- 79.77 KB
- 2021-06-11 发布
- 1、本文档由用户上传，淘文库整理发布，可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方，所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议，请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传，本站不保证质量和数量令人满意，可能有诸多瑕疵，付费之前，请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ：403074932
二项式定理
一般地，对于任意正整数 n ，都有
a+bn=Cn0an+Cn1an-1b+⋯+Cnkan-kbk+⋯+Cnnbnn∈N*
这个公式叫做二项式定理（binomial theorem）．
二项式定理的通项
一般地，对于任意正整数 n ，都有
a+bn=Cn0an+Cn1an-1b+⋯+Cnkan-kbk+⋯+Cnnbnn∈N*
这个公式叫做二项式定理（binomial theorem），等号右边的多项式叫做 a+bn 的二项展开式，二项展开式共有 n+1 项，其中各项系数 Cnk（k=0，1，2，⋯，n）叫做二项式系数（binomial coefficient），式中的 Cnkan-kbk 叫做二项展开式的通项，用 Tk+1 表示，即通项为展开式的第 k+1 项：
Tk+1=Cnkan-kbk.
一般地，a+bn 展开式的二项式系数 Cn0，Cn1，⋯，Cnn 有如下性质：（1）对称性：Cnm=Cnn-m；（2）Cnm+Cnm-1=Cn+1m；（3）增减性与最大值．当 k<n+12 时，二项式系数 Cnk 是逐渐增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当 n 为偶数时，中间的二项式系数 Cnn2 最大；当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数 Cnn-12 和 Cnn+12 最大．
二项式定理中的赋值法
· 各二项式系数和
已知 1+xn=Cn0+Cn1x+Cn2x2+⋯+Cnrxr+⋯+Cnnxn，令 x=1，则
2n=Cn0+Cn1+Cn1+Cn2+⋯+Cnn.
这就是说，a+bn 的展开式的各个系数的和等于 2n．
二项式定理的应用
二项式定理一般应用在以下几个方面：
①进行近似计算．当 a 的绝对值与 1 相比很小且 n 不大时，常用近似公式 1+an≈1+na，因为这时展开式的后面部分 Cn2a2+Cn3a3+⋯+Cnnan 很小，可以忽略不计；类似地，有 1-an≈1-na．
②证明某些整除性问题或求余数；③证明有关的不等式．
精选例题
二项式定理
1. 若二项式 2x+ax7 的展开式中 1x3 的系数是 84，则实数 a= ．
【答案】 1
【分析】 Tr+1=C7r⋅2x7-raxr=C7r⋅27-r⋅ar⋅x7-r-r，令 7-2r=-3，所以 r=5，所以 C75⋅22⋅a5=84，
所以 a=1．
2. 已知 x-ax5 的展开式中含 x32 的项的系数为 30，则 a= ．
【答案】 -6
【分析】 Tr+1=C5rx5-r-axr，52-r=32，
所以 r=1，C51-a=30，a=-6．
3. x-13x12 展开式中的常数项为 ．
【答案】 -220
【分析】 Tr+1=C12rx12-r-13xr=C12r-1rx12-r-r3，
令 12-r-r3=0，所以 r=9，常数项为 C129-19=-220．
4. 已知 a=012-2xdx，在二项式 x2-ax5 的展开式中，含 x 的项的系数为 ．
【答案】 -10
【分析】 a=012-2xdx=2x-x2∣01=1．
所以 Tr+1= C5rx25-r-1xr= C5rx10-2r-r-1r，
令 10-2r-r=1，所以 r=3，所以系数为 C53-13=-10．
5. x3-1x12 的展开式中常数项是 ．（用数字作答）
【答案】 -220
6. 已知 3+x10=a0+a11+x+a21+x2+⋯+a101+x10，则 a8= ．
【答案】 180
7. 已知 x+1ax9 的展开式中 x3 项的系数是 -212，则实数 a 的值为 ．
【答案】 -2
【分析】 Tr+1=C9rx9-r1axr=C9r1arx9-2r，
令 9-2r=3，
所以 r=3，
C931a3=-212，
所以 a=-2．
8. 若 1-2x2009=a0+a1x+a2x2+⋯+a2009x2009x∈R，则 a12+a222+⋯+a200922009 的值为 ．
【答案】 -1
9. 在 x3+1x7 的展开式中 x5 的系数是 ．（用数字作答）
【答案】 35
10. 若 2x+34=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则 a0+a2+a42-a1+a32 的值是 ．
【答案】 1
11. 设 fx=1+xm+1+xn 展开式中 x 的系数是 19m,n∈N*．
(1)求 fx 展开式中 x2 的系数的最小值；
【解】 1+xm 的展开式中含 x 的系数为 Cm1，1+xn 的展开式中含 x 的系数为 Cn1，由已知得 m+n=19，
所以 m=19-n，fx 展开式中 x2 的系数为
Cm2+Cn2=C19-n2+Cn2=19-n18-n2+nn-12=n2-19n+171=n-1922+3234.
因为 n∈N*，
所以当 n=9 或 n=10 时，x2 的系数取最小值，其最小值为 122+3234=81．
(2)当 fx 展开式中 x2 的系数取最小值时，求 fx 展开式中 x7 的系数．
【解】 由（1）知，当 fx 展开式中 x2 的系数取最小值时，n=9，m=10 或 n=10，m=9 时，此时 x7 的系数为
C107+C97=C103+C92=156.
12. 求 0.9986 的近似值，使误差小于 0.001．
【答案】 0.988．
【解】 0.9986=1-0.0026=1+C61×-0.0021+C62×-0.0022+⋯+-0.0026，
∵T3=C62×-0.0022=15×-0.0022=0.00006<0.001，且第 3 项以后的绝对值都小于 0.001，
∴ 从第 3 项起以后的项都可以忽略不计，
即 0.9986=1-0.0026≈1+6×-0.002=1-0.012=0.988．
13. 已知 1+x+1+x2+1+x3+⋯+1+xn=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+anxnn∈N+，若 a2:a3=1:2，
(1)求 n 的值；
【解】 a2=C22+C32+C42+⋯+Cn2=Cn+13，a3=C33+C43+C53+⋯+Cn3=Cn+14．
由 a2:a3=1:2，即 Cn+13Cn+14=4n-2=12，故 n=10．
(2)求 a0+a1+a2+a3+⋯+an 的值；
【解】 n=10，令 x=1，a0+a1+a2+⋯+an=2+22+⋯+210=21-2101-2=211-2=2046．
(3)求 a0-2a1+4a2-8a3+⋯+-2nan 的值．
【解】 令 x=-2，
1-2+1-22+1-23+⋯+1-210
=a0+a1-2+a2-22+⋯+a10-210=0.
14. 在 3x-2y20 的展开式中，
(1)二项式系数最大的项是第几项？
【解】 在二项式系数 C20rr=0,1,2,⋯,20 中，C2010 最大，
∴ 二项式系数最大的项是第 11 项．
(2)系数的绝对值最大的项是第几项？
【解】 设系数绝对值最大的项为 Tr+1，则 C20r⋅320-r⋅-2r⩾C20r-1⋅321-r⋅-2r-1，
C20r⋅320-r⋅-2r⩾C20r+1⋅319-r⋅-2r+1，
即 C20r⋅2⩾C20r-1⋅3，C20r⋅3⩾C20r+1⋅2，
∴r⩽425，r⩾375，
∴r=8．
故绝对值最大的项是第 9 项．
(3)系数最大的项是第几项？
【解】 由于系数为正的项为奇数项，故设 T2k-1 的系数最大，即 C202k-2⋅322-2k⋅22k-2⩾C202k-4⋅324-2k⋅22k-4，
C202k-2⋅322-2k⋅22k-2⩾C202k⋅320-2k⋅22k，
∴20!⋅42k-2!22-2k!⩾20!⋅92k-4!24-2k!，
20!⋅92k-2!22-2k!⩾20!⋅42k!20-2k!，
∴10k2+143k-1077⩽0，10k2+163k-924⩾0，解得 k=5．
∴ 系数最大的项是第 6 项．
15. 已知在 3x-123xn 的展开式中，第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是 14:3．
(1)求 n；
【答案】 n 的值为 10．
【解】 依题意有 Cn4:Cn2=14:3，
化简得 n-2⋅n-3=56，
解得 n=10 或 n=-5（不合题意，舍去）．
所以 n 的值为 10．
(2)求含 x2 的项的系数；
【答案】 含 x2 的项的系数为 454．
【解】 通项公式为 Tr+1=C10rx10-r3-12rx-r3=C10r-12rx10-2r3，
令 10-2r3=2，得 r=2，
所以含 x2 的项的系数为 C102⋅-122=454．
(3)求展开式中所有的有理项．
【答案】 C102-122x2，C105-125x5，C108-128x-2．
【解】 根据通项公式，由题意得 10-2r3∈Z，0⩽r⩽10，r∈Z，
所以 r=2，5，8．
所以第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为 C102-122x2，C105-125x5，C108-128x-2．
16. 求 x+1x-15 展开式的常数项．
【解】 因为 x+1x-15=x+1x-15，
所以它的展开式通项为 Tr+1=C5rx+1x5-r⋅-1r0⩽r⩽5．
当 r=5 时，T6=C55⋅1⋅-15=-1；
当 0⩽r<5 时，x+1x5-r 的展开式的通项为
Tʹk+1=C5-rk·x5-r-k·1xk=C5-rkx5-r-2k0⩽k⩽5-r．
因为 0⩽r<5 且 r∈Z，
所以 r 只能取 1 或 3，相应的 k 值分别为 2 或 1，
即 r=1,k=2; r=3,k=1.
所以常数项为 C51⋅C42-11+C53⋅C21-13+-15=-51．
17. 在 2x2-13x8 的展开式中，求：
(1)第 5 项的二项式系数与第 5 项的系数；
【解】 T5=C842x28-4-13x4=C84⋅24⋅x203，
∴ 第 5 项的二项式系数是 C84=70，第 5 项的系数是 C84⋅24=1120．
(2)倒数第 3 项．
【解】 展开式中的倒数第 3 项即为第 7 项，
∴T7=C86⋅2x28-6⋅-13x6=112x2．
18. 求证：25n-1（n∈N*）能被 31 整除．
【解】 因为 25n-1=32n-1=31+1n-1
=31n+Cn1⋅31n-1+⋯+31⋅Cnn-1+1-1
=3131n-1+Cn1⋅31n-2+⋯+Cnn-1,
所以 25n-1 能被 31 整除．
19. 在二项式 axm+bxn12a>0,b>0,m,n≠0 中有 2m+n=0，如果它的展开式中系数最大的项恰是常数项，它是第几项？
【解】 通项 Tr+1=C12ra12-rx12m-mrbrxnr=C12ra12-rbrx12m-mr+nr．
结合题意知
12m-mr+nr=0,2m+n=0,
解得 r=4，∴系数最大的项为第 5 项．
20. 在二项式 2x-3y9 的展开式中，
求：
(1)二项式系数之和；
【解】 二项式系数之和为 C90+C91+C92+⋯+C99=29．
(2)各项系数之和；
【解】 设展开式中 2x-3y9=a0y9x0+a1y8x1+a2y7x2+⋯+a9y0x9，
令 x=1，y=1，则 a0+a1+a2+⋯+a9=2-39=-1．
(3)所有奇数项系数之和；
【解】 由（2）知 a0+a1+a2+⋯+a9=-1．
令 x=1，y=-1，可得 a0-a1+a2-⋯-a9=59，将两式相加，可得
a0+a2+a4+a6+a8=59-12，即为所有奇数项系数之和．
(4)所有项的系数绝对值的和．
【解】 展开式的通项公式为：
Tr+1=-3r⋅29-r⋅C9r⋅x9-ryr（r=0,1,2,⋯,9），所以奇数项系数为正，偶数项系数为负，
由（2）知 a0+a1+a2+⋯+a9=-1⋯⋯①，
由（3）知 a0-a1+a2-⋯-a9=59⋯⋯②，
① + ②得 a0+a2+a4+a6+a8=59-12，
① - ②得 a1+a3+a5+a7+a9=-59-12，
a0+a1+a2+⋯+a9=a0+a2+a4+a6+a8-a1+a3+a5+a7+a9=59,
即为 2x-3y9 所有项的系数绝对值的和．
二项式定理的通项
1. 已知 a=0π2sin2x2-12dx，则 ax+12ax9 的展开式中，关于 x 的一次项的系数为 ．
【答案】 -6316
【分析】 a=0π2sin2x2-12dx=0π21-cosx2-12dx=0π2-cosx2dx=-12sinx0π2=-12.
Tr+1=C9r-12x9-r-1xr=C9r-129-r-1rx9-2r，
令 9-2r=1，得 r=4，
所以 x 的一次项的系数 为 C94-129-4-14=-6316．
2. a+x4 的展开式中 x3 的系数等于 8 ，则实数 a= ．
【答案】 2
3. x+19 的展开式中 x3 的系数是 ．（用数字作答）
【答案】 84
【分析】 x+19 的展开式中 x3 的系数是 C96=C93=84．
4. 1-x10 的二项展开式中，x 的系数与 x9 的系数之差为 ．
【答案】 0
5. 1+2xn 的展开式中 x3 的系数等于 x2 的系数的 4 倍，则 n 等于 ．
【答案】 8
【分析】 由题意 Cn323=4Cn2⋅22，所以 n⋅n-1n-26=2nn-12，所以 n-2=6，n=8．
6. 已知二项式 3x-23x10．
(1)求展开式中第 4 项的二项式系数；
【解】 3x-23x10 的展开式的通项是 Tr+1=C10r3x10-r⋅-23xrr=0,1,2,⋯,10．
展开式的第 4 项的二项式系数为 C103=120．
(2)求展开式中第 4 项的系数；
【解】 展开式的第 4 项的系数为 C103⋅37⋅-233=-77760．
(3)求展开式的第 4 项．
【解】 展开式的第 4 项为 -77760x7⋅1x3=-77760x．
7. 已知 41x+3x2n 的展开式中倒数第三项的系数为 45，求：
(1)含 x3 的项；
【解】 已知展开式中倒数第三项的系数为 45，则 Cnn-2=45，即 Cn2=45，n2-n-90=0，解得 n=-9（不合题意）或 n=10．
由通项公式 Tr+1=C10rx-1410-rx23r=C10rx-10-r4+2r3，
得 -10-r4+2r3=3，-30+3r+8r=36，
∴r=6．
故含有 x3 的项是第 7 项，T7=C106x3=210x3．
(2)系数最大的项．
【解】 ∵41x+3x210 的展开式中共有 11 项，系数最大的项是第 6 项（在本题中系数最大的项也是二项式系数最大的项），
∴T6=C105x-145⋅x235=252x2512．
8. 若 x+124xn 展开式中前三项系数成等差数列．求：
(1)展开式中含 x 的一次幂的项；
【解】 二项展开式的通项为：
Tr+1=Cnr⋅xn-r⋅124xr．
由已知条件知 Cn0+Cn2⋅122=2Cn1⋅12，解得 n=8，或 n=1（舍去），则
Tr+1=C8r⋅x8-r⋅124xr=C8r⋅2-r⋅x4-34r.
令 4-34r=1，解得 r=4．
∴ 含 x 的一次幂的项为 T4+1=C84⋅2-4⋅x=358x．
(2)展开式中所有 x 的有理项．
【解】 令 4-34r∈Zr⩽8，
则只有当 r=0，4，8 时，对应的项才为有理项，有理项分别为 T1=x4；T5=358x；T9=1256x2．
9. 设 n⩾2,n∈N,2x+12n-3x+13n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn．
(1)求 a0+a1+a2+⋯+an；
【答案】 a0+a1+a2+⋯+an=52n-103n．
【解】 令 x=1，得 a0+a1+a2+⋯+an=52n-103n；
(2)记 ak（0⩽k⩽n）的最小值为 Tn．（1）求 T8；（2）若 n 为奇数，求 Tn．
【答案】 ① T8=0；
② Tn=12n-13n．
【解】 ① T8=0；
② ak=Cnk22k-n-32k-n，当 k<n2，ak=Cnk22k-n-32k-n．记 bk=22k-n-32k-n，则
bk⩾bk-1⇔22k-n-32k-n⩾22k-n-2-32k-n-2⇔k⩽n2-1.
所以当 k<n2 时 bk 单调递增，而 Cnk 也递增，因此最小值为 a0=12n-13n．当 k>n2，
ak=Cnk32k-n-22k-n⩾Cnk⩾Cn0>a0.
综上 Tn=12n-13n．
10. 已知 x-13xn 展开式中偶数项的二项式系数之和比 2a+b2n 展开式中奇数项的二项式系数之和小 120，求第一个展开式的中间项．
【解】 x-13xn 展开式中偶数项的二项式系数之和为 2n-1,2a+b2n 展开式中奇数项的二项式系数之和为 22n-1，
∴2n-1+120=22n-1，即 12⋅2n2-12⋅2n-120=0，解得 2n=16，2n=-15（舍）．
∴n=4．
∴x-13x4 展开式的中间项为 T3=C42x2-13x2=63x．
二项式定理中的赋值法
1. 设 3x-26=a0+a12x-1+a22x-12+⋯+a62x-16，则 a1+a3+a5a0+a2+a4+a6= ．
【答案】 -6365
2. 已知 1-2x7=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7；那么 a0= ；a0+a1+a2+⋯+a7= ；a0+a1+a2+⋯+a7= ；a0+a2+a4+a6= ；a0+a2+a4+a62-a1+a3+a5+a72= ．
【答案】 1；-1；37；37-12；-37
3. 若 a1x-14+a2x-13+a3x-12+a4x-1+a5=x4，则 a1+a2+a3+a4= ．
【答案】 15
【分析】 令 x=1，得 a5=1．令 x=2，得 a1+a2+a3+a4+a5=24，所以 a1+a2+a3+a4=24-1=15．
4. 若 1-2x2004=a0+a1x+a2x2+⋯+a2004x2004x∈R，则
a0+a1+a0+a2+a0+a3+⋯+a0+a2004= ．（用数字作答）
【答案】 2004
【分析】 令 x=0，则 a0=1；令 x=1，则 a0+a1+a2+⋯+a2004=1，所以
a0+a1+a0+a2+a0+a3+⋯+a0+a2004
=2003a0+a0+a1+a2+⋯+a2004=2004.
5. 若 1-x6=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6，则 a0+a1+a2+⋯+a6= ．
【答案】 0
【分析】 令 x=1，则 a0+a1+a2+⋯+a6=0．
6. 已知 1-2x7=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7．求：
(1) a1+a2+⋯+a7；
【解】 令 x=1，则 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1. ⋯⋯①
因为 a0=C70=1，所以 a1+a2+a3+⋯+a7=-2．
(2) a1+a3+a5+a7；
【解】 令 x=-1，则 a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37. ⋯⋯②
①-②÷2 得 a1+a3+a5+a7=-1-372=-1094. ⋯⋯③
(3) a0+a2+a4+a6；
【解】 ①+②÷2 得 a0+a2+a4+a6=-1+372=1093. ⋯⋯④
(4) a0+a1+a2+⋯+a7．
【解】 因为 1-2x7 展开式中 a0，a2，a4，a6 大于 零，而 a1，a3，a5，a7 小于零，
所以 a0+a1+a2+⋯+a7=a0+a2+a4+a6-a1+a3+a5+a7，
④-③ 即可得其值为 2187．
其他方法：
a0+a1+a2+⋯+a7，表示 1+2x7 展开式中各项的系数和，
所以 a0+a1+⋯+a7=37=2187．
7. 已知 3-2x7=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7，求：
(1)a1+a2+⋯+a7；
【解】 令 x=0，得 a0=37．令 x=1，得 a0+a1+⋯+a7=1⋯①，
所以 a1+a2+⋯+a7=1-37=-2186．
(2)a0+a2+a4+a6；
【解】 令 x=-1，得 a0-a1+a2+⋯-a7=57⋯②．
①+② 得 2a0+a2+a4+a6=1+57，
所以 a0+a2+a4+a6=39063．
(3)a0+a1+a2+⋯+a7．
【解】 因为 3+2x7 与 3-2x7 的展开式中对应项的系数的绝对值相等，
而 3+2x7 的展开式各项系数均为正数，
所以 a0+a1+a2+⋯+a7 即为 3+2x7 的展开式的各项系数和，
故 a0+a1+a2+⋯+a7=57=78125．
(1)求多项式 3x4-x3+2x-3102⋅3x-54⋅7x3-5x-167 的展开式中各项系数的和；
【解】 设
fx=3x4-x3+2x-3102⋅3x-54⋅7x3-5x-167=a0+a1x+a2x2+⋯+anxnn∈N,
其各项系数和即是 a0+a1+a2+⋯+an．
所以
f1=a0+a1+a2+⋯+an=3-1+2-3102⋅3-54⋅7-5-167=1×16×1=16.
(2)多项式 x1000-x+-x3-2x2+21000 的展开式中 x 的偶次幂各项系数的和与 x 的奇次幂各项系数的和各是多少？
【解】 设 fx=x1000-x+-x3-2x2+21000=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn（n∈N 且 n 为偶数），
f1=a0+a1+a2+⋯+an=1，f-1=a0-a1+a2-a3+⋯+an=3．
故 fx 的偶次幂各项系数的和为 12f1+f-1=2，fx 的奇次幂各项系数的和为 12f1-f-1=-1．
9. 设 2x-15=a0+a1x+a2x2+⋯+a5x5，求：
(1) a0+a1+a2+a3+a4；
【解】 设 fx=2x-15．
∵a5=25=32,
∴a0+a1+a2+a3+a4=f1-32=-31.
(2) ∣a0∣+∣a1∣+∣a2∣+∣a3∣+∣a4∣+∣a5∣；
【解】 设 fx=2x-15．
∣a0∣+∣a1∣+∣a2∣+…+∣a5∣=-a0+a1-a2+a3-a4+a5=-f-1=243.
(3) a1+a3+a5；
【解】 设 fx=2x-15．
∵f1-f-1=2a1+a3+a5,
∴a1+a3+a5=122.
(4) a0+a2+a42-a1+a3+a52．
【解】 设 fx=2x-15．
a0+a2+a42-a1+a3+a52
=a0+a1+a2+a3+a4+a5a0-a1+a2-a3+a4-a5
=f1×f-1
=-243.
10. 在 2x-3y10 的展开式中，求：
(1)二项式系数的和；
【解】 二项式系数和为 C100+C101+⋯+C1010=210．
(2)各项系数的和．
【解】 令 x=y=1，各项系数的和为 2-310=-110=1．
二项式定理的应用
1. 若 1+25=a+b2 ( a,b 为有理数)，则 a+b= ．
【答案】 70
2. 811 除以 9 的余数是 ．
【答案】 8
【分析】 811=9-111=911-C111910+⋯+C11109-1=911-C111910+⋯+C11109-9+8，
∴ 余数为 8．
3. 655 除以 8 的余数是 ．
【答案】 0
4. 如图所示，
1112113311464115101051⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
在杨辉三角中，从上向下数共有 nn∈N* 行，在这些数中非 1 的数字之和为 ．
【答案】 2n+1-2-2n
【分析】 所有数字的总和为 2+22+23+⋯+2n=2n+1-2，其中 1 共有 2n 个．
5. 设 n 为奇数，则 7n+Cn17n-1+Cn27n-2+⋯+Cnn-17 被 9 除所得余数为 ．
【答案】 7
【分析】
7n+Cn17n-1+Cn27n-2+⋯+Cnn-17=7n+Cn17n-1+Cn27n-2+⋯+Cnn-17+Cnn-1=7+1n-1=9-1n-1=9n+Cn19n-1-11+⋯+Cnn-19-1n-1+Cnn-1n-1=99n-1+Cn19n-2-11+⋯+Cnn-1-1n-1-1+7.
因此，7n+Cn17n-1+Cn27n-2+⋯+Cnn-17 被 9 除所得余数为 7．
6. 已知 x⩽1，n∈N*，用二项式定理证明：1+xn+1-xn⩽2n．
【解】 利用二项式定理把左边的式子展开．
1+xn+1-xn=Cn0+Cn1x+Cn2x2+⋯+Cnnxn+Cn0-Cn1x+Cn2x2+⋯+-1nCnnxn=2Cn0+Cn2x2+⋯+Cn2kx2k+⋯.
∵x⩽1，n∈N*，
∴x2⩽1，
∴原式⩽2Cn0+Cn2+⋯Cn2k+⋯．
由二项式系数的性质得 1+xn+1-xn⩽2×2n-1=2n．
7. 求 C62+9C63+92C64+93C65+94C66 的值．
【解】 原式=19292C62+93C63+94C64+95C65+96C66=192C60+9C61+92C62+93C63+94C64+95C65+96C66-192C60+9C61=1921+96-192×55=192106-55=12345.
8. 化简： Cn0+2Cn1+3Cn2+⋯+n+1Cnn ．
【解】 解法一：
令S=Cn0+2Cn1+…+nCnn-1+n+1Cnn，则也可得，
S=n+1Cnn+nCnn-1+…+2Cn1+Cn0 .
将其相加，利用 Cnn=Cn0，Cnn-1=Cn1 ， ⋯ ，得
2S=n+2Cn0+Cn1+…+Cnr+…+Cnn-1+Cnn,
故 S=n+2⋅2n-1 ．
解法二：
Cn0+2Cn1+3Cn2+…+n+1Cnn=Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn+Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=2n+nCn-10+nCn-11+nCn-12+⋯+nCn-1n-1=2n+n⋅2n-1=n+2⋅2n-1.
9. 用二项式定理证明：32n-8n-1 能被 64 整除（n∈N*）．
【解】 32n-8n-1=9n-8n-1=8+1n-8n-1=Cn08n+Cn18n-1+Cn28n-2+⋯+Cnn-282+Cnn-18+Cnn-8n-1=Cn08n+Cn18n-1+Cn28n-2+⋯+Cnn-282,
每一项都是 64 的倍数，所以 32n-8n-1 能被 64 整除．
10. 求证：3n>n+2⋅2n-1（n∈N，且 n>2）．
【解】 因为 n∈N，n>2，所以 3n=2+1n 的展开式至少有四项．
因为 2+1n⩾2n+n⋅2n-1+2n+1>2n+n⋅2n-1=n+2⋅2n-1．
所以 3n>n+2⋅2n-1．
课后练习
1. 2x2-1x6 的展开式的常数项是 （用数字作答）．
2. 已知 x+ax6a>0 的展开式中常数项为 240，则 x+ax-2a2 的展开式中 x2 项的系数为 ．
3. 在 x2+1x6 的展开式中，x3 的系数是 ．
4. 已知 3x2+3x2n 的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992，则展开式中系数最大的项为 ．
5. 在二项式 x-1xn 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，
则展开式中含 x2 项的系数是 ．
6. 若二项式 1x+2xnn∈N* 的展开式中的第 5 项是常数项，则 n= ．
7. 已知 1-x1+ax3 的展开式 x2 中的系数为 6，则 a= ．
8. 关于二项式 x-11999 有下列四个命题：
① 该二项展开中非常数项的系数和为 1；
② 该二项展开式中系数最大的项是第 1000 项；
③ 该二项展开式中第 6 项为 C19996x1993；
④ 当 x=2000 时，x-11999 除以 2000 的系数是 1999．
其中正确的序号是 ．
9. 1-2x5 的展开式中 x3 项的系数为 ．（用数字作答）
10. x2+a2x2+2a4 展开式的常数项为 280，则正数 a= ．
11. 在 1-x210 的展开中，x4 的系数为 ．
12. x+1x7 展开式中 x5 的系数是 (用数字作答)．
13. 若 n∈N*，则 6Cn1+62Cn2+63Cn3+⋯+6nCnn= ．
14. 在 x2x-26 的展开式中 x5 的系数是 ．
15. 若 x+2n 展开式的二项式系数之和等于 64 ，则第三项是 ．
16. 已知 1-2x7=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7，则 a0= ，a1+a2+⋯+a7= ．
17. 1-3x12 的展开式中，各项系数之和为 ．
18. 若 2x-34=a0+a1x+⋯+a4x4，则 a0+a2+a42-a1+a32 的值为 ．
19. 设 n∈N*，则 Cn1+Cn26+Cn362+⋯+Cnn6n-1= ．
20. 已知 a0+a1x+1+a2x+12+a3x+13+⋯+a10x+110=x9+x10，则 a0+a1+a2+a3+⋯+a9+a10= ；a2= ．
21. 9192 除以 100 的余数是 ．
22. 212 除以 7 的余数是 ．
23. 设 n∈N*，则 4×6n+5n+1 除以 20 的余数为 ．
24. 若 Cn1+3Cn2+32Cn3+⋯+3n-2Cnn-1+3n-1=85，则 n 的值为 ．
25. 数 11100-1 的末尾连续的零的个数是 ．
26. 若 x=5，在 1+x15 的展开式中最大的项为第几项？并求出这一项的值．
27. 若 x+124xn 的展开式中前三项的系数成等差数列，求：
(1)展开式中含 x 的一次幂的项；
(2)展开式中所有含 x 的有理数项；
(3)展开式中系数最大的项．
28. 求 1+x+1x210 的展开式中的常数项．
29. 已知 1+2xn 的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的 2 倍，而又等于它后一项系数的 56．
(1)求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；
(2)求展开式中的有理项．
30. 今天是星期天，再过 22004 天后是星期几？
31. 已知 x2-1xn 展开式中的二项式系数的和比 3a+2b7 展开式的二项式系数的和大 128，求 x2-1xn 展开式中系数最大的项和系数最小的项．
32. 证明：2<1+1nn<3n∈N,n⩾2．
33. 求：
(1) 2a+3b6 展开式中的第 3 项；
(2) 3b+2a6 的展开式中的第 3 项．
34. 若 x=13，则 2+3x10 展开式中系数最大的项是哪一项？其值等于多少？
35. 求证：Cn0+2Cn1+⋯+n+1Cnn=2n+n⋅2n-1．
(1)在 1+xn 的展开式中，若第 3 项与第 6 项系数相等，且 n 等于多少？
(2)xx+13xn 的展开式奇数项的二项式系数之和为 128，求展开式中二项式系数最大的项．
37. 在 a+an 的展开式中，奇数项的系数和是 512，求第 8 项是多少？
38. 在 1+xn 的展开式中，若第 3 项与第 6 项系数相等，则 n 等于多少？
39. 已知 n 是等差数列 4,7,10,13,⋯ 中的一项．求证：x+1xn 的展开式中不含常数项．
40. 已知 14+2xn 的展开式中前三项的二项式系数的和等于 37，求展开式中二项式系数最大的项的系数．
41. 请先阅读：
设可导函数 fx 满足 f-x=-fxx∈R．
在等式 f-x=-fx 的两边对 x 求导，
得 f-xʹ=-fxʹ，
由求导法则，得 fʹ-x⋅-1=-fʹx，
化简得等式 fʹ-x=fʹx．
(1)利用上述想法（或其他方法），结合等式 1+xn=Cn0+Cn1x+Cn2x2+⋯+Cnnxn（x∈R，整数 n⩾2），证明：n1+xn-1-1=2Cn2x+3Cn3x2+4Cn4x3+⋯+nCnnxn-1；
(2)当整数 n⩾3 时，求 Cn1-2Cn2+3Cn3-⋯+-1n-1nCnn 的值；
(3)当整数 n⩾3 时，证明：2Cn2-3⋅2Cn3+4⋅3Cn4-⋯+-1n-2nn-1Cnn=0．
42. 已知 3-2x7=a0+a1x-1+a2x-12+⋯+a7x-17，求 a0+a1+a2+⋯+a7．
43. 若 x2-3x+25=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10．
(1)求 a2；
(2)求 a1+a2+⋯+a10；
(3)求 a0+a2+a4+a6+a8+a102-a1+a3+a5+a7+a92．
44. 已知 1-2x+3x27=a0+a1x+a2x2+⋯+a13x13+a14x14，求：
(1) a0+a1+a2+⋯+a14；
(2) a1+a3+a5+⋯+a13．
45. 已知 m,n∈N*，定义 fnm=nn-1n-2⋯n-m+1m!．
(1)记 am=f6m，求 a1+a2+⋯+a12 的值；
(2)记 bm=-1mmfnm，求 b1+b2+⋯+b2n 的所有可能值的集合．
46. 证明：若 n∈N+，则 32n+3-24n+37 能被 64 整除．
47. 求证：5151-1 能被 7 整除．
48. 已知二项式 5x+12xm 的展开式中第 2 项为常数项 t，其中 m∈N*，且展开式按 x 的降幂排列，
(1)求 t 的值；
(2)数列 an 中，a1=t，an=tan-1，求证：an-3 能被 4 整除．
49. 求 15+21520+15+21515 的十进制表达式中的个位数字．
50. 用二项式定理证明：32n+2-8n-9 是 64 的倍数 n∈N*．
二项式定理-出门考
姓名 成绩
1. 在 1+x3+1+x4+⋯+1+x2005 的展开式中，x3 的系数为 ．
2. 已知 a=-20πsinxdx，则二项式 x2+ax5 的展开式中 x 的系数为 ．
3. 已知 a=0π3cosx-sinxdx，则二项式 x2+ax5 展开式中 x 的系数为 ．
4. 设 5x12-x13n 的展开式的各项系数的和为 M，且二项式系数的和为 N，M-N=992，则展开式中 x2 项的系数是 ．
5. 若多项式 x3+x10=a0+a1x+1+⋯+a9x+19+a10x+110，则 a9= ．
6. x-1x4 的展开式的常数项为 （具体数值作答）．
7. 4x+3y7 的展开式中 x3y4 与 x4y3 项的系数之比为 ．（用数字作答）
8. 1-x20 的二项展开式中， x 的系数与 x9 的系数之差为 ．
9. 在 1+x+1x201510 的展开式中，x2 项的系数为 （结果用数值表示）．
10. x-2x4 的展开式中的常数项为 ．（用数字作答）
11. 设 x-121=a0+a1x+a2x2+⋯+a21x21，则 a10+a11= ．
12. 在 2x+1x26 的二项展开式中，常数项等于 （结果用数值表示）．
13. 在 x+43y20 的展开式中，系数为有理数的项共有 项．
14. 已知 a 为实数， (x+a)10 展开式中 x7 的系数是 -15 ，则 a= ．
15. 若在 x+14ax-12 的展开式中，x3 的系数是 20，则 a= ．
16. 已知 3x-17=a7x7+a6x6+⋅⋅⋅+a1x+a0, 则 a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a7= ．
17. 若 1-mx6=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6，且 a1+a2+⋯+a6=728，则实数 m 的值为
18. 若 1-3x2010=a0+a1x+a2x2+⋯+a2010x2010x∈R，则 a13+a232+⋯+a201032010= ．
19. 若 1+xn 展开式中系数的和大于 8 且小于 32，则正整数 n= ．
20. 设 3x-18=a8x8+a7x7+⋯+a1x+a0，则（1）a0= ；（2）a8+a7+a6+⋯+a1= ；（3）a8+a6+a4+a2+a0= ．
21. 当 x∈R,x<1 时，有如下表达式：1+x+x2+⋯+xn+⋯=11-x．两边同时积分得：0121dx+012xdx+012x2dx+⋯+012xndx+⋯=01211-xdx，从而得到如下等式：1×12+12×122+13×123+⋯+1n+1×12n+1+⋯=ln2.
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
Cn0×12+12Cn1×122+13Cn2×123+⋯+1n+1Cnn×12n+1= ．
22. 1+3+32+⋯+399 被 4 除所得的余数是 ．
23. 230-3 除以 7 的余数是 ．
24. 19912000 除以 103 的余数是 ．
25. 设 17+42n+1n∈N* 的整数部分和小数部分分别为 Mn 与 mn，则 mnMn+mn 的值为 ．
26. 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第几行从左至右的第 14 个数与第 15 个数之比为 2:3 ？
11112113311464115101051
27. 设集合 S=1,2,3,⋯,nn∈N*,n⩾2，A,B 是 S 的两个非空子集，且满足集合 A 中的最大数小于集合 B 中的最小数，记满足条件的集合对 A,B 的个数为 Pn．
(1)求 P2,P3 的值；
(2)求 Pn 的表达式．
28. 已知在 3x-33xn 的展开式中，第 6 项为常数项．
(1)求 n；
(2)求含 x2 的项的系数；
(3)系数是有理数的项共有多少项？
29. 求 x-1x+18 的展开式中 x5 的系数．
30. 在 3x-2y20 的展开式中，求：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数绝对值最大的项；
(3)系数最大的项．
31. 已知 2x+xlgx8 的展开式中，二项式系数最大的项的值等于 1120，求 x．
32. 计算 0.985（精确到 0.001）；
33. 设 fx=1+2x-3x26，试求 fx 展开式中含 x5 的项的系数．
34. 求 3x+1x4 的展开式．
35. 设 a0,a1,a2,⋯,an 成等差数列，求证：a0+a1Cn1+a2Cn2+⋯+akCnk+⋯+anCnn=a0+an⋅2n-1．
36. 求 2+x10 的展开式中系数最大的项．
37. 已知 1+2xn 的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
38. 化简：1+x5+1-x5．
39. 设 32+133n 展开式中的第 7 项与倒数第 7 项的比是 1:6，求展开式中的第 7 项．
40. 已知 x-124xn 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．
(1)证明：展开式中没有常数项；
(2)求展开式中所有有理项．
41. 已知等比数列 an，首项 a1 是 x+15x25 展开式中的常数项，公比 q=112C4m2m+8⋅A4m，设 Sn=a1+a2+⋯+an．
(1)求 Sn；
(2)求 Cn1S1+Cn2S2+⋯+CnnSn．
42. 求 1-3x12 的展开式中，
(1)各项二项式系数之和；
(2)奇数项二项式系数之和；
(3)偶数项二项式系数之和；
(4)各项系数之和；
(5)各项系数绝对值之和；
(6)奇数项系数之和与偶数项系数之和．
43. 设数列 an 是等比数列，a1=C2m+33m⋅Am-21，公比是 x+14x24 的展开式中的第二项（按 x 的降幂排列）．
(1)用 n 、 x 表示通项 an 与前 n 项和 Sn；
(2)若 Tn=Cn1S1+Cn2S2+⋯+CnnSn，则用 n，x 表示 Tn．
44. 已知二项式 1-x10．
(1)展开式的中间项是第几项，写出这一项；
(2)求展开式中各二项式系数之和；
(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和；
(4)写出展开式中系数最大的项．
45. xx+13xn 的展开式奇数项的二项式系数之和为 128，求展开式中二项式系数最大项．
46. 求 4×6n+5n+1 被 20 除所得的余数（n∈N*）．
47. 如图，在一块木板上钉一些正六棱柱形的小木块，在它们的中间留下一些通道，从上面的漏斗直通到下部的长方形框子，前面用一块玻璃挡住．把小弹子倒在漏斗里，它首先会通过中间的一个通道落到第二层（有几个通道就算第几层）的六棱柱上面，以后，再落到第二层中间的一个六棱柱的左边或右边的两个竖直通道里过去，再以后，它又会落到下一层的三个通道之一里过去……以此类推，最终落到下边的长方形框子中．
假设我们总共在木板上做了 n+1 层通道，在顶上的漏斗里一共放了 Cn0+Cn1+Cn2+⋯+Cnr+⋯+Cnn-1+Cnn=2n（颗）小弹子，让它们自由落下，落到下边 n+1 个长方形框子里，那么落在每个长方形的框子中的弹子的数目（按照可能情形来计算）会是多少？你能用学过的二项式定理与概率的知识来解释这一现象吗？
48. 求证：1+2+22+⋯+25n-1n∈N* 能被 31 整除．
49. 求 52x-253x2n 的展开式中的常数项，其中 n 是 7777-10 除以 19 的余数．
50. 将 1+13xn 展开式的各项依次记为 a1x，a2x，a3x，⋯．anx，an+1x，设 Fx=a1x+2a2x+3a3x+⋯+nanx+n+1an+1x．
(1)是否存在 n∈N*，使得 a1x,a2x,a3x 的系数成等比数列？若存在，求出 n 的值；若不存在，请说明理由；
(2)求证：对任意 x1,x2∈0,3，恒有 ∣Fx1-Fx2∣<2n-1n+2．
微信/支付宝扫码支付下载