高中竞赛讲义函数的基本性质练习 5页

高中竞赛讲义函数的基本性质练习 一、解答题 ‎1、已知函数f(x)＝x3－x＋c定义在[0，1]上，x1，x2∈[0，1]且x1≠x2. ⑴求证：|f(x1)－f(x2)|＜2|x1－x2|； ⑵求证：|f(x1)－f(x2)|＜1. ‎ ‎2、 设a，b，c∈R，|x|≤1，f(x)＝ax2＋bx＋c，如果|f(x)|≤1，求证：|2ax＋b|≤4. ‎ ‎3、 f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，当0≤x≤1，0≤y≤1时. 求证：存在实数x，y，使得 ‎ ‎4、 已知f(x)＝ax2＋bx＋c，f(x)＝x的两根为x1，x2，a＞0，x1－x2＞，若0＜t＜x1，试比较f(t)与x1的大小. ‎ ‎5、 函数y＝的最小值是______________. ‎ ‎6、 若函数y＝log3(x2＋ax－a)的值域为R，则实数a的取值范围是______________. ‎ ‎7、 解方程：ln(＋x)＋ln(＋2x)＋3x＝0 ‎ ‎8、 已知(3x＋y)2001＋x2001＋4x＋y＝0，求4x＋y的值. ‎ ‎9、 已知f(x)＝ax5＋bsin5x＋1，且f⑴＝5，则f(－1)＝( ) A.3 B.－3 C.5 D.－5 ‎ 以下是答案 一、解答题 ‎1、 证明：⑴|f(x1)－f(x2)|＝|x13－x1＋x23－x2| ＝|x1－x2||x12＋x1x2＋x22－1| 需证明|x12＋x1x2＋x22－1|＜2 ………………① x12＋x1x2＋x22＝(x1＋≥0 ∴ －1＜x12＋x1x2＋x22－1＜1＋1＋1－1＝2 ∴ ①式成立 于是原不等式成立 ⑵不妨设x2＞x1 由⑴ |f(x1)－f(x2)|＜2|x1－x2| ①若 x2－x1∈(0，] 则立即有|f(x1)－f(x2)|＜1成立. ②若1＞x2－x1＞，则－1＜－(x2－x1)＜－ ∴ 0＜1－(x2－x1)＜ (右边变为正数) 下面我们证明|f(x1)－f(x2)|＜2(1－x2＋x1) 注意到：f(0)＝f⑴＝f(－1)＝c |f(x1)－f(x2)|＝|f(x1)－f⑴＋f(0)－f(x2)| ≤|f(x1)－f⑴|＋|f(0)－f(x2)| ＜2(1－x2)＋2(x2－0) (由⑴) ＝2(1－x2＋x1) ＜1 综合⑴⑵，原命题得证.‎ ‎（2） 已知f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1) ‎ ‎⑴若|a|≤1，求证：|f(x)|≤ ⑵若f(x)max＝，求a的值. 解：分析：首先设法去掉字母a，于是将a集中 ⑴若a＝0，则f(x)＝x， 当x∈[－1，1]时，|f(x)|≤1＜成立 若a≠0，f(x)＝a(x2－1)＋x ∴ |f(x)|＝|a(x2－1)＋x| ≤|a||x2－1|＋|x| ≤|x2－1|＋|x| (∵ |a|≤1) ≤1－|x2|＋|x| ＝－(|x|－)2 ≤ ⑵a＝0时，f(x)＝x≤1≠ ∴ a≠0 ∵ f(x)max＝max{f⑴，f(－1)，f(－)} 又f(±1)＝±1≠ ∴ f(x)max＝f(－)＝ a(－)2＋(－)－a＝ Þ a＝－2或a＝－ 但此时要求顶点在区间[－1，1]内，应舍去－ 答案为－2‎ ‎2、解：(本题为1914年匈牙利竞赛试题) f⑴＝a＋b＋c f(－1)＝a－b＋c f(0)＝c ∴ a＝[f⑴＋f(－1)－‎2f(0)] b＝[f⑴－f(－1)] c＝f(0) |2ax＋b|＝|[f⑴＋f(－1)－‎2f(0)]x＋[f⑴－f(－1)]| ＝|(x＋)f⑴＋(x－)f(－1)－2xf(0)| ‎ ‎ ≤|x＋||f⑴|＋|x－||f(－1)|＋2|x||f(0)| ≤|x＋|＋|x－|＋2|x| 接下来按x分别在区间[－1，－]，(－，0)，[0，)，[，1]讨论即可 ‎3、|xy－f(x)－g(y)|≥ 证明：(正面下手不容易，可用反证法) 若对任意的实数x，y，都有|xy－f(x)－g(y)|＜ 记|S(x，y)|＝|xy－f(x)－g(y)| 则|S(0，0)|＜，|S(0，1)|＜，|S(1，0)|＜，|S(1，1)|＜ 而S(0，0)＝－f(0)－g(0) S(0，1)＝－f(0)－g(1) S(1，0)＝－f(1)－g(0) S(1，1)＝1－f(1)－g(1) ∴ |S(0，0)|＋|S(0，1)|＋|S(1，0)|＋|S(1，1)| ≥|S(0，0)－S(0，1)－S(1，0)＋S(1，1)| ＝1 矛盾！ 故原命题得证！‎ ‎4、解法一：设F(x)＝f(x)－x＝ax2＋(b－1)x＋c， ＝a(x－x1)(x－x2) ∴ f(x)＝a(x－x1)(x－x2)＋x 作差：f(t)－x1＝a(t－x1)(t－x2)＋t－x1 ＝(t－x1)[a(t－x2)＋1] ＝a(t－x1)(t－x2＋) 又t－x2＋＜t－(x2－x1)－x1＝t－x1＜0 ∴ f(t)－x1＞0 ∴ f(t)＞x1 解法二：同解法一得f(x)＝a(x－x1)(x－x2)＋x 令g(x)＝a(x－x2) ∵ a＞0，g(x)是增函数，且t＜x‎1 ‎Þ g(t)＜g(x1)＝a(x1－x2)＜－1 另一方面：f(t)＝g(t)(t－x1)＋t ∴ ＝a(t－x2)＝g(t)＜－1 ∴ f(t)－t＞x1－t ∴ f(t)＞x1‎ ‎5、提示：利用两点间距离公式处理 y＝ 表示动点P(x，0)到两定点A(－2，－1)和B(2，2)的距离之和 当且仅当P、A、B三点共线时取的最小值，为|AB|＝5‎ ‎6、解：函数值域为R，表示函数值能取遍所有实数， 则其真数函数g(x)＝x2＋ax－a的函数值应该能够取遍所有正数 所以函数y＝g(x)的图象应该与x轴相交 即△≥0 ∴ a2＋‎4a≥‎0 ‎a≤－4或a≥0 解法二：将原函数变形为x2＋ax－a－3y＝0 △＝a2＋‎4a＋4·3y≥0对一切y∈R恒成立 则必须a2＋‎4a≥0成立 ∴ a≤－4或a≥0‎ ‎7、解：构造函数f(x)＝ln(＋x)＋x 则由已知得：f(x)＋f(2x)＝0 不难知，f(x)为奇函数，且在R上是增函数(证明略) 所以f(x)＝－f(2x)＝f(－2x) 由函数的单调性，得x＝－2x 所以原方程的解为x＝0‎ ‎8、解：构造函数f(x)＝x2001＋x，则f(3x＋y)＋f(x)＝0 逐一到f(x)的奇函数且为R上的增函数， 所以3x＋y＝－x 4x＋y＝0‎ ‎9、 解：∵ f⑴＝a＋bsin51＋1＝5 设f(－1)＝－a＋bsin5(－1)＋1＝k 相加：f⑴＋f(－1)＝2＝5＋k ∴ f(－1)＝k＝2－5＝－3 选B