【数学】2018届一轮复习北师大版第03讲函数的值域（最值）的常见求法（2）学案 16页

‎【知识要点】‎ 一、函数值域的定义 函数值的集合叫做函数的值域.‎ 二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.‎ 三、常见函数的值域 ‎1、一次函数的值域为.‎ ‎2、二次函数，当时的值域为，时的值域为 ‎.‎ ‎3、反比例函数的值域为.‎ ‎4、指数函数的值域为.‎ ‎5、对数函数的值域为. ‎ ‎6、幂函数的值域为，幂函数的值域为.‎ ‎7、正弦函数、余弦函数的值域为，正切函数的值域为.‎ 四、求函数的值域常用的方法 求函数的值域常用的方法有观察法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等 式法、单调性法、数形结合法、导数法、绝对值不等式法和柯西不等式法等.其中最常用的有“三数（函数、数形结合、导数）”和“三不（基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式）”.‎ 五、函数的值域一定要用集合或区间来表示.‎ 六、函数的值域、取值范围和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数的最值和取值范围等.‎ ‎【方法讲评】‎ 方法六 判别式法 使用情景 形如的函数.‎ 解题步骤 一般先将函数化成二次方程，再利用判别式来求函数的值域.‎ ‎【例1】求函数的值域.‎ ‎【点评】（1）分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为 的形式，再利用判别式加以判断.（2）函数经过变形后可以化为 的形式后，要注意对是否为零进行分类讨论，因为它不一定是一元二次方 程.（3）判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是）代回方程检验，把不满足题意的舍去.‎ ‎ 【反馈检测1】求函数的值域.‎ ‎ ‎ 方法七 基本不等式法 使用情景 一般变量是正数，变量的和或积是定值.‎ 解题步骤 一般先进行配凑，再利用基本不等式求函数的最值，从而得到函数的值域.‎ ‎ 【例2】已知，求函数 的最小值.‎ ‎【解析】.=‎ 当且仅当，即时，上式等号成立.‎ 因为在定义域内，所以最小值为.‎ ‎【点评】（1）本题不能直接使用基本不等式，本题在利用基本不等式前，要对函数化简，要用到分离函数的方法对函数进行化简，再使用基本不等式.（2）很多函数在使用基本不等式之前都要进行化简和配凑，所以要注意观察函数的结构,再进行变形，再使用基本不等式.(3)利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可. 学科.网 ‎【例3】已知，求函数的最大值.‎ ‎ 【点评】（1）基本不等式有二元基本不等式(和 三元不等式.（2）基本不等式不仅适用于一般函数，也适用三角函数和其它所有函数，只要满足条件，就可以利用“一正二定三相等”来分析解答.‎ ‎ 【反馈检测2 】已知，，且，则的最小值为.‎ ‎【反馈检测3】【2017浙江，17】已知αR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，‎ 则的取值范围是___________． ‎ 方法八 单调性法 使用情景 函数的单调性容易判断.‎ 解题步骤 先判断函数的单调性，再利用函数的单调性得到函数的值域.‎ ‎【例 4】求函数的值域.‎ ‎【点评】（1）本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的最大值和最小值，得到函数的值域.（2）判定函数的单调性常用的有定义法、图像法、复合函数分析法和导数法,注意灵活使用.‎ ‎ ‎ ‎【例5】求函数的值域.‎ ‎【解析】令，‎ 则在上都是增函数，所以在上是增函数 当时，‎ 当时，‎ 故所求函数的值域为。‎ ‎【点评】（1）如果能确定函数的单调性时，可以使用函数的单调性求函数的值域.（2）本题中利用了这样一个性质：增（减）函数+增（减）函数=增（减）函数.（3）本题，都是增函数，利用到了复合函数的单调性,所以要对函数单调性的判定方法比较熟练，才能做到游刃有余.‎ ‎【反馈检测4】求函数的值域.‎ 方法九 数形结合法 使用情景 函数有明显的几何意义.‎ 解题步骤 先找到“数”对应的“形”，再利用数形结合分析解答.‎ ‎【例6】求函数的值域.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点评】(1)画函数的图像，要先化简解析式，再画出函数的图像.(2)本题也可以利用重要的绝对值不等式得到函数的最值，，所以函数的最小值为5.（3）对于绝对值函数，一般利用零点讨论法把函数化成分段函数，再作图.‎ ‎【例7】 如果函数定义在区间上，求的最小值.‎ 图1‎ 如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即.当时，函数取得最小值.‎ 图2‎ 如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即.当时，函数取得最小值 ‎ 图3‎ 综上讨论，‎ ‎【点评】二次函数在闭区间上的最值问题，是一种较典型的问题.如果对称轴和区间的位置关系不能确定，常利用分类讨论和数形结合分析解答.‎ ‎ 【例8】求函数的值域.‎ 因为直线和圆相切，所以 所以函数的值域为 ‎【点评】（1）对于某些具有明显几何意义的函数，我们可以利用数形结合的方法求该函数的值域.先找到函数对应的形态特征，再求该函数的值域.（2）由于对应着两点之间的斜率（差之比对应直线的斜率），所以本题可以利用斜率分析解答.‎ ‎【例9】设是上的偶函数，对任意，都有且当时，内关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ）‎ A．（1，2） B． C． D．‎ ‎ ‎ 若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数解 所以恰有3个不同的实数解. 则解得：＜a＜2. 故选D ‎【点评】(1) 本题涉及到函数的奇偶性、周期性和零点问题，利用数形结合再好不过了. 所以要先根据已知条件作出函数 的图像，再作出函数 的图像，数形结合分析解答. (2)对于函数的问题，大家要比较敏感，随时想到利用函数的图像来分析.‎ ‎【例10】点为抛物线：上一动点，定点，则与到轴的距离之和的最小值为（ ）‎ A.9 B‎.10 C.8 D.5‎ ‎【解析】如图所示，焦点过点作垂直于准线交轴与点，到轴的距离 ‎,当三点共线时，取最小值，,所以与到轴的距离之和的最小值.‎ ‎【点评】圆锥曲线中，涉及到焦半径时，要想到圆锥曲线的定义，把问题转化，优化解题.‎ ‎ 【例11】已知x，y满足约束条件 ‎(1)求目标函数的最大值和最小值；‎ ‎(2)若目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，求的值；‎ ‎(3)求的取值范围．‎ ‎【解析】(1)作出不等式组表示的可行域如图：‎ 作直线：，并平行移动使它过可行域内的点，此时有最大值；过可行域内的点，此时有最小值，‎ 解，得．解，得．解，得．‎ ‎∴，.‎ ‎(2)一般情况下，当取得最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但若直线平行于边界直线，即直线平行于直线时，线段上的任意一点均使取得最大值，此时满足条件的点即最优解，有无数个．‎ 又，∴.‎ ‎ 【点评】线性规划的问题，就是数形结合研究问题的典型.线性规划解答问题的一般步骤是（1）根据题意，设出变量；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数 ‎；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系；（6）观察图形，找到直线在可行域上使取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.‎ ‎【反馈检测5】若点的坐标为（3，2），为抛物线的焦点，点是抛物线上的一动点，则取得最小值时，点的坐标是 .‎ A V C B ‎【例12】如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【点评】（1）由于蚂蚁在沿着曲面爬行，所以蚂蚁走过的路线时曲线，要直接求，比较困难，怎么办？我们这时可以把曲面展开，变成平面，再利用解三角形的知识来分析解答，问题迎刃而解. （2）本题利用了转化化归的思想，把空间的问题化成平面的问题，问题迎刃而解.‎ ‎【反馈检测6】如图，圆锥的底面圆直径为2，母线长为4，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为______．‎ 方法十 导数法 使用情景 函数的结构比较复杂，利用导数可以方便地求出函数的单调性.‎ 解题步骤 先利用导数求出函数的单调性，再根据函数的单调性得到函数的值域.‎ ‎【例12】已知函数，‎ ‎（1）当时，求函数在处的切线方程；‎ ‎（2）求在区间上的最小值．‎ ‎【解析】（1）当时，又故切线的斜率为所以切线方程为：即 ‎（2）函数的定义域为当x变化时， 的变化情况如下表：‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ 单调递减 极小值 单调递增 ‎【点评】对于结构较复杂或高次的函数，一般利用导数法来研究函数的值域.先利用导数研究函数的单调性，再利用该函数的单调性画出函数的草图分析函数的值域.‎ ‎【例13】两县城和相距20，现计划在两县城外以为直径的半圆弧上选择一点建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城和城的总影响度为城与城的影响度之和，记点到城的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为,统计调查表明：垃圾处理厂对城 的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为4；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为k,当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为0.065.‎ ‎（1）将表示成的函数；‎ ‎（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小？若存在，求出该点到城的距离;若不存在，说明理由.‎ A ‎ B ‎ C ‎ x ‎ ‎【解析】（1）如图,由题意知,,‎ 其中当时，,所以.‎ 所以表示成的函数为 ‎【点评】对于应用题，先要建立函数的模型，通过函数的模型，把一个实际问题转化成一个数学问题，再利用导数来研究函数的最值，最后再回到实际问题中去.‎ ‎【反馈检测7】已知函数 ，求函数在上的最大值．‎ 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第03讲：函数值域（最值）的常见求法（2）（判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法和导数法）‎ 参考答案 ‎【反馈检测1答案】‎ ‎【反馈检测2答案】‎ ‎【反馈检测2详细解析】 ‎ ‎【反馈检测3答案】‎ ‎【反馈检测3详细解析】，分类讨论：‎ ‎①当时，，函数的最大值，舍去；‎ ‎②当时，，此时命题成立；‎ ‎③当时，，则：‎ 或，解得：或 综上可得，实数的取值范围是．‎ ‎【反馈检测4答案】‎ ‎【反馈检测6详细解析】由题意知底面圆的直径，故底面周长等于． 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得解得，所以展开图中，‎ ‎ ‎ 根据勾股定理求得=,所以小虫爬行的最短距离为 ‎【反馈检测7答案】当时，的最大值为，当时，的最大值为，当时，的最大值为 ‎【反馈检测7详细解析】，‎ ‎∴．‎ ‎③当时，即时，在上是增函数，∴‎ 综上所述，当时，的最大值为，当时，的最大值为，‎ 当时，的最大值为.‎ ‎ ‎