2020届二轮复习直线与圆圆与圆的位置关系学案（全国通用） 7页

一、走进教材 ‎1．(必修2P128练习T4改编)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．[－3，－1] B．[－1,3]‎ C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)‎ 解析　由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，所以≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1。‎ 答案　C ‎2．(必修2P133A组T9改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________。‎ 解析　由得x－y＋2＝0。又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝。由勾股定理得弦长的一半为＝，所以所求弦长为2。‎ 答案　2 二、走近高考 ‎3．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)‎ A．[2,6] B．[4,8]‎ C．[，3] D．[2，3]‎ 解析　因为直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点。所以A(－2,0)，B(0，－2)，则|AB|＝2。由圆(x－2)2＋y2＝2可得圆心坐标为(2,0)，r＝，△ABP的面积记为S，点P到直线AB的距离记为d，则有S＝|AB|·d＝d，又圆心到直线的距离d′＝＝2，则dmax＝3，dmin＝，所以2≤S≤6。故选A。‎ 答案　A ‎4．(2018·全国卷Ⅱ)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为(　　)‎ A．2 B． C． D． 解析　设双曲线的渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0。圆的半径为2，弦长为2。圆心(2,0)到直线的距离为，则＝，即＝，得＝，所以＝，所以1－2＝，所以1－＝，所以e＝2。故选A。‎ 答案　A 三、走出误区 微提醒：①忽视分两圆内切与外切两种情形；②忽视切线斜率k不存在的情形；③求弦所在直线的方程时遗漏一解。‎ ‎5．若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝________。‎ 解析　两圆的圆心距d＝，由两圆相切，得＝5＋1或＝5－1，解得a＝±2或a＝0。‎ 答案　±2或0‎ ‎6．已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3,1)作圆C的切线，则切线方程为________。‎ 解析　由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，所以切线方程为y－1＝k(x－3)，所以kx－y＋1－3k＝0，所以＝3，所以k＝－，所以切线方程为4x＋3y－15＝0。综上，切线方程为x＝3或4x＋3y－15＝0。‎ 答案　x＝3或4x＋3y－15＝0‎ ‎7．若直线过点P且被圆x2＋y2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为______________。‎ 解析　当直线的斜率不存在时，该直线的方程为x＝－3，代入圆的方程得y＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足题意。当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为y＋＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－＝0，则圆心到直线的距离d＝，则2＝8，解得k＝－，所以直线方程为3x＋4y＋15＝0。综上所述，所求直线方程为x＝－3或3x＋4y＋15＝0。‎ 答案　x＝－3或3x＋4y＋15＝0‎ 考点一直线与圆的位置关系 ‎【例1】　(2019·西安八校联考)若过点A(3,0)的直线l与曲线(x－1)2＋y2＝1有公共点，则直线l斜率的取值范围为(　　)‎ A．(－，) B．[－，]‎ C． D． 解析　数形结合可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－3)，则圆心(1,0)到直线y＝k(x－3)的距离应小于等于半径1，即≤1，解得－≤k≤。故选D。‎ 解析：数形结合可知，直线l的斜率存在，设为k，当k＝1时，直线l的方程为x－y－3＝0，圆心(1,0)到直线l的距离为＝>1，直线与圆相离，故排除A，B；当k＝‎ 时，直线l的方程为x－y－3＝0，圆心(1,0)到直线l的距离为＝1，直线与圆相切，排除C。故选D。‎ 答案　D 判断直线与圆的位置关系的常见方法 ‎1．几何法：利用d与r的关系。‎ ‎2．代数法：联立方程之后利用Δ判断。‎ ‎3．点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交。‎ ‎【变式训练】　(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)‎ A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 ‎(2)圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为(　　)‎ A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 解析　(1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝<1，所以直线与圆相交。‎ ‎(2)直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，因为12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，所以点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内，故直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交。故选C。‎ 答案　(1)B　(2)C 考点二圆的弦长问题微点小专题 方向1：圆的弦长问题 ‎【例2】　(2019·合肥一模)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　　)‎ A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0‎ B．3x＋4y－12＝0或x＝0‎ C．4x－3y＋9＝0或x＝0‎ D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0‎ 解析　因为圆x2＋y2－2x－2y－2＝0即(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心为C(1,1)，圆的半径r＝2，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，圆心到直线l的距离为d＝1，所以|AB|＝2＝2，符合题意。当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，易知圆心C(1,1)到直线y＝kx＋3的距离d＝＝，因为d2＋2＝r2，所以＋3＝4，解得k＝－，所以直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0。综上，直线 l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0。故选B。‎ 答案　B 有关弦长问题通常有两种方法：(1)几何法；(2)代数法。对于几何法通常要构造直角三角形，但要注意斜率不存在这种特殊情况。‎ 方向2：有关最值问题 ‎【例3】　(2019·南宁、柳州联考)过点(，0)作直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________。‎ 解析　令P(，0)，如图，易知|OA|＝|OB|＝1，所以S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB≤，当∠AOB＝90°时，△AOB的面积取得最大值，此时过点O作OH⊥AB于点H，则|OH|＝，于是sin∠OPH＝＝＝，易知∠OPH为锐角，所以∠OPH＝30°，则直线AB的倾斜角为150°，故直线AB的斜率为tan150°＝－。‎ 答案　－ 有关最值问题要充分考虑最值的几何意义，比如本例当OA⊥OB时S△AOB最大。‎ ‎【题点对应练】　‎ ‎1．(方向1)经过三点A(－1,0)，B(3,0)，C(1,2)的圆与y轴交于M，N两点，则|MN|＝(　　)‎ A．2 B．2 C．3 D．4‎ 解析　根据A，B两点的坐标特征可知圆心在直线x＝1上，设圆心为P(1，m)，则半径r＝|m－2|，所以(m－2)2＝22＋m2，解得m＝0，所以圆心为P(1,0)，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4，当x＝0时，y＝±，所以|MN|＝2。故选A。‎ 答案　A ‎2．(方向2)在平面直角坐标系中，已知点P(3,0)在圆C：(x－m)2＋(y－2)2＝40内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为20，则实数m 的取值范围是________。‎ 解析　由圆的方程知，圆心C(m,2)，半径r＝2，所以S△ABC＝r2sin∠ACB＝20sin∠ACB，所以当∠ACB＝时，S△ABC取得最大值20，此时△ABC为等腰直角三角形，|AB|＝r＝4，则点C到AB的距离为2，所以2≤|PC|<2，即2≤<2，解得－30)与圆O：x2＋y2＝5交于相异两点A，B，若|＋|>2||，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(，2) B．(2,2)‎ C．(2，5) D．(2，)‎ 解析　因为直线x＋2y－m＝0与圆O：x2＋y2＝5交于相异两点A，B，所以O点到直线x＋2y－m＝0的距离d<。设线段AB的中点为D，则OD⊥AB，因为|＋|>2||，所以|2 ‎|>2||，所以||<||。因为||2＋||2＝5，所以||2>4。所以4<||2<5，即4<<5，又m>0，所以2