【 思考 】 　一一列举元素时 , 需要考虑元素的顺序吗 ? 提示 : 用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序 . 例如 :{a,b} 与 {b,a} 表示同一个集合 . 2. 描述法 定义 通过描述元素满足的条件表示集合的方法 形式 _________________________ 方法 在花括号内先写出集合中元素的 _________ 及 _____, 再画一条 竖线“ |”, 在竖线后写出集合中元素所具有的 _________ {x 及 x 的范围 |x 满足的条件 } 一般符号 范围 共同特征 【 思考 】 {(x,y)|y=x 2 +2} 能否写为 {x|y=x 2 +2} 或 {y|y=x 2 +2} 呢 ? 为什么 ? 提示 : 不能 ,(x,y) 表示集合的元素是有序实数对或点 , 而 x 或 y 则表示集合的元素是数 , 所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么 . 3. 有限集、无限集和空集 (1) 有限集 : 含有 _______ 元素的集合叫作有限集 ; (2) 无限集 : 含有 _______ 元素的集合叫作无限集 ; (3) 空集 : 不含 _____ 元素的集合叫作空集 , 记作∅ . 有限个 无限个 任何 【 思考 】 　∅与 0,{0},{∅} 有何区别 ? 提示 : ∅ 与 0 ∅ 与 {0} ∅ 与 {∅} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅ 是集合 ; 0 是实数 ∅ 不含任何元素 ; {0} 含一个元素 0 ∅ 不含任何元素 ; {∅} 含一个元素 , 该元素是空集 4. 区间 定义 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} ______ {x|aa} ________ {x|x≤b} ________ {x|x3} 与集合 {t|t>3} 表示同一个集合 . ( 　　 ) 提示 : (1)×. 由 1,1,2,3 组成的集合可用列举法表示为 {1,2,3}. (2)×. 集合 {(1,2)} 中的元素是 (1,2). (3)√. 列举法表示集合时 , 元素的排列顺序可以不同 , 故此说法正确 . (4)√. 虽然两个集合的代表元素的符号 ( 字母 ) 不同 , 但实质上它们均表示大于 3 的实数 , 故此说法正确 . 2. 用描述法表示函数 y=3x+1 图象上的点的集合是 ( 　　 ) A.{x|y=3x+1} 　　　　 B.{y|y=3x+1} C.{(x,y)|y=3x+1} D.{y=3x+1} 【 解析 】 选 C. 该集合是点集 , 故可表示为 {(x,y)|y=3x+1}. 3.( 教材二次开发 : 习题改编 ) 由大于 -1 小于 5 的自然数组成的集合用列举法表示为 ______ , 用描述法表示为 ______ .  【 解析 】 大于 -1 小于 5 的自然数有 0,1,2,3,4. 故用列举法表示集合为 {0,1,2,3,4}, 用描述法表示可用 x 表示代表元素 , 其满足的条件是 -13}; (3) 平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合 , 用描述法可表示为 {(x,y)|xy<0}; (4){1,3,5,7, … } 用描述法可表示为 {x|x=2k-1,k∈N + }. 【 补偿训练 】 　　 已知集合 A={x|x=2m-1,m∈Z},B={x|x=2n,n∈Z}, 且 x 1 ,x 2 ∈A,x 3 ∈B, 则下列判断不正确的是 ( 　　 ) A.x 1 ·x 2 ∈A B.x 2 ·x 3 ∈B C.x 1 +x 2 ∈B D.x 1 +x 2 +x 3 ∈A 【 解析 】 选 D. 因为集合 A 表示奇数集 , 集合 B 表示偶数集 , 所以 x 1 ,x 2 是奇数 ,x 3 是偶数 , 所以 x 1 +x 2 +x 3 为偶数 , 故 D 错误 . 类型三　集合表示方法的综合应用 ( 数学抽象、数学运算 ) 　角度 1 　用适当的方法表示集合  【 典例 】 用适当的方法表示下列集合 : (1) 函数 y=x 2 -2x 的图象与 x 轴的公共点的集合 ; (2) 不等式 2x-3<5 的解组成的集合 ; (3)3 和 4 的正的公倍数构成的集合 ; (4) 大于 4 的奇数构成的集合 . 【 思路导引 】 根据集合中元素的个数和特征 , 选择恰当的方法表示集合 . 【 解析 】 (1) 列举法 :{(0,0),(2,0)}. (2) 不等式 2x-3<5 的解组成的集合可表示为 {x|2x-3<5}, 即 {x|x<4}. 也可用区间表示为 (-∞,4). (3)3 和 4 的最小公倍数是 12, 因此 3 和 4 的所有正的公倍数构成的集合是 {x|x=12n,n∈N * }. (4) 用描述法表示为 D={x|x=2k+1,k≥2,k∈N} 或 D={x|x=2k+3,k∈N * }. 角度 2 　方程、不等式等知识与集合交汇  【 典例 】 (2020· 朔州高一检测 ) 已知集合 A={x|kx 2 -8x+16=0} 只有一个元素 , 试求实数 k 的值 , 并用列举法表示集合 A. 【 思路导引 】 将问题转化为方程 kx 2 -8x+16=0 只有一个实数根 , 求实数 k 的值 . 应注意分 k=0 和 k≠0 两种情况讨论 . 【 解析 】 (1) 当 k=0 时 , 方程 kx 2 -8x+16=0 变为 -8x+16=0, 解得 x=2,A={2}; (2) 当 k≠0 时 , 要使集合 A={x|kx 2 -8x+16=0} 中只有一个元素 , 则方程 kx 2 -8x+16=0 只有一个实数根 , 所以 Δ=64-64k=0, 解得 k=1, 此时集合 A={4}. 综上所述 ,k=0 时 , 集合 A={2};k=1 时 , 集合 A={4}. 【 变式探究 】 本例的条件“只有一个元素”若改为“有两个元素”其他条件不变 , 求实数 k 的值组成的集合 . 【 解析 】 由题意可知 , 方程 kx 2 -8x+16=0 有两个不等实根 . 故 即 k<1 且 k≠0. 所以实数 k 组成的集合为 {k|k<1 且 k≠0}. 【 解题策略 】 1. 解答集合表示方法综合题的策略 (1) 若已知集合是用描述法给出的 , 读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键 . (2) 若已知集合是用列举法给出的 , 整体把握元素的共同特征是解题的关键 . 2. 方程、不等式等知识与集合交汇问题的处理 (1) 准确理解集合中的元素 , 明确元素的特征性质 . (2) 解题时还应注意方程、不等式等知识以及转化、分类与整合思想的综合应用 . 【 题组训练 】 1. 以方程 x 2 -5x+6=0 和方程 x 2 -x-6=0 的解为元素的集合为 ________ .  【 解析 】 解方程 x 2 -5x+6=0, 得 x=2 或 x=3, 解方程 x 2 -x-6=0, 得 x=-2 或 3, 所以以方程 x 2 -5x+6=0 和方程 x 2 -x-6=0 的解为元素的集合为 {-2,2,3}. 答案 : {-2,2,3} 2. 下列三个集合 : ①{x|y=x 2 +1};②{y|y=x 2 +1}; ③{(x,y)|y=x 2 +1}. (1) 它们是不是相同的集合 ? (2) 它们各自的含义是什么 ? 【 解析 】 (1) 它们不是相同的集合 . (2) 集合①是函数 y=x 2 +1 的自变量 x 所允许的值组成的集合 . 因为 x 可以取任意实数 , 所以 {x|y=x 2 +1}=R. 集合②是函数 y=x 2 +1 的所有函数值 y 组成的集合 . 由二次函数图象知 y≥1, 所以 {y|y=x 2 +1}={y|y≥1}. 集合③是函数 y=x 2 +1 图象上所有点的坐标组成的集合 . 【 补偿训练 】 1. 已知集合 {b|b∈R}={x∈R|ax 2 -4x+1=0,a∈R}, 其中 a,b 为常数 , 则 a+b= ( 　　 ) A. 0 或 1 　　　　　 B. C. D. 或 【 解析 】 选 D. 因为集合 {b|b∈R} 为单元素集合 , 所以集合 {x∈R|ax 2 -4x+1=0,a∈R} 也只有一个元素 b, 所以方程 ax 2 -4x+1=0 只有一个解 , ① 当 a=0 时 , 方程只有一个解 x= , 即 b= , 满足题意 , 此时 a+b=0+ = ; ② 当 a≠0 时 , 则 Δ=4 2 -4a=0, 解得 a=4, 方程只有一个解 x= , 即 b= , 满足题意 , 此时 a+b=4+ = . 综上所述 ,a+b= 或 . 2. 用适当的方法表示下列集合 . (1)36 与 60 的公约数组成的集合 . (2) 在自然数集内 , 小于 1 000 的奇数构成的集合 . (3) 不等式 x-2>6 的解的集合 . (4) 大于 0.5 且不大于 6 的自然数构成的集合 . 【 解析 】 (1)36 与 60 的公约数有 1,2,3,4,6,12, 所求集合为 {1,2,3,4,6,12}. (2){x|x=2n+1 且 x<1 000,n∈N}. (3){x|x>8}. (4){1,2,3,4,5,6}. 课堂检测 · 素养达标 1. 已知集合 A={x|-1≤x<4,x∈Z}, 则集合 A 中元素的个数为 ( 　　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 【 解析 】 选 C. 因为 -1≤x<4,x∈Z, 所以 x=-1,0,1,2,3, 所以集合 A={-1,0,1,2,3} 共有 5 个元素 . 2. 给出下列四个集合 , (1){0}.(2){x|x>7, 且 x<1}. (3){x|x>4}.(4){x∈Z|x 2 -2=0}. 其中空集的个数为 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 【 解析 】 选 B. 满足 x>7 且 x<1 的实数不存在 , 故 {x|x>7, 且 x<1}=∅. 因为 x 2 -2=0 的解为 ± , 不是整数 , 所以 {x∈Z|x 2 -2=0}=∅. 另外两个集合显然不是空集 . 故空集的个数为 2. 3. 已知 a∈ , 则实数 a 的值为 ________ .  【 解析 】 由题意得 ,a=1 或 a= , 当 a=1 时 , =1 不满足集合中元素的互异性 ; 当 a= 时 ,a=0 或 a=1, 经检验 ,a=0 符合题意 , 综上可知 ,a=0. 答案 : 0 4.( 教材二次开发 : 练习改编 ) 使 y= 有意义的所有实数 x 取值的集合为 ________ .( 用区间表示 )  【 解析 】 为使 有意义 , 实数 x 应满足 x-1>0, 组成的集合用区间表示为 (1,+∞). 答案 : (1,+∞) 5. 用列举法表示 A={x|x= ,x∈Z,k∈N}. 【 解析 】 因为 A={x|x= ,x∈Z,k∈N}. 所以 k=0,2,4,6,8,18, 故 A={-15 ， -5 ， 1 ， 3 ， 5 ， 15 }.