湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2019-2020学年高一下期期中联考数学试题 4页

鄂东南教改联盟学校期中联考 高一数学试卷（共 4页）第 1 页 2020 年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考 高一数学试卷 考试时间：2020 年 05 月 30 日上午 8:00—10:00 试卷满分：150 分 第 I 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的 4 个选项中，只有一项是符合题目要求） 1． 已知集合 2{ | }, { | 1, }A x y x B y y x x R      ，则 A B =（ ） A．A B．B C． D．以上均不对 2． 若角 的终边经过点 ( 4, )P m ，且 4cos 5    ，则 m 的值为（ ） A． 3 B． 3－ C． 3或 3－ D． 5 或 5－ 3． 如果 2, 0,a b c    则下列不等式正确的是（ ） A． 2 2a b a c B． 0ab ac  C． 1 1 c a  D． 1 1 c b  4． 0 0 0 0tan15 tan105 3 tan15 tan105  =（ ） A． 3 B． 3 3 C． 3 3  D． 3 5． 在 ABC 中，若 02 2, 2 3, 60a b B   ，则角 A 等于（ ） A． 045 B． 090 C． 0135 D． 045 或 0135 6． 在矩形 ABCD 中， 2 6, 2 3AB AD  ， E 是 CD 的中点，那么 AE AC  等于（ ） A．12 B．12 3 C． 24 D． 24 2 7． 若不等式 20 2 2 1 1x mx m     有唯一解，则实数 m 的取值为（ ） A． 0 B．1 C． 0 或 2 D．1 或 3 鄂东南教改联盟学校期中联考 高一数学试卷（共 4页）第 2 页 8． 删去正整数1,2,3,4,5, 中的所有完全平方数与立方数（如 4 8，），得到一个新数列，则这个数列 的第 2020 项是（ ） A． 2072 B． 2073 C． 2074 D． 2075 9． 奇函数 ( )y f x 的定义域为 R ，且 ( 1)y f x  是偶函数，且 ( 1) 2f    ，则 (2019) (2020)f f 的值为（ ） A． 2 B．1 C． 1－ D． 2－ 10．已知 0, 0x y  ，且 2 3x y xy  ，则 2x y 的最小值是（ ） A． 3 B． 2 2 C． 3 2 2＋ D． 8 3 11．在 ABC 中， ,CB a CA b     ，且 ( ), | | sin | | sin a bOP OC m m R a B b A          ，则点 P 的 轨迹一定通过 ABC 的（ ） A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 12．已知函数 2020 cos( ),0 1( ) 2 log , 1x x xf x x        ，若存在 , ,a b c 互不相等，且 ( ) ( ) ( )f a f b f c  ， 则 a b c  的取值范围是（ ） A． (1,1010) B． (1,2019) C． (1,2020) D． (2,2021) 第 II 卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分） 13．已知等差数列{ }na 的前11项和 11S 88＝ ，则 3 5 10a a a  = ． 14．已知 , , 2 5 0a b R a b    则 2 4a b 的最小值等于 ． 15．如图，在 ABC 中， CD 2DA  ＝ ， E 是 BD 上一点，且 1E C( )7A AB A R    ＝ ＋ ，则  的 值等于 ． 鄂东南教改联盟学校期中联考 高一数学试卷（共 4页）第 3 页 16．已知函数 ( ) sin( ) 2( 0, 1,0 )f x A x A           是 R 上的偶函数，其图像关于 3( ,2)4  对称，且在区间 [0, ]2  上是单调函数，则  和  的值分别是  = ，  = ． 三、解答题（本大题共 6 小题，17 题 10 分，其余每题 12 分，共 70 分） 17．已知函数 2 2( ) 3 sin 2 sin 3cosf x x x x   ． （ I ）当 [ ,0]2x   时，求函数 ( )f x 的值域； ( II )若 [0, ]x  时，求函数 ( )f x 的单调递增区间． 18．已知三点 (8,0), (0,8), ( , )B C A x y ，且| | 4OA  ．（其中 O 为坐标原点） （ I ）若 | | 4 7OB OA   ，求 OC  与 OA  的夹角； ( II )若 BA CA  ，求点 A 的坐标． 19．今年上半年新冠肺炎全球大爆发。在某个时间点，某城市每周新增发病人数 ta （单位：千人）与时 间 t （单位：周）之间近似满足 0 ( 1) ( 1, )t ta e t t N    ，该城市从有人发病到发现人传人时，已 有发病人数 0 0.3a  （千人），且当 2t  时， 2 2a  （千人）。从第 3 周后，该城市采取封城的隔 离措施，再经过两周之后，隔离措施产生效果，新增发病人数 0 ( 9) (6 12, )t ta e t t N     ． （ I ）求该城市第 5,6,7 周新增发病人数; ( II )随着该城市不断加大科研投入，治愈人数 tb （单位：千人）与时间 t （单位：周）存在关系 0 ( 3)1= (1 9, )4 t tb e t t N     ，为保障每一位新增病人能及时入院治疗，该城市前九周（不考虑 死亡人数的前提下）至少需要准备多少病人床位？（保留二位小数）（注：出院人数不少于新增发病 人数时，总床位不再增加） 鄂东南教改联盟学校期中联考 高一数学试卷（共 4页）第 4 页 20．在 ABC 中，通常 | | ,| | ,| |AB c BC a CA b     ，易知 CA AB BC  ＝ ． （ I ）用向量方法证明： 2 2 2 2 cosb a c ac B   ； ( II )若 6| | 4 6,cos 6AB B  ， AC 边上的中线| | 3 5BD  ，求 sin A ． 21．已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS 满足 33 ( 1, )2n n nS a n n N      ． （ I ）令 2n n nb a ，求数列{ }nb 的通项公式； ( II )求数列{ }na 的通项公式 na 与 nS ． 22．已知函数 ( )f x 的定义域为 ( , )  ，值域为 R ，且满足：①当 0 x   时， ( ) 0f x  ；②对 任意 1 2, ( , )x x    满足 ( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) f a f bf a b f a f b    ；③函数 ( )f x 在 (0, ) 上单调递增． （ I ）试求 (0)f ，并判定奇偶性，写出判定过程； ( II )若 ( )y g x 是 ( )y f x 的反函数（ ( ) ( )f a b g b a   ），求证： ( ) ( ) ( )1 x yg x g y g xy    ； ( III )当 1,n n N   时，求证： 2 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )7 13 3 3 2g g g gn n      ．