高中数学常见题型解法归纳及反馈检测 第2讲 函数的值域（最值）常见求法1 4页

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测 第2讲 函数的值域（最值）常见求法1‎ ‎【知识要点】‎ 一、函数值域的定义 函数值的集合叫做函数的值域.‎ 二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.‎ 三、常见函数的值域 ‎1、一次函数的值域为.‎ ‎2、二次函数，当时的值域为；‎ 时的值域为.‎ ‎3、反比例函数的值域为.‎ ‎4、指数函数的值域为.‎ ‎5、对数函数的值域为. ‎ ‎6、幂函数的值域为，幂函数的值域为.‎ ‎7、正弦函数、余弦函数的值域为，正切函数的值域为.‎ 四、求函数的值域常用的方法 求函数的值域常用的方法有直接法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式 法、基本不等式法、单调性法、数形结合法、导数法、绝对值不等式法和柯西不等式法等.其中最常用的有“三数（函数、数形结合、导数）”和“三不（基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式）”.‎ 第 4 页 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测 五、函数的值域一定要用集合或区间来表示.‎ 六、函数的值域、取值范围和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数的最值和取值范围等.‎ ‎【方法讲评】‎ 方法1 直接法 使用 情景 函数的解析式主要是一些简单的特殊的函数组成.‎ 解题 步骤 利用这些特殊函数的性质，结合不等式性质推导出函数的值域.‎ ‎【例1】求函数的值域.‎ ‎【反馈检测1】求函数的值域.‎ 方法2 分离常数法 使用 情景 函数是对称的分式函数.‎ 解题 步骤 一般先利用分式的除法将分式分离成一个常数和一个分式函数，再求函数的值域.‎ ‎【例2 】求函数的值域.‎ ‎【反馈检测2 】求函数的值域.‎ 第 4 页 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测 方法3 配方法 使用 情景 一般是二次函数或可以化成二次函数的函数.‎ 解题 步骤 一般先对二次函数配方，再画图观察得到函数的值域.‎ ‎【例3】已知，，且，则的取值范围是__________．‎ ‎【反馈检测3】求函数的值域.‎ 方法4 反函数法 使用 情景 已知函数比较容易求反函数.‎ 解题 步骤 先求已知函数的反函数，再求反函数的定义域，最后利用反函数的定义域就是原函数的值域关系得到原函数的值域.‎ ‎【例4】求函数的值域.‎ ‎【反馈检测4】求函数值域.‎ 第 4 页 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测 方法5 换元法 使用 情景 函数的解析式结构较复杂，函数的变量较多且相互关联.‎ 解题 步骤 一般先引进一个新元代替旧元，再求新函数的值域.‎ ‎【例5】求函数的值域.‎ ‎【例6 】已知满足不等式.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）求函数的最小值.‎ ‎【例7】求函数的值域.‎ ‎【例8】已知是圆上的点，试求的值域.‎ ‎【反馈检测5】若求函数的值域.‎ 第 4 页