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- 2021-06-11 发布
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2020届辽宁省辽阳市高三上学期期末考试数学(文)试题
一、单选题
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】首先求出集合,再根据交集的定义,即可得解.
【详解】
解:因为,
.
故选:D
【点睛】
本题考查交集的运算,属于基础题.
2.复数上的虚部为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】化简得到计算虚部得到答案.
【详解】
,所以的虚部为.
故选:
【点睛】
本题考查了复数虚部的计算,属于简单题.
3.若双曲线的实轴长为,则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据实轴长得到,再根据渐近线公式得到答案.
【详解】
∵,∴,∴双曲线的渐近线方程为.
故选:
【点睛】
本题考查了双曲线的渐近线方程,属于基础题型.
4.已知,是两个不同的平面,,,是两条不同的直线,且,,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据面面垂直的性质分别判断充分性和必要性得到答案.
【详解】
若,则根据面面垂直的性质定理可得;若,则由,可得.
故选:
【点睛】
本题考查了充要条件,理解把握面面垂直的性质是解题的关键.
5.一组数据的平均数为,方差为,将这组数据的每个数都乘以得到一组新数据,则下列说法正确的是( )
A.这组新数据的平均数为 B.这组新数据的平均数为
C.这组新数据的方差为 D.这组新数据的标准差为
【答案】D
【解析】计算得到新数据的平均数为,方差为,标准差为,结合选项得到答案.
【详解】
根据题意知:这组新数据的平均数为,方差为,标准差为.
故选:
【点睛】
本题考查了数据的平均值,方差,标准差,掌握数据变化前后的关系是解题的关键.
6.设函数若是奇函数,则( )
A. B. C. D.1
【答案】A
【解析】先求出的值,再根据奇函数的性质,可得到的值,最后代入,可得到答案.
【详解】
∵是奇函数
.
故选:A
【点睛】
本题主要考查利用函数的奇偶性求值的问题,属于基础题.
7.第28届金鸡百花电影节将于11月19日至23日在福建省厦门市举办,近日首批影展片单揭晓,《南方车站的聚会》《春江水暖》《第一次的离别》《春潮》《抵达之谜》五部优秀作品将在电影节进行展映.若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位,则《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分别列举出五部作品中选择两部的情况,共有10种,再找到《春潮》与《抵达之谜》至少有一部的情况,共有7部,求出概率即可
【详解】
从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位的所有情况为(《南方车站的聚会》,《春江水暖》),(《南方车站的聚会》,《第一次的离别》),(《南方车站的聚会》,《春潮》),(《南方车站的聚会》,《抵达之谜》),(《春江水暖》,《第一次的离别》),(《春江水暖》,《春潮》,(《春江水暖》,《抵达之谜》),(《第一次的离别》,《春潮》)(《第一次的离别》,《抵达之谜》),(《春潮》,《抵达之谜》),共10种情况,其中《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的有7种,故所求概率为
故选:C
【点睛】
本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率,考查古典概型,属于基础题
8.将曲线向左平移个单位长度,得到的曲线关于直线对称,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据相位变换规则求出变换后的解析式,由曲线关于直线对称,得到关于的关系式,即可求出最小值.
【详解】
解:由题意,将曲线向左平移个单位长度,
可得,
因为关于直线对称,
所以,所以,则的最小值为.
故选:C
【点睛】
本题考查正弦函数的相位变换,以及正弦函数的对称性,属于基础题.
9.已知等比数列的前n项和为,且,,则( )
A.16 B.19 C.20 D.25
【答案】B
【解析】利用,,成等比数列求解
【详解】
因为等比数列的前n项和为,所以,,成等比数列,因为,,所以,,故.
故选:B
【点睛】
本题考查等比数列前n项性质,熟记性质是关键,是基础题
10.在三棱锥中,,,,,则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】通过证明,又,可得的中点为该三棱锥的外接球球心,外接球半径为,再利用球的面积公式求得.
【详解】
解:因为,,,所以.因为,所以,所以,则的中点为该三棱锥的外接球球心,故该三棱锥的外接球半径为,其表面积为.
故选:
【点睛】
本题考查锥体的外接球的表面积计算问题,属于中档题.
11.已知函数,.若,,,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据条件求出的值域,与的值域,由,,,可得两值域的包含关系,即可求得参数的取值范围.
【详解】
解:因为,,所以的值域为.
因为,所以在上的值域为,依题意得,则
解得.
故选:C
【点睛】
本题考查函数方程思想的综合应用,属于中档题.
12.已知椭圆的左、右焦点分别为,,点为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点,为的内心,且,若椭圆的离心率为,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设内切圆的半径为,根据题意化简得到,代入数据计算得到答案.
【详解】
设内切圆的半径为
则,,·
∵,∴
整理得.∵为椭圆上的点,∴,解得.
故选:
【点睛】
本题考查了椭圆离心率相关问题,根据面积关系化简得到是解得的关键.
二、填空题
13.设,满足则则的最小值是______.
【答案】-4
【解析】
由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.
【详解】
解:作出可行域如图所示,
当直线经过点时,.
故答案为:
【点睛】
本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,属于中档题.
14.若函数在上为减函数,则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】将问题转化为导函数在上恒小于零,从而根据恒成立思想求解出的取值范围.
【详解】
由题意可知,即对恒成立,
所以,所以即.
故答案为:.
【点睛】
本题考查根据函数的单调性求解参数范围,难度一般.已知函数为指定区间的单调增(或减)函数,则在指定区间上恒成立.
15.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高,根据记载,商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题,我国的《九章算术》也有记载.所以,商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有满足“勾3股4弦5”,其中,为弦上一点(不含端点),且满足勾股定理,则______.
【答案】
【解析】根据条件求出,结合向量投影的定义即可求解.
【详解】
解:由等面积法可得,依题意可得,,所以.
故答案为:
【点睛】
本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量投影定义,属于基础题.
16.在数列中,,且.
(1)的通项公式为__________;
(2)在、、、、这项中,被除余的项数为__________.
【答案】
【解析】(1)根据题意得知数列为等差数列,确定该数列的首项和公差,可求出数列的通项公式,即可求出;
(2)设,可得出,由为奇数,可得出为的倍数或为的奇数倍且为偶数,求出两种情况下值的个数,相加即可得出答案.
【详解】
(1)且,
所以,数列是以为首项,以为公差的等差数列,
,;
(2)被整除且余数为的整数可表示为,
令,可得,
,且,则为奇数,
则为的倍数,或者为的奇数倍且为偶数.
当为的倍数时,的取值有:、、、、,共个;
当为的奇数倍且为偶数时,的取值有:、、、、,共个.
综上所述,在、、、、这项中,被除余的项数为.
故答案为:;.
【点睛】
本题考查数列通项的求解,同时也考查了数列中项的整除问题,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.
三、解答题
17.某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况,对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计,得到如下人数分布表.
购买金额(元)
人数
10
15
20
15
20
10
(1)求购买金额不少于45元的频率;
(2)根据以上数据完成列联表,并判断是否有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.
不少于60元
少于60元
合计
男
40
女
18
合计
附:参考公式和数据:,.
附表:
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
【答案】(1)(或0.5);(2)列联表见解析,有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.
【解析】(1)根据统计表及古典概型的概率计算公式即可计算出不少于45元的频率;
(2)完善列联表,计算出跟参考数据比较得出结论.
【详解】
解:(1)购买金额不少于45元的频率为.
(2)列联表如下:
不少于60元
少于60元
合计
男
12
40
52
女
18
20
38
合计
30
60
90
,
因此有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.
【点睛】
本题考查独立性检验,以及古典概型的概率计算问题,属于基础题.
18.在中,角,、的对边分别为,,,且.
(1)求;
(2)若,且,求的面积.
【答案】(1) . (2)
【解析】(1)根据正弦定理得到,计算得到答案.
(2)化简得到,即,再计算得到,代入面积公式得到答案.
【详解】
(1)∵,∴.∵,∴.
(2)∵
∴,
∴,即,即.
∵,∴.∵,∴.
∴.
【点睛】
本题考查了正弦定理,面积公式,意在考查学生的计算能力.
19.如图,在正方体中,,分别是棱,的中点,,分别为棱,上一点,,且平面.
(1)证明:为的中点.
(2)若四棱锥的体积为,求正方体的表面积.
【答案】(1)见解析;(2)24
【解析】(1)取的中点,连接,可证,再由线面平行得到,又,所以四边形为平行四边形,即可得证.
(2)设棱长为,易知到平面的距离为,由求出的值,即可求出表面积.
【详解】
解:(1)证明:取的中点,连接
因为,所以为的中点,又为的中点,所以.
因为平面,平面,平面平面.
所以,即.
又,所以四边形为平行四边形,则,所以为的中点.
(2)设,则,,的面积分别为,,,
易知到平面的距离为,所以,
解得,故所求正方体的表面积为.
【点睛】
本题考查锥体的体积计算以及线面平行的性质,属于基础题.
20.已知直线与抛物线:交于,两点,为弦的中点,过作的垂线交轴于点.
(1)求点的坐标;
(2)当弦最长时,求直线的方程.
【答案】(1) . (2) 或.
【解析】(1)设,,代入抛物线相减得到
,再根据计算得到答案.
(2)直线的方程为,联立方程,根据韦达定理得到,
,代入计算得到得到答案.
【详解】
(1)设,,,
则两式相减得.
因为,所以直线的斜率一定存在,设直线的斜率为,
所以.
因为,所以,
解得,所以点的坐标为.
(2)由(1)知,直线的斜率一定存在,且不为0,设直线的斜率为,
则,即,所以直线的方程为.
联立得,
则,.
由,可得,
所以.
设,令,
可知,此时,即,
所以当弦最长时,直线的方程为或.
【点睛】
本题考查了直线和抛物线的位置关系,弦长,意在考查学生的计算能力和转化能力.
21.已知函数,.
(1)讨论的单调性;
(2)用表示,中的最大值,已知,求函数的零点的个数.
【答案】(1)在上单调递减,在上单调递增;(2)零点个数为1
【解析】(1)求出定义域、导函数,对分类讨论,可得单调区间;
(2)由当时,,可知函数在上不存在零点,当,分别计算函数值,可知是的零点,由(1)知在上无零点.
【详解】
解:(1)函数的定义域为,且.
当时,对恒成立,所以在上单调递增.
当时,令,得,
当时,;当时,.
所以在上单调递减,在上单调递增.
(2)当时,,从而,所以在上无零点.
当时,,,所以是的零点.
当时,,所以在上的零点个数只需要考虑在上的零点个数.
由(1)知,在上单调递减,
所以,从而在上无零点
综上,的零点个数为1.
【点睛】
本题考查含参函数的单调性,以及函数的零点问题,属于中档题.
22.在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线的参数方程为(,,为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,且曲线的极坐标方程为.
(1)求,,的值;
(2)已知点的直角坐标为,与曲线交于,两点,求.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)根据极坐标方程得到,根据参数方程得到答案.
(2)将参数方程代入圆方程得到,根据韦达定理得到,,计算得到答案.
【详解】
(1)由,得,则,即.
因为,,所以.
(2)将代入,得.
设,两点对应的参数分别为,,则,.
所以.
【点睛】
本题考查了极坐标方程和参数方程,利用直线的参数方程可以简化计算,是解题的关键.
23.已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若对任意,不等式恒成立,求的取值范围.
【答案】(1);(2)或.
【解析】(1)分别计算,,三种情况,综合得到答案.
(2)化简得到,利用绝对值三角不等式得到
,解不等式计算得到答案.
【详解】
(1)当时,,解得;
当时,,解得,则;
当时,,解得,则.
综上所述:不等式的解集为.
(2)
,当时等号成立.
若对任意,不等式恒成立,即,
解得或.
【点睛】
本题考查了解绝对值不等式,利用绝对值三角不等式解决恒成立问题,意在考查学生的综合应用能力.