广东省中山一中、仲元中学等七校2019届高三第一次（8月）联考数学（理）试题 11页

七校联合体2019届高三第一次联考试卷（8月）‎ 理科数学 ‎ 命题学校：广东仲元中学 命题人： 审题人： ‎ 第一部分（选择题共60分）‎ 一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若(为虚数单位)，则复数在复平面内对应的点在（ ）‎ ‎ A.第一象限　　　B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.函数f（x）=的图象大致为（　　）‎ A. B． C． D．‎ ‎5.的展开式中，的系数为( )‎ ‎ A.10 B.20 C.30 D.60‎ ‎6.《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：‎ 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 ‎000‎ ‎0‎ 震 ‎001‎ ‎1‎ 坎 ‎010‎ ‎2‎ 兑 ‎011‎ ‎3‎ 依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（ ）‎ A.15 B. 16 C. 17 D.18‎ ‎7.等比数列｛an｝满足a1=3， =21，则 ( )‎ A．21 B．42 C．63 D．84‎ ‎8.旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，‎ 乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为（ ）‎ A.24 B.18 C.16 D.10‎ ‎9. 函数（其中，）的部分图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）‎ A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 ‎10. 过双曲线（，）的右焦点作两条渐近线的垂线，垂足分别为AB，点O为坐标原点，若四边形OAFB的面积为4，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．某三棱锥的三视图如右图所示，且三个三角形均为直角三角形，‎ 则最大值为(　　) ‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎12.已知函数，，当时，方程 根的个数是（　　）‎ A．8 B．6 C．4 D．2[来源:学_科_网]‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分）‎ ‎13.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=_______.‎ ‎14.若满足，则的最小值为___________．[来源:学§科§网Z§X§X§K]‎ ‎15.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝__________.‎ ‎16.设A是直线y=x-4上一点，P,Q是圆C：上不同的两点，若圆心C是△APQ的重心，则△APQ面积的最大值为__________．‎ 三、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 为数列{}的前项和.已知＞0，=.‎ ‎（Ⅰ）求{}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设 ,请证明数列{}的前项和.‎ ‎18.（本小题满分12分）某厂生产一种零件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于为优质品，小于大于等于为正品，小于为次品．现随机抽取这种零件件进行检测，检测结果统计如下：‎ 测试指标 零件数 若以上述测试中各组的频率作为相应的概率.‎ ‎（Ⅰ）试估计这种零件的平均质量指标；‎ ‎（Ⅱ）生产一件零件，若是优质品可盈利元，若是正品盈利元，若是次品则亏损元；若从大量的零件中随机抽取件，其利润之和记为（单位：元），求的分布列及数学期望.‎ ‎19.（本小题满分12分）如图，在平面四边形ABCD中，E是BC的中点，‎ ‎.将图沿直线折起，使得二面角A-BD-C为60°，如图所示.‎ （1） 求证：平面；‎ （2） 求直线与平面所成角的余弦值.‎ ‎[来源:Zxxk.Com]‎ ‎20．（本小题满分12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．‎ ‎（1）求点P的轨迹方程；‎ ‎（2）设点Q在直线上，且．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F． ‎ ‎ ‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）函数与的图象无公共点，试求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值；若不存在，请说理由.‎ ‎（参考数据：，,,）.‎ ‎ ‎ 选做题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。‎ ‎22.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 已知曲线（为参数）和定点，、是此曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求直线的极坐标方程；‎ ‎（2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于、两点，‎ 求的值．‎ ‎23.（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲] ‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若二次函数与函数的图象恒有公共点，‎ 求实数的取值范围. ‎ 七校联合体2019届高三第一次联考试卷（8月）‎ 理科数学答案 ‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. A 2.B 3. A 4. B．5. C 6. C 7. B 8. D 9. A 10.D 11．C 12. B 二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分）‎ ‎13.2 14. 15. 16. ‎ ‎16.详解：如图：因为是圆:上不同的两点，且圆心是的重心，故设AC=2x，则DC=x，因为CP=CQ，且D为中点，故AD⊥PQ，所以，故面积表达式为，故面积的最大值为.‎ 三、解答题（共6小题，共70分．）‎ ‎17.（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）当n=1时，‎ ‎∵>0，∴=3 …………1分 ‎， ，…………2分 即 …………4分 ‎∵>0，∴=2， …………5分 所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，所以…………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 …………8分 所以数列{}的前n项和…………10分 ‎∵，∴，∴ …………12分 ‎18.（本小题满分12分）‎ 解：（1）平均质量指标为 ……………3分 ‎（2）由表可得任取一件零件为优质品的概率为，任取一件零件为正品的概率为，任取一件零件为次品的概率为，……………………………6分 从大量的零件中随机抽取件，其利润之和记为，则的可能取值为.‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，.………10分 故的分布列为 ‎……………………………………………………………………………………………11分 的数学期望值为 ……12分 ‎19.（本小题满分12分）（1）证明：取中点，连接，‎ 由翻折不变性知，.‎ ‎， …………1分 ‎∴.又，∴平面，…………2分 ‎∴，且为二面角的平面角，∴.‎ 由余弦定理知，…………4分 ‎∵，∴.…………4分 又∵，∴平面. …………5分 ‎（2）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，其中与轴平行，与轴平行，则， …………6分 ‎ …………7分 设平面的一个法向量为， 则有 ,得 取 ，则. …………9分 ‎∵∴， …………11分 故直线与平面所成角的余弦值为. …………12分 ‎20．（本小题满分12分） ‎ ‎…………3分 ‎…‎ ‎………5‎ ‎…………6分 ‎…………8分 ‎ …………9分 ‎ …………10分 ‎…………12分 21. ‎（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）函数与无公共点，等价于方程在无解.…2分 令，则令得 ‎[来源:学科网]‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ 增 极大值 减 因为是唯一的极大值点，故……………………………………4分 故要使方程在无解，当且仅当 故实数的取值范围为…………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立.‎ 即对恒成立.……………………………………………6分 令，则， ‎ ‎ 令，则，………………………………………7分 因为在上单调递增，，，且的图象在上连续，所以存在，使得，即，则，………9分 所以当时，单调递减；当时，单调递增，‎ 则取到最小值，‎ 所以，即在区间内单调递增.………………………………11分 ‎，‎ 所以存在实数满足题意，且最大整数的值为. …… ………12分 ‎ ‎22.解：（1）曲线C：可化为，其轨迹为椭圆，焦点为和．…2分 经过和的直线方程为，即，……4分 极坐标方程为. …………5分 ‎（2）由（1）知，直线AF2的斜率为，因为⊥AF2，所以的斜率为，倾斜角为30°，所以的参数方程为（t为参数）， …………6分 代入椭圆C的方程中，得． …………8分 因为M，N在点F1的两侧，所以 …………10分 ‎23.解：（1）当时，， ……………3分 ‎ 由得不等式的解集为. ……………5分 ‎（2）由二次函数，该函数在取得最小值2，‎ 因为，在处取得最大值， ……8分 所以要使二次函数与函数的图象恒有公共点，‎ 只需，即. ………10分