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- 2021-06-11 发布
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第十三章 概率与统计
第1节 概率及其计算
题型140 古典概型
1.（2013广东理17）
某车间共有名工人，随机抽取名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.
(1) 根据茎叶图计算样本均值；
(2) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间名工人中有几名优秀工人；
(3) 从该车间名工人中，任取人，求恰有名优秀工人的概率.
2. (2013全国新课标卷理14）从个正整数中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于的概率为，则 .
3.（2013江苏7）现在某类病毒记作，其中正整数，（，）可以任意选取，则都取到奇数的概率为 .
4. (2013安徽理21）
某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心里测试活动，分别由李老师和
张老师负责.已知该系共有位学生，每次活动均需要该系位学生参加（和都是固定的正整数）.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机的发给该系位学生，且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为.
（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
（2）求使取得最大值的整数使率师到ANSHU .
5.（2014 江西理 12）件产品中有件正品，件次品，从中任取件，则恰好取到件次品的概率是 .
6.（2014 江苏理 4 ）从这个数中一次随机地取个数,则所取个数的乘积为的概率是 ．
7.（2014 广东理 11）从中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是的概率为 .
8.（2014 新课标1理5）位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ ）.
A. B. C. D.
9.（2014 陕西理 6）从正方形四个顶点及其中心这个点中，任取个点，则这个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）.
A. B. C. D.
10.（2014 新课标1理5）位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ ）.
A. B. C. D.
11.（2014 陕西理 6）从正方形四个顶点及其中心这个点中，任取个点，则这个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）.
A. B. C. D.
12.（2015广东理科4）袋中共有个除了颜色外完全相同的球，其中有个白球，个红球．从袋中任取个球，所取的个球中恰有个白球，个红球的概率为（ ）.
A． B． C． D．
12.解析 从袋中任取2个球共有种，其中恰好1个白球1个红球共有
种，所以恰好1个白球1个红球的概率为．故选B．
13. (2015北京理科16) ，两组各由7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
组：，，，，，，
组：，，，，，，
假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙.
（1）求甲的康复时间不少于天的概率；
（2）如果，求甲的康复事件比乙的康复时间长的概率；
（3）当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）
13. 解析 （1）设甲的康复事件为，则，
即甲的康复时间不少于天的概率为.
（2）设乙的康复事件为，集合，
，则选取病人的基本事件空间为，
共个基本事件，其中符合题意的基本事件为：
，，，，，，，，，
，共个.从而.
（3）可以看出组个连续的正整数，组为至共个连续的正整数和，从而或时，两组离散程度相同，即方差相等.
14.（2016江苏7）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有个点的正方体玩具）先后抛掷次，则出现向上的点数之和小于的概率是 ．
14. 解析 将先后两次点数记为，则基本事件共有（个），
其中点数之和大于等于有，共种，
则点数之和小于共有种，所以概率为．
15.（2016上海理14）如图所示，在平面直角坐标系中，为正八边形的中心，，任取不同的两点，点满足，则点落在第一象限的概率是 ．
15. 解析 由题意，若要使得点落在第一象限，则只需使在第三象限，可考虑变动，当时，不存在；当时，符合要求，同理顺次画图即可．
所有的满足条件的的数组为，共组，
故所求概率为．故填．
16.（2017山东理18（1））在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者，，，，，和4名女志愿者，，，，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率.
16.解析 （1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为，则
题型141 几何概型
1．（2013四川理9）节日 家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过秒的概率是（ ）
A. B. C. D.
2. (2013陕西理5）如图，在矩形区域的两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域和扇形区域（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）.若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）.
A. B. C. D.
3. (2013福建理11）利用计算机产生～之间的均匀随机数，则事件“”发生的概率为_________.
4.（2013山东理14） 在区间上随机取一个数，使得成立的概率为__________.
1
-1
1
-1
5.（2014 辽宁理 14）正方形的四个顶点，，，，分别在抛物线和上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形中，则质点落在阴影区域的概率是 .
6.（2014 福建理 14）如图所示，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为 .
7.（2015陕西理科11）设复数，若，则的概率为（ ）．
A． B． C． D．
7. 解析 由可知，.
所以表示如图所示的阴影部分，
所以.故选B.
命题意图 考查复数的基本概念与知识，并与几何概型相结合，具备一定的新颖性.
8.（2015湖北理科7）在区间上随机取两个数，记为事件“”
的概率，
为事件“”的概率，为事件“”的概率，则（ ）．
A． B．
C． D．
8. 解析 依次为如图所示的三个图形的面积，观察知，选B.
也可作如下的计算：
由图（1）得；
由图（2）得；
由图（3）得.
三个值比较得，故选B.
命题意图 考查不等式表示的平面区域、几何概型及定积分的计算.
9.（2016全国乙理4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）.
A. B. C. D.
9. B 解析 如图所示，画出时间轴.
小明到达的时间会随机的落在图中线段中，而当他的到达时间落在线段或时，才能保证他等车的时间不超过分钟.
根据几何概型，所求概率.故选B.
10.（2016山东理14）在上随机地取一个数，则事件”直线与圆相交”发生的概率为 ．
10. 解析 首先的取值空间的长度为2，由直线与圆相交，所
以，解得，所以得事件发生时的取值空间为，其长度
为，利用几何概型可知，所求概率为 .
11.（2016全国甲理10）从区间随机抽取2n个数，，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（ ）.
A. B. C. D.
11. C 解析 由题意得：在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知，所以.故选C．
12.（2017江苏07）记函数的定义域为．在区间上随机取一个数，则的概率是 ．
12.解析 由题意，故，所以．故填．
13.（2017全国1卷理科2）如图所示，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称. 在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）.
A. B. C. D.
13. 解析 设正方形的边长为，则圆的半径为，则正方形的面积为，圆的面积为，图中黑色部分的面积为，则此点取自黑色部分的概率为.故选B.
第2节 随机变量及其分布
题型142 条件概率及相互独立事件同时发生的概率
1.（2014 新课标2理5）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）.
A. B. C. D.
2.（2015全国Ⅰ理科4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）.
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
2. 解析 根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为
．故选A．
3.（2015江苏5）袋中有形状、大小都相同的只球，其中只白球，只红球，只黄球，从中一次随机摸出只球，则这只球颜色不同的概率为 ．
3. 解析 解法一：只白球设为，只红球设为，只黄球设为，，
则摸球的所有情况为，，，，，，共件，
满足题意的事件为，，，，，共件，故概率为．
解法二（理科做法）：从反面考查，反面情况为摸出的只球颜色相同，故．
4.（2015陕西理科19）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为，只与道路畅通状况有关，对其容量为的样本进行统计，结果如下：
（分钟）
频数（次）
（1）求的分布列与数学期望；
（2）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．
4. 解析 （1）以频率估计概率得的分布列为：
25
30
35
40
0.2
0.3
0.4
0.1
所以（分钟）.
(2)设分别表示往返所需时间，设从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟，则：
.
5.（2015湖北理科20）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品．生产吨产品需鲜牛奶吨，使用设备1小时，获利元；生产1吨产品需鲜牛奶吨，使用设备小时，获利元．要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利（单位：元）是一个随机变量．
（1）求的分布列和均值；
（2） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过
元的概率．
5. 解析 （1）设每天两种产品的生产数量分别为，相应的获利为，
则有（1）
目标函数为．
当时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为．
将变形为，
当时，直线：在轴上的截距最大，
最大获利．
当时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为．
将变形为，
当时，直线：在轴上的截距最大，
最大获利．
当时，（1）表示的平面区域如图3，
四个顶点分别为. 将变形为
，当时，直线：在轴上的截距最大，
最大获利．
故最大获利的分布列为：
8160
10200
10800
0.3
0.5
0.2
因此，
（2）由（1）知，一天最大获利超过10000元的概率，
由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：
.
命题意图 考查线性规划，分布列、均值与二项分布.
6.（2107天津理16（2））从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为.
（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
6.解析 （2）设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
.
所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
题型143 离散型随机变量的分布列及其数学期望与方差
1.（2013湖北理9）如图，将一个各面都凃了油漆的正方体，切割为个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为，则的均值（ ）.
A． B．
C． D．
2．（2013广东理4）已知离散型随机变量的分布列为：
则的数学期望（ ）.
A． B． C． D．
3.（2013江西理18）
小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为：以为起点，再从（如图）这个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为．若就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．
(1) 求小波参加学校合唱团的概率；
(2) 求的分布列和数学期望．
4．(2013湖南理18）
某人在如图所示的直角边长为米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量（单位：）与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示：
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过米.
（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
（2）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.
5. (2013重庆理18）
某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有个红球与个白球的袋中任意摸出个球，再从装有个蓝球与个白球的袋中任意摸出个球，根据摸出个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
奖级
摸出红、蓝球个数
获奖金额
一等奖
红蓝
元
二等奖
红蓝
元
三等奖
红蓝
元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.
（1）求一次摸奖恰好摸到个红球的概率；
（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额的分布列与期望.
6. (2013全国新课标卷理19）
经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润元，未售出的产品，每 亏损元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了该农产品.以（单位：）表示市场需求量，表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
（1）将表示为的函数；
（2）根据直方图估计利润不少于元的概率；
（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若，则取，且的概率等于需求量落入的的数学期望.
7. (2013天津理16）
一个盒子里装有张卡片，其中有红色卡片张，编号分别为， ， ， ；白色卡片张，编号分别为，，．从盒子中任取张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
(1) 求取出的张卡片中， 含有编号为的卡片的概率；
(2) 再取出的张卡片中， 红色卡片编号的最大值设为， 求随机变量的分布列和数学期望．
8.（2013山东理19）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结果相互独立.
（1）分别求甲队以，，胜利的概率；
（2）若比赛结果为或，则胜利方得分、对方得分；若比赛结果为，则胜利方得分；对方得分；求乙队得分的分布列及数学期望.
9. （2013辽宁理19）
现有道题，其中道甲类题，道乙类题，张同学从中任取道题解答.
（1）求张同学至少取到道乙类题的概率；
（2）已知所取的道题中有道甲类题，道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立.用表示张同学答对题的个数，求的分布列和数学期望.
10. (2013福建理16）
某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（1） 若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,求的概率；
（2） 若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累 计得分的数学期望较大？
11．（2013四川理18）
某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生．
（1）分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率；
（2）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行次后，统计记录了输出的值为的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
运行
次数
输出的值
为的频数
输出的值
为的频数
输出的值
为的频数
…
…
…
…
甲的频数统计表（部分）
乙的频数统计表（部分）
运行
次数
输出的值
为的频数
输出的值
为的频数
输出的值
为的频数
…
…
…
…
当时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为
的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；
（3）按程序框图正确编写的程序运行次，求输出的值为的次数的分布列及数学期望．
12. (2013陕西理19）
在一场娱乐晚会上，有位民间歌手（至号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选名歌手，其中观众甲是号歌手的歌迷，他必选号，不选号，另在至号中随机选名. 观众乙和丙对位歌手的演唱没有偏爱，因此在至号中随机选名歌手.
（1）求观众甲选中号歌手且观众乙未选中号歌手的概率；
（2）表示号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求的分布列和数学期望.
13.（2013浙江理19）
设袋子中装有个红球，个黄球，个蓝球，且规定：取出一个红球得分，取出一个黄球分， 取出蓝球得分.
（1）当时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）个球，记随机变量为取出此球所得分数之和，.求分布列；
（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）个球，记随机变量为取出此球所得分数.若，求
14.（2014 浙江理 12）随机变量的取值为，若，，则________.
15.（2014 浙江理 9）已知甲盒中仅有个球且为红球，乙盒中有个红球和个蓝球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中.
（）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；
（）放入个球后，从甲盒中取个球是红球的概率记为.
则( ).
A. B.
C. D.
16.（2014 陕西理 9）设样本数据的均值和方差分别为和，若（为非零常数， ），则的均值和方差分别为（ ）.
A. B. C. D.
17.（2014 重庆理 18）（本小题满分13分）
一盒中装有张各写有一个数字的卡片，其中张卡片上的数字是，张卡片上的数字
是，张卡片上的数字是，从盒中任取张卡片.
（1）求所取张卡片上的数字完全相同的概率;
（2）表示所取张卡片上的数字的中位数，求的分布列与数学期望（注：若三个数满足，则称为这三个数的中位数）.
18.（2014 辽宁理 18）（本小题满分12分）
一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
（1）求在未来连续天里，有连续天的日销售量都不低于个且另一天的日销售量低于个的概率；
（2）用表示在未来天里日销售量不低于个的天数，求随机变量的分布列，期望及方差.
19.（2014 陕西理 19）（本小题满分12分）
在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为
元，此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
作物产量（kg）
概率
作物市场价格（元/kg）
概率
（1）设表示在这块地上种植季此作物的利润，求的分布列；
（2）若在这块地上连续季种植此作物，求这季中至少有季的利润不少于元的概率.
20.（2014 四川理 17）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得分，出现两次音乐获得分，出现三次音乐获得分，没有出现音乐则扣除分（即获得分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.
（1）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
21.（2014 天津理16）（本小题满分13分）
某大学志愿者协会有名男同学，名女同学. 在这名同学中，名同学来自数学学院，其余名同学来自物理、化学等其他互不相同的个学院. 现从这名同学中随机选取名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.
（1）求选出的名同学是来自互不相同学院的概率；
（2）设为选出的名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望.
22.（2014 辽宁理 18）（本小题满分12分）
一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
日销售量个
（1）求在未来连续天里，有连续天的日销售量都不低于个且另一天的日销售量低于个的概率；
（2）用表示在未来天里日销售量不低于个的天数，求随机变量的分布列，期望及方差.
日销售量个
23.（2014 江西理 21）（本小题满分14分）
随机将这个连续正整数分成两组，每组个数，组最小数为，最大数为；组最小数为，最大数为，记，.
（1）当时，求的分布列和数学期望；
（2）令表示事件“与的取值恰好相等”，求事件发生的概率；
（3）对（2）中的事件，表示的对立事件，判断和的大小关系，并说明理由.
24.（2014 江苏理 22）（本小题满分10 分）
盒中共有个球，其中有个红球、个黄球和个绿球, 这些球除颜色外完全相同．
（1）从盒中一次随机取出个球, 求取出的个球颜色相同的概率；
（2）从盒中一次随机取出个球, 其中红球、 黄球、 绿球的个数分别记为，，，随机变量表示，，中的最大数． 求的概率分布和数学期望．
25.（2014 湖南理 17）某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和,现安排甲组研发新产品,乙组研发新产品.设甲,乙两组的研发是相互独立的.
（1）求至少有一种新产品研发成功的概率;
（2）若新产品研发成功,预计企业可获得万元；若新产品研发成功,预计企业可获得利润万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.
26.（2014 湖北理 20）（本小题满分12分）
计划在某水库建一座至多安装台发电机的水电站，过去年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在以上.其中，不足的年份有年，不低于且不超过的年份有年，超过的年份有年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
(1) 求未来年中，至多年的年入流量超过的概率；
(2) 水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系；
年入流量
发电机最多可运行台数
若某台发电机运行，则该台年利润为万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
27.（2014 安徽理 17）（本小题满分12分）
甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.
（1）求甲在局以内（含局）赢得比赛的概率；
（2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）.
28.（2014 北京理 16）（本小题13分）
李明在场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：
场次
投篮次数
命中次数
场次
投篮次数
命中次数
主场
客场
主场
客场
主场
客场
主场
客场
主场
客场
（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过的概率.
（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过，一场不超过的概率.
（3）记是表中个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记为李明 在这比赛中的命中次数，比较与的大小.（只需写出结论）
29.（2014 大纲理 20）（本小题满分12分）
设每个工作日甲、乙、丙、丁人需使用某种设备的概率分别为，，，，各人是否需使用设备相互独立.
（1）求同一工作日至少人需使用设备的概率；
（2）表示同一工作日需使用设备的人数，求的数学期望.
30.（2014 福建理 18）（本小题满分13分）
为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有个标有面值的球的袋中一次性随机摸出个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
（1）若袋中所装的个球中有个所标的面值为元，其余个均为元，求：
① 顾客所获的奖励额为元的概率；
② 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
（2）商场对奖励总额的预算是元，并规定袋中的个球只能由标有面值元和元的两种球组成，或标有面值元和元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.
31.（2015福建理科16）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为，求的分布列和数学期望．
31. 解析 （1）设“当天小王的银行卡被锁定”的事件为，则．
（2）依题意得，的所有可能的取值是1,2,3． ，，
，所以的分布列为：
1
2
3
所以．
32.（2015重庆理科17）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个.
（1）求三种粽子各取到1个的概率；
（2）设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列与数学期望.
32. 解析 （1）令表示事件“三个粽子各取到1个”，
则古典概型的概率计算公式有．
（2）的可能取值为0，1，2，且,,
．
综上知的分布列为：
0
1
2
故.
33. (2015安徽理科17)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设
表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和均值（数学期望）.
33. 解析 （1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，
则．
（2）的可能取值为200,300,400．
，，
，
故的分布列为：
200
300
400
．
34.（2015山东理科19）若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取个数，且只能抽取一次. 得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被整除，参加者得分；若能被整除，但不能被整除，得分；若能被整除，得分.
（1）写出所有个位数字是的“三位递增数”；
（2）若甲参加活动，求甲得分的分布列和数学期望.
34. 解析 （1）个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345；
（2）由题意，全部“三位递增数”的个数为，随机变量的取值为：
，，，因此，，
．
所以的分布列为：
则．
35.（2015四川理科17）某市两所中学的学生组队参加辩论赛，中学推荐了名男生、名女生，中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队.
（1）求中学至少有1名学生入选代表队的概率；
（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设标识参赛的男生人数，求的分布列和数学期望.
35. 分析 （1）由题意，参加集训的男女生各有6名.“A中学至少有1名学生入选代表队”的对立事件为“参赛学生全从B中抽取”，“参赛学生全从B中抽取”的概率为.因此，A中学至少有1名学生入选的概率为；（2）由于总共有名男生，所以的最大取值为3，又由于要抽取4人，而女生只有3人，所以至少有1名男生，所以的所有可能取值为1，2，3.由古典概型的概率公式可求出其分布列，进而求得其期望.
解析 （1）由题意，参加集训的男女生各有6名.
参赛学生全从B中抽取（等价于A中没有学生入选代表队）的概率为.
因此，A中学至少1名学生入选的概率为.
（2）根据题意，的可能取值为1，2，3.
；；
所以X的分布列为：
1
2
3
因此，的期望为.
36.（2015天津理科17）
为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
（1）设为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件发生的概率；
（2）设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列和数学期望.
36. 分析 (1)由古典概型计算公式直接计算即可； (2)先写出随机变量的所有可能值，求出其相应的概率，即可求概率分布列及期望.
解析 (1)由已知，有，所以事件发生的概率为.
(2)随机变量的所有可能取值为，，，..
所以随机变量的分布列为：
所以随机变量的数学期望.
37.（2015湖南理科18）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望.
37. 解析（1）记事件{从甲箱中摸出的1个球是红球}，
{从乙箱中摸出的1个球是红球}，＝{顾客抽奖1次获一等奖}，
＝{顾客抽奖1次获二等奖}，＝{顾客抽奖1次能获奖}.
由题意与相互独立，与互斥，与互斥，且 ，
=+，.因为，，
所以，
.
故所求概率为.
(2) 顾客抽奖3次可视为3次独立重复实验，由（Ⅰ）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率
为，所以，于是 ，
即，，
，，
由此求得的分布列为：
X
0
1
2
3
P
的数学期望为.
38.（2016四川理12）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在次试验中成功次数的均值是 .
38. 解析 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在次试验中成功次数的取值为，，其中， ， ，
在次试验中成功的概率为，
所以在次试验中成功次数的概率为，，.
39.（2016天津理16）某小组共人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为，，的人数分别为，，.现从这人中随机选出人作为该组代表参加座谈会.
（1）设为事件“选出的人参加义工活动次数之和为”，求事件发生的概率；
（2）设为“选出的人参加义工活动次数之差的绝对值”，求随机变量
的分布列和数学期望.
39.分析 （1）先确定从这人中随机选出2人的基本事件种数：；再确定选出的2人参加义工活动次数之和为4所包含基本事件数：；最后根据概率公式求概率；（2）先确定随机变量可能取值为0，1，2.再分别求出对应概率，列出概率分布，最后根据公式计算数学期望.
解析 （1）由已知，得.所以事件发生的概率为.
（2）随机变量的所有可能取值为
，，.
所以随机变量的分布列为：
随机变量的数学期望.
40.（2016全国甲理18）某险种的基本保费为（单元：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
保 费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
概 率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率；
（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
40.解析 （1）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件，则．
（2）设续保人保费比基本保费高出为事件，．
（3）设本年度所交保费为随机变量．
平均保费为：，所以平均保费与基本保费比值为．
41.（2016山东理19）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得分；如果只有一个人猜对，则“星队”得分；如果两人都没猜对，则“星队”得分.已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：
（1）“星队”至少猜对个成语的概率；
（2）“星队”两轮得分之和为的分布列和数学期望.
41.解析 （1）记事件:“甲第一轮猜对”，记事件：“乙第一轮猜对”，
记事件：“甲第二轮猜对”，记事件：“乙第二轮猜对”，
记事件：“星队”至少猜对3个成语”.
由题意，
由事件的独立性与互斥性，
，
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.
（2）由题意，随机变量的可能取值为.由事件的独立性与互斥性，
得 ，，
，
， ，
.
可得随机变量X的分布列为
0
1
2
3
4
6
所以数学期望.
42.（2016全国乙理19）某公司计划购买台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这台机器更换的易损零件数的频率代替台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买台机器的同时购买的易损零件数.
（1）求的分布列；
（2）若要求，确定的最小值；
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？
42.解析 （1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为，，，的概率分别为，，，. 从而：；；
；；
；；.
所以的分布列为：
（2）由（1）知，，，故的最小值为.
（3）记表示台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.
当时，得
.
当时，
.
可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选.
43．（2107浙江8）已知随机变量满足，，.若，则（ ）.
A．， B．，
C．， D．，
43. 解析 依题意，列分布列
1
0
1
0
所以，；，．
因为，所以，.故选A．
44.（2017山东理18）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者，，，，，和4名女志愿者，，，，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率.
（2）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求的分布列与数学期望.
44.解析 （1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为，则
（2）由题意知可取的值为，则，
，，
，，
因此的分布列为
0
1
2
3
4
的数学期望
.
45.（2107山东理8）分别从标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ）.
A. B. C. D.
45. 解析 由于是不放回的抽取，两张卡片的数的奇偶性不同共有种基本情况，总的基本事件共有种，则所求事件的概率为 .故选C.
46.（2107天津理16）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为.
（1）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
46.解析 （1）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3.
，
，
，
.
所以随机变量的分布列为
0
1
2
3
随机变量的数学期望.
（2）设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
.
所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
47.（2017全国2卷理科13）一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 ．
47．解析 有放回的抽取，是一个二项分布模型，其中，，
则.
48.（2107全国3卷理科18）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为瓶；如果最高气温位于区间，需求量为瓶；如果最高气温低于20，需求量为瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？
48．解析 （1）易知需求量可取，
；；.
则分布列为：
（2）①当时：，此时，当时取到.
②当时：，
此时，当时取到.
③当时，
此时.
④当时，易知一定小于③的情况.
综上所述当时，取到最大值为.
49.（2017北京理17）为了研究一种新药的疗效，选名患者随机分成两组，每组各名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标和的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.
（1）从服药的名患者中随机选出一人，求此人指标的值小于的概率；
（2）从图中，，，四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标的值大于
的人数，求的分布列和数学期望；
（3）试判断这名患者中服药者指标数据的方差与未服药者指标数据的方差的大小.（只需写出结论）
49.解析 （1）由图知，在服药的名患者中，指标的值小于的有15人，
所以从服药的名患者中随机选出一人，此人指标的值小于的概率为.
（2）由图知，，，，四人中，指标的值大于的有2人：和.
所以的所有可能取值为0,1,2.
，，.
所以的分布列为
0
1
2
故的期望.
（3）在这名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.
50.（2017江苏23）已知一个口袋有个白球，个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为的抽屉内，其中第次取出的球放入编号为的抽屉．
（1）试求编号为的抽屉内放的是黑球的概率；
（2）随机变量表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，是的数学期望，证明：．
50.解析 （1）编号为的抽屉内放的是黑球的概率为：．
（2）随机变量 的概率分布为：
随机变量的期望为：
．
所以
，
即．
题型144 正态分布——暂无
1.（2013湖北理20）
假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过的概率为．
(1) 求的值；
（参考数据：若，有，
，．
(2) 某客运公司用、两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．、两种车辆的载客量分别为人和人，从甲地去乙地的营运成本分别为元/辆和元/辆，公司拟组建一个不超过辆车的客运车队，并要求型车不多于型车辆．若每天要以不小于
的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备型车、型车各多少辆？
2.（2014 新课标1理18）（本小题满分12分）
从某企业的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
质量指标值
（1）求这件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
（i）利用该正态分布，求；
（ii）某用户从该企业购买了件这种产品，记表示这件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求.
附：.
若，则，.
3.（2015湖南理科7）在如图所示的正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）.
A. B.
C. D.
3. 解析 根据正态分布的性质，，
. 故选C.
4.（2015山东理科8）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，
从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为( ).
（附：若随机变量服从正态分布，则，
）
A. B． C． D．
4. 解析 由题意，
．故选B．
5.（2015湖北理科4）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）．
A．
B．
C．对任意正数，
D．对任意正数，
5. 解析 由正态分布的性质知正态分布中,为密度曲线的对称轴， 越小密度曲线越“高廋”，由图知，.
由图（1）得，A错；
由图（2）得，B错；当时，
由图（3）得,
当时，由图（4）得，
从而,故选C.
命题意图 考查正态分布密度曲线的特征.
6.（2017全国1卷理科19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取个零件，并测量其尺寸（单位：）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．
（1）假设生产状态正常，记表示一天内抽取的个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的个零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．
用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到）．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
6. 解析 （1）由题可知尺寸落在之内的概率为，落在之外的概率为．，
，
由题可知，所以.
（2）（i）尺寸落在之外的概率为，由正态分布知尺寸落在
之外为小概率事件，因此上述监控生产过程的方法合理．
（ii），，
，因为，所以需对当天的生产过程检查．
因此剔除，剔除数据之后：．
.
所以.
第3节 统计与统计案例
题型145 抽样方式——暂无
1. (2013湖南理2）某学校有男、女学生各名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）.
A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法
2. (2013陕西理4）某单位有名职工，现采用系统抽样方法，抽取人做问卷调查，将人按随机编号，则抽取的人中，编号落入区间的人数为（ ）.
A. B. C. D.
3.（2013江西理4）总体有编号为，，，，的个个体组成．利用下面的随机数表选取个个体，选取方法是从随机数表第行的第列和第列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第个个体的编号为（ ）.
（1）
（2）
A． B． C． D．
4.（2014 天津理 9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取_______名学生.
5.（2014 江苏理 6）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中株树木的底部周长（单位：），所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的株树木中，有 株树木的底部周长小于．
6.（2014 广东理 11）从中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是的概率为 .
7.（2014 山东理 7）为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有人，第三组中没有疗效的有人，则第三组中有疗效的人数为（ ）.
8.（2014 湖南理 2）对一个容量为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（ ）.
A. B. C. D.
9.（2015湖南理科12）在一次马拉松比赛中，名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间上的运动员人数是 .
13
0
0
3
4
5
6
6
8
8
8
9
14
1
1
1
2
2
2
3
3
4
4
5
5
5
6
6
7
8
15
0
1
2
2
3
3
3
9. 解析 由茎叶图可知，在区间的人数为，再由系统抽样的性质可知人数人.
10.（2017江苏3）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为，，，件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件．
10.解析 按照分层抽样的概念应从丙种型号的产品中抽取(件)．故填．
题型146 样本分析——用样本估计总体
1.（2013辽宁理16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取个班级，把每
个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为，样本方差为，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 .
2.（2013湖北理11）从某小区抽取户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在至度之
间，频率分布直方图如图所示.
（1）直方图中的值为 ．
（2）在这些用户中，用电量落在区间[100,250]内的户数为 ．
0 50 100 150 200 250 300 350
3.（2013辽宁理5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为
若低于分的人数是人，则该班的学生人数是（ ）.
A. B.
C. D.
4. (2013安徽理5）某班级有名学生，其中有名男生和名女生.随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为，五名女生的成绩分别为.下列说法一定正确的是（ ）.
A. 这种抽样方法是一种分层抽样
B. 这种抽样方法是一种系统抽样
C. 这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D. 该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
5.（2013江苏6）抽样统计甲.乙两位设计运动员的此训练成绩（单位：环），结果如下：
运动员
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲
乙
则成绩较为稳定（方程较小）的那位运动员成绩的方差为
6.(2013福建理4）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成组：，， ， ，，
加以统计，得到如图
所示的频率分布直方图. 已知高一年级共有学生名，据此
估计，该模块测试成绩不少于分的学生人数为（ ）
A. B. C. D.
7. (2013全国新课标卷理19）
经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润元，未售出的产品，每 亏损元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了该农产品.以（单位：）表示市场需求量，表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
（1）将表示为的函数；
（2）根据直方图估计利润不少于元的概率；
（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若，则取，且的概率等于需求量落入的的数学期望.
8.（2013广东理17）
某车间共有名工人，随机抽取名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.
(1) 根据茎叶图计算样本均值；
(2) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间名工人中有几名优秀工人；
(3) 从该车间名工人中，任取人，求恰有名优秀工人的概率.
9.（2014 广东理 17）（13分）随机观测生产某种零件的某工厂名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：
根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率
（1）确定样本频率分布表中和的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取人，至少有人的日加工零件数落在区间的概率.
10.（2015江苏2）已知一组数据，，，，，，那么这组数据的平均数为 ．
10. 解析 解法一：对数据进行整理，，，，， ，，观察易知平均数为．
解法二：平均数．
11.（2015重庆理科3）重庆市2013年各月的平均气温（）数据的茎叶图如下：
0
8
9
1
2
5
8
2
0
0
3
3
8
3
1
2
则这组数据的中位数是（ ）.
A. B. C. D.
11. 解析 将茎叶图中的数据从小到大排列，易知第6个和第7个数据均为20，
故这组数据的中位数为.故选B．
12.（2015湖北理科2）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则这批米内夹谷约为（ ）．
A．石 B．石 C．石 D．石
12. 解析 设一石米中有 粒谷，这批米内夹谷旦，则，
得.故选B.
命题意图 考查用样本估计总体.
13.（2015全国Ⅱ理科3）根据下面给出的年至年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是（ ）．
A.逐年比较，年减少二氧化硫排放量的效果最显著.
B.年我国治理二氧化硫排放显现成效.
C.年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势.
D.年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关.
13. 解析
由柱形图可以看出，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份是负相关关系，依题意，需选不正确的.故选D.
命题意图 本题考查统计的基本知识，要注意读懂题意和图表，理解相关性有正相关和负相关.
14.（2015广东理科17）某工厂36名工人年龄数据如下表:
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
1
40
10
36
19
27
28
34
2
44
11
31
20
43
29
39
3
40
12
38
21
41
30
43
4
41
13
39
22
37
31
38
5
33
14
43
23
34
32
42
6
40
15
45
24
42
33
53
7
45
16
39
25
37
34
37
8
42
17
38
26
44
35
49
9
43
18
36
27
42
36
39
（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的均值和方差；
（3）36名工人中年龄在和之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01％）？
14. 解析 （1）依题所抽样本编号是一个首项为2，公差为4的等差数列，故其所有样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34，对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37．
（2）由（1）可得其样本的平均值为，
方差为
．
（3）由（2）知，所以，，
所以年龄在与之间共有23人，所占百分比为．
15.（2015全国Ⅱ理科18）某公司为了解用户对其产品的满意度，从两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
地 区
地 区
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
1. 满意度评分
2. 低于70分
3. 70分到89分
4. 不低于90分
5. 满意度等级
6. 不满意
7. 满意
8. 非常满意
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.
15. 分析（1）根据题意直接列出茎叶图，写出结论即可；（2）根据事件的互斥及独立，用列举法写出符合条件的事件个数，计算概率即可．
解析 (1) 由题意知，两地区用户满意度评分的茎叶图如下.
A地区
B地区
4
5
6
7
8
9
6 8
1 3 6 4
3
2 4 5 5
6 4 2
3 3 4 6 9
6 8 8 6 4 3
3 2 1
9 2 8 6 5 1
1 3
7 5 5 2
通过茎叶图可以看出，地区用户满意度评分的平均值高于地区用户满意度评分的平均值；地区用户满意度评分比较集中，地区用户满意度评分比较分散.
（2）记为事件：“地区用户的满意度等级为满意或非常满意”，
记为事件：“地区用户的满意度等级为非常满意”，
记为事件：“地区用户的满意度等级为不满意”.
记为事件：“地区用户的满意度等级为满意”.
则可得与相互独立，与相互独立，与互斥，
则可得：．所以
．
由题意及所给数据可得，，，发生的频率分别为，，，．
故可得，，，，
故．即的概率为.
16.（2016上海理4）某次体检， 位同学的身高（单位:米）分别为，则这组数据的中位数是 （米）.
16. 解析 将数据从小到大排序，故中位数为．故填．
17.（2016江苏4）已知一组数据，，，，，则该组数据的方差是 ．
17. 解析 由题意得，故．
18.（2016山东理3）某高校调查了名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为 .根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于小时的人数是（ ）.
A． B． C． D．
18. D 解析 由图可知组距为，每周的自习时间少于小时的频率为，
所以每周自习时间不少于小时的人数是人.故选D.
19.（2016四川理16）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照， ，， 分成组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中的值；
（2）设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，请说明理由；
（3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.
19.解析 （1）由频率分布直方图知，月均用水量在中的频率为，同理，在，，， ，，中的频率分别为， ， ， ， ， .
由，解得.
（2）由（1），位居民每人月均用水量不低于吨的频率为.
由以上样本的频率分布，可以估计全市万居民中月均用水量不低于吨的人数为.
（3）因为前组的频率之和为，
而前组的频率之和为，所以
由，解得.
20.（2016北京理16）三个班共有名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；
班
6 6.5 7 7.5 8
班
6 7 8 9 10 11 12
班
3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5
（1）试估计班的学生人数；
（2） 从班和班抽出的学生中，各随机选取一人，班选出的人记为甲，班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（3）再从三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是，，（单位：小时），这个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中数据的平均数记为 ，试判断和的大小，（结论不要求证明）.
20.解析 （1）由题中的表可知，在班，班，班中被调查的人数分别是5，7，8，再由分层抽样的方法可知，班的学生人数估计值是.
（2）设“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”为事件A.
从班抽出的学生中选取一人甲有5种选法，从班抽出的学生中选取一人乙有8种选法.由分步计数原理知，选出甲、乙两人共有种选法.其中甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的选法有
(其中表示该周甲、乙的锻炼时间分别是6小时，3小时，其余类推).
共有种. 所以，即该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率是.
（3）.因为表格中三组数据的平均数分别为，，，所以总的的平均值，. 新加的三个数据，，，平均值为，比小，所以拉低了平均值，即.
的理解分析，并用统计与概率的思想方法进行分析求解.
21.（2017北京理14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和加工的零件数，.
①记为第名工人在这一天中加工的零件总数，则，，中最大的是_________.
②记为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则中最大的是_________.
21. 解析 联结，，比较三者中点终坐标的大小，所以第一问选，分别作，，关于原点的对称点，，，比较直线，，斜率大小，可得最大.故填
22.（2017全国3卷理科3）
某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是（ ）.
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份
D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
22．解析 由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误.故选A.
23.（2017全国2卷理科18）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：）的频率分布直方图如图所示.
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件：旧养殖法的箱产量低于， 新养殖法的箱产量不低于，估计的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关；
箱产量
箱产量
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到）.
附：
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
.
23．解析 （1）记：“旧养殖法的箱产量低于” 为事件，“新养殖法的箱产量不低于”为事件，由题图并以频率作为概率得
，
，.
（2）
箱产量
箱产量
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
由计算可得的观测值为，因为，所以，从而有以上的把握认为箱产量与养殖方法有关．
（3），，，，，所以中位数为.
题型147 线性回归方程
26．（2015福建理科4）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入 （万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出 （万元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程 ，其中
，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ）
A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元
26. 解析 由已知得（万元），
（万元），故，
所以回归直线方程为．当社区一户收入为15万元，家庭年支出为
（万元）．故选B．
27.（2015全国Ⅰ理科19）某公司为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中，，
（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润与，的关系式为
，根据（2）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
27. 解析 （1）由散点图变化情况可知选择较为适宜．
（2）由题意知．又一定过点，
所以，
所以与的回归方程为．
（3）（ⅰ）由（2）知，当时，，
（千元），
所以当年宣传费为时，年销售量为，利润预估为千元．
（ⅱ）由（2）知，
，所以当时，年利润的预估值最大，
即（千元）．
18.（2017山东理5）为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ）.
A. B. C. D.
18. 解析 ，，所以，从而时，.故选C.
题型148 独立性检验——暂无
1.（2014 江西理 6）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这个变量之间的关系，随机抽查名中学生，得到统计数据如表至表，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ）.
表1 表2
成绩
性别
不及格
及格
总计
男
女
总计
视力
性别
好
差
总计
男
女
总计
表3 表4
智商
性别
偏高
正常
总计
男
女
总计
阅读量
性别
丰富
不丰富
总计
男
女
总计
A.成绩 B.视力 C.智商 D.阅读量
2.（2017全国2卷理科18）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：）的频率分布直方图如图所示.
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件：旧养殖法的箱产量低于，
新养殖法的箱产量不低于，估计的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关；
箱产量
箱产量
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到）.
附：
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
.
2．解析 （1）记：“旧养殖法的箱产量低于” 为事件，“新养殖法的箱产量不低于”为事件，由题图并以频率作为概率得
，
，.
（2）
箱产量
箱产量
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
由计算可得的观测值为，因为，所以，从而有以上的把握认为箱产量与养殖方法有关．
（3），，，，，所以中位数为.
题型160 线性回归方程
1.（2014 重庆理 3）已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，
，则由观测的数据得线性回归方程可能为（ ）.
A. B.
C. D.
2.（2014 广东理 6）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图和图所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）.
A. B. C D.
3.（2014 湖北理 4）根据如下样本数据
得到的回归方程为，则（ ）.
A. B. C. D.
4.（2014 新课标2理19）（本小题满分12分）
某地区年至年农村居民家庭纯收入（单位：千元）的数据如下表：
年份
年份代号
人均纯收入
（1）求关于的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析年至年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.
5.（2016全国丙卷18）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明
（2）建立关于的回归方程（系数精确到），预测年我国生活垃圾无害化处理量.
参考数据：，，，.
参考公式：相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
5.解析 （1）由折线图中数据和附注中参考数据得，，
，
，.
因为与的相关系数近似为，说明与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.
（1）变量与的相关系数，
又，，，，，
所以 ，
故可用线性回归模型拟合变量与的关系.
（2），，所以，
，所以线性回归方程为.
当时，.因此，我们可以预测2016年我国生活垃圾无害化处理亿吨.
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