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- 2021-06-11 发布
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课时跟踪检测(三十) 系统题型——平面向量的数量积及应用
[A级 保分题——准做快做达标]
1.(2019·牡丹江第一高级中学月考)已知圆O是△ABC的外接圆,其半径为1,且+=2,AB=1,则·=( )
A. B.3
C. D.2
解析:选B 因为+=2,所以点O是BC的中点,即BC是圆O的直径,又AB=1,圆的半径为1,所以∠ACB=30°,且AC=,
则·=||·||cos ∠ACB=3.故选B.
2.(2019·广州综合测试)如图,半径为1的扇形AOB中,∠AOB=,P是弧AB上的一点,且满足OP⊥OB,M,N分别是线段OA,OB上的动点,则·的最大值为( )
A. B.
C.1 D.
解析:选C ∵扇形OAB的半径为1,∴| |=1,∵OP⊥OB,∴·=0.∵∠AOB=,∴∠AOP=,∴·=(+)·(+)=2+·+·+·=1+||cos +||·||cos ≤1+0×+0×=1,故选C.
3.(2019·南昌模拟)已知a=(cos α,sin α),b=(cos(-α),sin(-α)),那么a·b=0是α=kπ+(k∈Z)的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:选B a·b=cos α·cos(-α)+sin α·sin(-α)=cos2α-sin2α=cos 2α,若a·b=0,则cos 2α=0,∴2α=2kπ±(k∈Z),解得α=kπ±(k∈Z).∴a·b=0是α=kπ+(k∈Z)的必要不充分条件.故选B.
4.(2019·浙江部分市学校联考)如图,点C在以AB为直径的圆上,其中AB=2,过A向点C处的切线作垂线,垂足为P,则·的最大值是( )
A.2 B.1
C.0 D.-1
解析:选B 连接BC,则∠ACB=90°.∵AP⊥PC,∴·=·(+)=·=(+)·=2.依题意可证Rt△APC∽Rt△ACB,∴=,即||=.∵||2+||2=||2,∴||2+||2=4≥2||||,即||||≤2,当且仅当||=||时取等号,∴||≤1,∴·=2≤1,∴·的最大值为1,故选B.
5.(2019·四川双流中学月考)已知平面向量,满足||=||=1,·=-.若||=1,则||的最大值为( )
A.-1 B.-1
C.+1 D.+1
解析:选D 因为||=||=1,·=-,所以cos ∠APB=-,即∠APB=,由余弦定理可得AB==.如图,建立平面直角坐标系,则A,B,由题设点C(x,y)在以B为圆心,半径为1的圆上运动,结合图形可知,点C(x,y)运动到点D时,有|AC|max=|AD|=|AB|+1=+1.故选D.
6.(2019·重庆梁平调研)过点P(-1,1)作圆C:(x-t)2+(y-t+2)2=1(t∈R)的切线,切点分别为A,B,则·的最小值为( )
A. B.
C. D.2-3
解析:选C 观察圆C的方程可知,圆心C在直线y=x-2上运动,则|PC|≥=2.设∠CPA=θ,则·=||||cos 2θ=||2(2cos2θ-1)=(||2-1)=(||2-1)·=||2+-3,令||2=x,设y=x+-3,则y=x+-3在[8,+∞)上为增函数,故·≥8+-3=,故选C.
7.(2019·北京四中期中考试)如图,在△ABC中,∠ABC=120°,BA=4,BC=2,D是AC边上一点,且=-,则·=________.
解析:根据题意得·=·(-)=·-×16+×4-·=-·-=-×4×2×cos 120°-=-4.
答案:-4
8.若a,b,c是单位向量,且a·b=0,则(a-c)·(b-c)的最大值为________.
解析:依题意可设a=(1,0),b=(0,1),c=(cos θ,sin θ),则(a-c)·(b-c)=1-(sin θ+cos θ)=1-sin,所以(a-c)·(b-c)的最大值为1+.
答案:1+
9.(2018·泰安二模)已知平面向量a,b满足|b|=1,且a与b-a的夹角为120°,则|a|的取值范围为________.
解析:在△ABC中,设=a,=b,
则b-a=-=,
∵a与b-a的夹角为120°,∴∠B=60°,
由正弦定理得=,
∴|a|==sin C,
∵0°sin A,∴B>A,故A为锐角,∴cos A=,∴cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=.
(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B得,
16=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,当且仅当a=c时等号成立,∴ac≤13,
∴·=accos(π-B)=-accos B=-ac≥-5.
故·的最小值为-5.
11.(2019·太原模拟)已知向量m=,n=,f(x)=m·n.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)若a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,且a=2,(2a-b)cos C=ccos B,f(A)=,求c.
解:(1)∵f(x)=m·n=sin cos +cos2
=sin +=sin+,
∴函数f(x)的最小正周期为3π,
令-+2kπ≤+≤+2kπ,k∈Z,则-π+3kπ≤x≤+3kπ,k∈Z,
∴函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)∵(2a-b)cos C=ccos B,
∴2sin Acos C=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C)=sin A,
∵00,∴cos C=,∴C=.
∵f(A)=sin+=,
∴sin=1,
∴+=+2kπ,k∈Z,∴A=,
∴c=asin C=2sin =.
[B级 难度题——适情自主选做]
1.在等腰三角形AOB中,若||=||=5,且|+|≥||,则·的取值范围为( )
A.[-15,25) B.[-15,15]
C.[0,25) D.[0,15]
解析:选A |+|≥||=|-|,所以|+|2≥|-|2,即(+)2≥(-)2,所以2+2·+2≥(2-2·+2),即52+2·+52≥(52-2·+52),则·≥-15.又·≤||||=5×5=25,当且仅当与同向时取等号,因此上式等号不成立,所以·的取值范围为[-15,25),故选A.
2.已知a,b,e是同一平面内的三个向量,且|e|=1,a⊥b,a·e=2,b·e=1,当|a-b|取得最小值时,a与e夹角的正切值为( )
A. B.
C.1 D.
解析:选D 根据题意,分别以a,b为x轴,y轴建立平面直角坐标系,设e与a的夹角为θ,θ为锐角,则e与b的夹角为-θ.∵|e|=1,a⊥b,a·e=2,b·e=1,∴|a|·cos θ=2,|b|·cos=|b|·sin θ=1,∴|a|=,|b|=,∴|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=+=(sin2θ+cos2θ)=5++≥5+2=9,当且仅当2sin2θ=cos2θ,即tan θ=时等号成立,此时|a-b|取得最小值3,且a与e夹角的正切值为,故选D.
3.(2019·武汉调研)设A,B,C是半径为1的圆O上的三点,且⊥,则(-
)·(-)的最大值是( )
A.1+ B.1-
C.-1 D.1
解析:选A 如图,作出,使得+=,则(-)·(-)=2-·-·+·=1-(+)·=1-·,由图可知,当点C在OD的反向延长线与圆O的交点处时,·取得最小值,最小值为-,此时(-)·(-)取得最大值,最大值为1+,故选A.
4.(2019·江西吉安月考)已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(cos φ,sin φ).
(1)若|θ-φ|=,求|a-b|的值;
(2)若θ+φ=,记f(θ)=a·b-λ|a+b|,θ∈,当1≤λ≤2时,求f(θ)的最小值.
解:(1)∵向量a=(cos θ,sin θ),b=(cos φ,sin φ),
∴a-b=(cos θ-cos φ,sin θ-sin φ),
∴|a-b|2=(cos θ-cos φ)2+(sin θ-sin φ)2
=2-2cos(θ-φ).
∵|θ-φ|=,∴θ-φ=±,
∴|a-b|2=2-2cos =2-1=1,或2-2cos=2-1=1,
∴|a-b|=1.
(2)∵θ+φ=,θ∈,
∴a·b=cos θcos φ+sin θsin φ=cos(θ-φ)=cos,
|a+b|=
=2=2cos,
∴f(θ)=a·b-λ|a+b|
=cos-2λcos
=2cos2-2λcos-1.
令t=cos,则t∈,
∴g(t)=2t2-2λt-1
=22--1.
又1≤λ≤2,≤≤1,
∴当t=时,g(t)有最小值--1,
∴f(θ)的最小值为--1.