江西省八所重点高中2012届高考数学4月模拟联考试题 理 12页

江西省八所重点高中2012届高考数学4月模拟联考试题 理 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．复数的实部是 （ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U = AB，则集合 的真子集共有（ ）‎ A．3个 B．6个 C．7个 D．8个 ‎3．要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）‎ A．向左平移单位 B．向右平移单位 ‎ C．向右平移单位 D．向左平移单位 ‎4．底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其主视图有最大面积时，其左视图的面积为（ ）‎ A. B. ‎3 C. D. 4‎ ‎5．已知数据是江西普通职工个人的年收入,设这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确的是（ ）‎ ‎ A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 ‎ B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大 ‎ C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变 ‎ D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变。‎ ‎6．在各项均为正数的等比数列中，，则下列结论中正确的是（ ）‎ A．数列是递增数列； B．数列是递减数列；‎ C．数列是常数列； D．数列有可能是递增数列也有可能是递减数列．‎ ‎7．在△中，是边中点，角的对边分别是，若，则△的形状为（ ）‎ A．直角三角形 B．钝角三角形 ‎ C．等边三角形 D．等腰三角形但不是等边三角形.‎ ‎8．甲袋中装有3个白球5个黑球，乙袋中装有4个白球6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋，则甲袋中白球没有减少的概率为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．设、为焦点在轴且具有公共焦点、的标准椭圆和标准双曲线的的离心率，O为坐标原点， 是两曲线的一个公共点，且满足2=,则的值为（ ）‎ ‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎10．已知函数，则函数（）的零点个数不可能 （ ）‎ A．3 B．‎4 C 5 D．6‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎11．________； ‎ ‎12．阅读右侧程序框图，输出的结果的值为________；‎ ‎13．若不等式组表示的平面区域是 一个三角形，则的取值范围是　 　.‎ ‎14．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数的图象恰好通过个格点，则称函数为阶格点函数，下列函数：‎ ‎ ①②；③；‎ ‎④，其中是一阶格点函数的有 。‎ 三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按做的第一题评阅计分.本题共5分.‎ ‎15．(1)（坐标系与参数方程选做题）已知曲线、的极坐标方程分别为 ‎，，则曲线上的点与曲线上的点的最远距离为________.‎ ‎15．(2) (不等式选择题）设,若对任意的正实数,都存在以为三边长的三角形,则实数的取值范围是 .‎ 四. 本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 在锐角三角形ABC中，、、分别是角A、B、C的对边，，，且∥.‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）求函数的值域．‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ 某公司举办一次募捐爱心演出，有1000 人参加，每人一张门票，每张100元. 在演出过程中穿插抽奖活动．第一轮抽奖从这1000张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个数，满足电脑显示“中奖”，且抽奖者获得9000元奖金；否则电脑显示“谢谢”，则不中奖．‎ ‎（1）已知小明在第一轮抽奖中被抽中，求小明在第二轮抽奖中获奖的概率；‎ ‎（2）若小白参加了此次活动，求小白参加此次活动收益的期望 ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，四边形中（图1），是的中点，，，将（图1）沿直线折起，使二面角为（如图2）‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角A—DC—B的余弦值。‎ ‎19．(本小题满分12分) ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 设不在轴负半轴的动点到的距离比到轴的距离大 求的轨迹的方程；‎ 过作一条直线交轨迹于、两点，过，做切线交于点，再过、作的垂线，垂足为,若，求此时点的坐标．‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 设函数数列满足，‎ ‎(1)证明：函数在是增函数；‎ ‎（2）求证：‎ ‎（3）若，求证：‎ 数学（理）答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 C C D ‎ A B C C A B A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎11． 12． 13． 14．③④ ‎ 三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按做的第一题评阅计分.本题共5分.‎ ‎15．(1)（坐标系与参数方程选做题）‎ ‎15．(2) (不等式选做题） ‎ 四. 本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16.（本小题满分12分）在锐角三角形ABC中，、、分别是角A、B、C的对边，‎ ‎，，且∥.‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）求函数的值域．‎ 解：解：（1）由∥，得……………………………2分 ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ …………………………4分 ‎ 在锐角三角形ABC中，‎ ‎∴，故 …………………………6分 ‎（2）在锐角三角形ABC中，，故…………………………7分 ‎∴‎ ‎ …………………………9分 ‎∵，∴‎ ‎∴，‎ ‎∴函数的值域为…………………………12分 ‎ ‎ ‎17. 某集团公司举办一次募捐爱心演出，有1000 人参加，每人一张门票，每张100元.‎ ‎ 在演出过程中穿插抽奖活动．第一轮抽奖从这1000张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个数，满足电脑显示“中奖”，且抽奖者获得9000元奖金；否则电脑显示“谢谢”，则不中奖．‎ ‎（1）已知小明在第一轮抽奖中被抽中，求小明在第二轮抽奖中获奖的概率；‎ ‎（2）若小白参加了此次活动，求小白参加此次活动收益的期望；‎ ‎ 解：（Ⅰ）从0，1，2，3四个数字中有重复取2个数字，其基本事件有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）共 16 个……………3分 设“小明在第二轮抽奖中获奖”为事件A，且事件A所包含的基本事件有（0，0），（2，0），（3，0），（3，1），（3，3）共5个，‎ ‎∴P(A)= ……………………………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）设小明参加此次活动的收益为ξ，ξ的可能取值为-100，900，9900． ‎ P(ξ=-100)=，P(ξ=900)=，P(ξ=9900)= ………9分 ‎∴ξ的分布列为 ξ ‎-100‎ ‎900‎ ‎9900‎ P ‎∴    …………………………12分 ‎ 18．（本小题满分12分）‎ 如图，四边形中（图1），是的中点，，，将（图1）沿直线折起，使二面角为（如图2）‎ ‎ （1）求证：平面；‎ ‎ （2）求二面角A—DC—B的余弦值。‎ ‎18.解： ‎ （1） 如图取BD中点M，连接AM，ME。∵ ‎ ‎∵， , ‎ 所以是BC为斜边的直角三角形，, ‎ ‎∵是的中点,∴ME为的中位线 ， ‎ ‎, ‎ ‎ 是二面角的平面角= …………………………3分 ,且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线 平面AEM ‎ ‎ ∵,为等腰直角三角形，‎ ‎ ………………6分 ‎ ‎（2）如图，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系， ‎ 则由（1）及已知条件可知B(1,0,0),，‎ ‎,D,C,‎ ‎ …………………8分 ‎ 设平面ACD的法向量为 ‎ 则 ‎ ‎…………………………10分 ‎…………………………12分 ‎19． (本小题满分12分) 已知数列满足，‎ ‎,,‎ 求数列的通项公式；‎ 解：由题意 ①‎ ‎ ②‎ 由②-①得，又 ‎∴，故数列从第二项开始为等比数列…………………………3分 将代入①式，‎ ‎∴时，‎ ‎∴数列的通项 ‎ …………………………6分 ‎（2） ∴‎ ‎ ∵假设存在任意三项 ‎①不防设当 ‎…………………………9分 ‎②假设存在成等差数列的三项中包含时 不妨设且 ‎∴‎ ‎………………………12分 ‎20.（本小题满分13分）‎ 设不在轴负半轴的动点到的距离比到轴的距离大 ‎ 求的轨迹的方程；‎ 过做一条直线交轨迹于，两点，过，做切线交于点，再过，做的垂线，垂足为,若，求此时点的坐标．‎ A B C D N O x y ‎ ‎ ‎……………………6分 设N点坐标为（a,b）则 ‎…………………………8分 ‎ ‎ 由（1）知，所以为线段的中点，取线段的中点，‎ ‎∵是抛物线的焦点，∴，∴，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎∴, …………………………11分 即，所以，，‎ ‎∴，‎ ‎∴所求点的坐标为…………………………13分 ‎21.（本小题满分14分）设函数数列满足，‎ ‎(1)证明：函数在是增函数；‎ ‎（2）求证：‎ ‎（3）若，求证：‎ 证明：（1）∵时，∴恒成立，‎ ‎∴函数在是增函数；…………………………3分 ‎…………………………5分 ① 当n=1时 命题成立 ② 假设当n=k时命题成立，即 ‎ 恒成立…………………………8分 根据①②可知对于任意命题均成立 ‎ ‎ ‎∵‎ ‎…………………………14分 ‎ ‎