2018年高三理科数学试卷（六）（学生版） 9页

此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号 绝密★启用前 ‎2018年好教育云平台最新高考信息卷 理科数学（六）‎ 注意事项：‎ ‎1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。‎ ‎2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。‎ ‎3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。‎ ‎4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设全集，集合，，则（）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数满足，则（）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．设等差数列的前项和为，若，，则（）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．“”是“”的（）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．已知定义域为的偶函数在上单调递增，且，，则下列函数中符合上述条件的是（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．已知向量，满足且，若向量在向量方向上的投影为，则（）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“菱形”处应填入（）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图，在矩形中，，，两个圆的半径都是1，且圆心，均在对方的圆周上，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．设函数与的图象在轴右侧的第一个交点为，过点作轴的平行线交函数的图象于点，则线段的长度为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．某几何体的三视图如图所示，其正视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，点在双曲线的左支上，与双曲线的右支交于点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，，若，，则的最小值是（）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎13．某公司对一批产品的质量进行检测，现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测，对这100件产品随机编号后分成5组，第一组号，第二组号，…，第五组号，若在第二组中抽取的编号为24，则在第四组中抽取的编号为__________．‎ ‎14．已知实数，满足，若目标函数在点处取得最大值，则实数的取值范围为__________．‎ ‎15．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为__________（用数字作答）．‎ ‎16．设集合，，记，则点集所表示的轨迹长度为__________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（12分）设函数．‎ ‎（1）求的单调递减区间；‎ ‎（2）在中，若，，求的外接圆的面积．‎ ‎18．（12分）重庆市推行“共享吉利博瑞车”服务，租用该车按行驶里程加用车时间收费，标准是“1元/公里元/分钟”．刚在重庆参加工作的小刘拟租用“共享吉利博瑞车”上下班，同单位的邻居老李告诉他：“上下班往返总路程虽然只有10公里，但偶尔开车上下班总共也需花费大约1小时”，并将自己近50天的往返开车的花费时间情况统计如表：‎ 将老李统计的各时间段频率视为相应概率，假定往返的路程不变，而且每次路上开车花费时间视为用车时间．‎ ‎（1）试估计小刘每天平均支付的租车费用（每个时间段以中点时间计算）；‎ ‎（2）小刘认为只要上下班开车总用时不超过45分钟，租用“共享吉利博瑞车”为他该日的“最优选择”，小刘拟租用该车上下班2天，设其中有天为“最优选择”，求的分布列和数学期望．‎ ‎19．（12分）如图，在三棱柱中，，平面，侧面是正方形，点为棱的中点，点、分别在棱、上，且，．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值．‎ ‎20．（12分）椭圆的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，，为椭圆上的动点（不与，重合），且直线与的斜率的乘积为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过作两条互相垂直的直线与（均不与轴重合）分别与椭圆交于，，，四点，线段、的中点分别为、，求证：直线过定点，并求出该定点坐标．‎ ‎21．（12分）已知函数，（，）．‎ ‎（1）若，，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数与的图象有两个不同的交点，，记，记，分别是，的导函数，证明：．‎ 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出曲线的极坐标方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）记曲线和在第一象限内的交点为，点在曲线上，且，求的面积．‎ ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数．‎ ‎（1）若关于的不等式有解，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若正实数，满足，当取（1）中最大值时，求的最小值．‎ 绝密★启用前 ‎2018年好教育云平台最新高考信息卷 理科数学答案（六）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．【答案】B ‎【解析】由集合，所以或，‎ 所以．故选B．‎ ‎2．【答案】A ‎【解析】由，则．故选A．‎ ‎3．【答案】B ‎【解析】由题意，设等差数列的首项为，公差为，则，解得，，所以．故选B．‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】由，可得或，，即或，，所以是，成立的必要不充分条件．故选B．‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】由题意，函数，即函数的值域为，不满足题意；‎ 函数的图象关于原点对称，所以函数为奇函数，不满足题意；‎ 函数，即函数的值域为，不满足题意．故选C．‎ ‎6．【答案】A ‎【解析】由，即，所以，由向量在向量方向上的投影为，则，即，所以．故选A．‎ ‎7．【答案】A ‎【解析】由题意可知，该程序框图的功能是使得实数，使得除余，被除余，被七除余的数值，其中表示除除余的数，再使得除余，被除余的数，所以是除余的数，所以判断框应填入．故选A．‎ ‎8．【答案】D ‎【解析】如图所示，‎ 分别连接，，，，则，分别为边长为的等边三角形，‎ 所以其面积分别为，‎ 其中拱形的面积为，‎ 所以阴影部分的面积为，‎ 所以概率为，故选D．‎ ‎9．【答案】C ‎【解析】由方程组，即，即，即，又，联立得，‎ 解得或（舍去），则，‎ 又因为．故选C．‎ ‎10．【答案】C ‎【解析】根据给定的三视图，可得原几何体如图所示，其中面表示边长分别为和的矩形，其面积为，和为底边边长为，腰长为的等腰三角形，其高为，所以面积为，面和面为全等的等腰梯形，上底边长为，下底边长为，高为，所以面积为，所以几何体的表面积为，故选C．‎ ‎11．【答案】D ‎【解析】由题意得，设，，则，由双曲线的定义可知且，解得，，‎ 在中，由余弦定理得，‎ 即，所以，故选D．‎ ‎12．【答案】B ‎【解析】由题意，，即，即，‎ 设，则，若时，，函数单调递增，无最大值，不适合题意；当时，令，解得，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减，‎ 所以，即，即，‎ 令，则，所以，‎ 设，则，‎ 若，则，此时单调递减，无最大值；‎ 所以，由，得，此时，解得，‎ 所以的最小值为．故选B．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎13．【答案】64‎ ‎【解析】设在第一组中抽取的号码为，则在各组中抽取的号码满足首项为，公差为的等差数列，即，又第二组抽取的号码为，即，所以，‎ 所以第四组抽取的号码为．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，把目标函数，化为，可得当直线在轴的截距越大时，目标函数取得最大值，‎ 直线的斜率为，又由目标函数在点处取得最大值，‎ 由图象可知，，即，即实数的取值范围是．‎ ‎15．【答案】36‎ ‎【解析】由题意可知，可分为两类：‎ 一类：甲乙在一个地区时，剩余的三类分为两组，再三组派遣到三个地区，共有种不同的派遣方式；‎ 另一类：甲乙和剩余的三人中的一个人同在一个地区，另外两人分别在两个地区，共有种不同的派遣方式；‎ 由分类计算原理可得，共有种不同的派遣方式．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】由题意，圆的圆心在圆上运动，当变化时，该圆在绕着原点转动，集合表示的区域如下图所示的环形区域，直线恰好与环形的小圆相切，所以所以表示的是直线截圆所得弦长，又原点到直线的距离为，所以弦长为．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．【答案】（1）单调递减区间为，；（2）．‎ ‎【解析】（1），‎ 令，解得，，‎ 单调递减区间为，．‎ ‎（2），，，‎ 外接圆直径，，外接圆面积．‎ ‎18．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题可得如下用车花费与相应频率的数表：‎ 估计小刘平均每天用车费用为．‎ ‎（2）可能的取值为0，1，2，‎ 用时不超过分钟的概率为，，‎ ‎，，，‎ ‎．‎ ‎19．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）设，则，，，，‎ ‎，，‎ 又，所以，，‎ ‎，，为直三棱柱，∴平面，‎ ‎∴，∴平面，∴平面平面．‎ ‎（2）由，以为原点，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，‎ ‎，，设平面的法向量为，‎ 由解得．平面的法向量，‎ 设所求二面角平面角为，．‎ ‎20．【答案】（1）；（2）见解析，经过定点为．‎ ‎【解析】（1）设，由题，整理得，‎ ‎，整理得，‎ 结合，得，，所求椭圆方程为．‎ ‎（2）设直线：，联立椭圆方程，得，‎ 得，，‎ ‎∴，，‎ 由题，若直线关于轴对称后得到直线，则得到的直线与关于轴对称，所以若直线经过定点，该定点一定是直线与的交点，该点必在轴上．‎ 设该点为，，，‎ 由，得，代入，坐标化简得，‎ ‎∴经过定点为．‎ ‎21．【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1），，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，即，‎ ‎，‎ 不妨设，令（），‎ 下证，即，即，‎ ‎，，所以，‎ ‎∴，．‎ 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22．【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题，，‎ 即，．‎ ‎（2）联立和，得，，‎ 设，由，，得，，‎ ‎．‎ ‎23．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1），时等号成立，‎ ‎∴的最小值为，，，．‎ ‎（2）时，，‎ ‎∴，，时等号成立．‎