• 1.52 MB
  • 2021-06-11 发布

2020届辽宁省辽阳市高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

  • 16页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
‎2020届辽宁省辽阳市高三上学期期末考试数学(文)试题 一、单选题 ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先求出集合,再根据交集的定义,即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解:因为,‎ ‎.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查交集的运算,属于基础题.‎ ‎2.复数上的虚部为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】化简得到计算虚部得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎,所以的虚部为.‎ 故选:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数虚部的计算,属于简单题.‎ ‎3.若双曲线的实轴长为,则该双曲线的渐近线方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据实轴长得到,再根据渐近线公式得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎∵,∴,∴双曲线的渐近线方程为.‎ 故选:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的渐近线方程,属于基础题型.‎ ‎4.已知,是两个不同的平面,,,是两条不同的直线,且,,,则“”是“”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】根据面面垂直的性质分别判断充分性和必要性得到答案.‎ ‎【详解】‎ 若,则根据面面垂直的性质定理可得;若,则由,可得.‎ 故选:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了充要条件,理解把握面面垂直的性质是解题的关键.‎ ‎5.一组数据的平均数为,方差为,将这组数据的每个数都乘以得到一组新数据,则下列说法正确的是( )‎ A.这组新数据的平均数为 B.这组新数据的平均数为 C.这组新数据的方差为 D.这组新数据的标准差为 ‎【答案】D ‎【解析】计算得到新数据的平均数为,方差为,标准差为,结合选项得到答案.‎ ‎【详解】‎ 根据题意知:这组新数据的平均数为,方差为,标准差为.‎ 故选:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数据的平均值,方差,标准差,掌握数据变化前后的关系是解题的关键.‎ ‎6.设函数若是奇函数,则( )‎ A. B. C. D.1‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求出的值,再根据奇函数的性质,可得到的值,最后代入,可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎∵是奇函数 ‎.‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用函数的奇偶性求值的问题,属于基础题.‎ ‎7.第28届金鸡百花电影节将于11月19日至23日在福建省厦门市举办,近日首批影展片单揭晓,《南方车站的聚会》《春江水暖》《第一次的离别》《春潮》《抵达之谜》五部优秀作品将在电影节进行展映.若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位,则《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】分别列举出五部作品中选择两部的情况,共有10种,再找到《春潮》与《抵达之谜》至少有一部的情况,共有7部,求出概率即可 ‎【详解】‎ 从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位的所有情况为(《南方车站的聚会》,《春江水暖》),(《南方车站的聚会》,《第一次的离别》),(《南方车站的聚会》,《春潮》),(《南方车站的聚会》,《抵达之谜》),(《春江水暖》,《第一次的离别》),(《春江水暖》,《春潮》,(《春江水暖》,《抵达之谜》),(《第一次的离别》,《春潮》)(《第一次的离别》,《抵达之谜》),(《春潮》,《抵达之谜》),共10种情况,其中《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的有7种,故所求概率为 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率,考查古典概型,属于基础题 ‎8.将曲线向左平移个单位长度,得到的曲线关于直线对称,则的最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据相位变换规则求出变换后的解析式,由曲线关于直线对称,得到关于的关系式,即可求出最小值.‎ ‎【详解】‎ 解:由题意,将曲线向左平移个单位长度,‎ 可得,‎ 因为关于直线对称,‎ 所以,所以,则的最小值为.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查正弦函数的相位变换,以及正弦函数的对称性,属于基础题.‎ ‎9.已知等比数列的前n项和为,且,,则( )‎ A.16 B.19 C.20 D.25‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用,,成等比数列求解 ‎【详解】‎ 因为等比数列的前n项和为,所以,,成等比数列,因为,,所以,,故.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列前n项性质,熟记性质是关键,是基础题 ‎10.在三棱锥中,,,,,则该三棱锥的外接球的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】通过证明,又,可得的中点为该三棱锥的外接球球心,外接球半径为,再利用球的面积公式求得.‎ ‎【详解】‎ 解:因为,,,所以.因为,所以,所以,则的中点为该三棱锥的外接球球心,故该三棱锥的外接球半径为,其表面积为.‎ 故选:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查锥体的外接球的表面积计算问题,属于中档题.‎ ‎11.已知函数,.若,,,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据条件求出的值域,与的值域,由,,,可得两值域的包含关系,即可求得参数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解:因为,,所以的值域为.‎ 因为,所以在上的值域为,依题意得,则 解得.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查函数方程思想的综合应用,属于中档题.‎ ‎12.已知椭圆的左、右焦点分别为,,点为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点,为的内心,且,若椭圆的离心率为,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】设内切圆的半径为,根据题意化简得到,代入数据计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设内切圆的半径为 则,,·‎ ‎∵,∴‎ 整理得.∵为椭圆上的点,∴,解得.‎ 故选:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆离心率相关问题,根据面积关系化简得到是解得的关键.‎ 二、填空题 ‎13.设,满足则则的最小值是______.‎ ‎【答案】-4‎ ‎【解析】‎ 由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.‎ ‎【详解】‎ 解:作出可行域如图所示,‎ 当直线经过点时,.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,属于中档题.‎ ‎14.若函数在上为减函数,则的取值范围为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将问题转化为导函数在上恒小于零,从而根据恒成立思想求解出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知,即对恒成立,‎ 所以,所以即.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数的单调性求解参数范围,难度一般.已知函数为指定区间的单调增(或减)函数,则在指定区间上恒成立.‎ ‎15.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高,根据记载,商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题,我国的《九章算术》也有记载.所以,商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有满足“勾3股4弦5”,其中,为弦上一点(不含端点),且满足勾股定理,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据条件求出,结合向量投影的定义即可求解.‎ ‎【详解】‎ 解:由等面积法可得,依题意可得,,所以.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量投影定义,属于基础题.‎ ‎16.在数列中,,且.‎ ‎(1)的通项公式为__________;‎ ‎(2)在、、、、这项中,被除余的项数为__________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】(1)根据题意得知数列为等差数列,确定该数列的首项和公差,可求出数列的通项公式,即可求出;‎ ‎(2)设,可得出,由为奇数,可得出为的倍数或为的奇数倍且为偶数,求出两种情况下值的个数,相加即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)且,‎ 所以,数列是以为首项,以为公差的等差数列,‎ ‎,;‎ ‎(2)被整除且余数为的整数可表示为,‎ 令,可得,‎ ‎,且,则为奇数,‎ 则为的倍数,或者为的奇数倍且为偶数.‎ 当为的倍数时,的取值有:、、、、,共个;‎ 当为的奇数倍且为偶数时,的取值有:、、、、,共个.‎ 综上所述,在、、、、这项中,被除余的项数为.‎ 故答案为:;.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列通项的求解,同时也考查了数列中项的整除问题,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.‎ 三、解答题 ‎17.某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况,对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计,得到如下人数分布表.‎ 购买金额(元)‎ 人数 ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎(1)求购买金额不少于45元的频率;‎ ‎(2)根据以上数据完成列联表,并判断是否有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.‎ 不少于60元 少于60元 合计 男 ‎40‎ 女 ‎18‎ 合计 附:参考公式和数据:,.‎ 附表:‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎【答案】(1)(或0.5);(2)列联表见解析,有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.‎ ‎【解析】(1)根据统计表及古典概型的概率计算公式即可计算出不少于45元的频率;‎ ‎(2)完善列联表,计算出跟参考数据比较得出结论.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)购买金额不少于45元的频率为.‎ ‎(2)列联表如下:‎ 不少于60元 少于60元 合计 男 ‎12‎ ‎40‎ ‎52‎ 女 ‎18‎ ‎20‎ ‎38‎ 合计 ‎30‎ ‎60‎ ‎90‎ ‎,‎ 因此有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查独立性检验,以及古典概型的概率计算问题,属于基础题.‎ ‎18.在中,角,、的对边分别为,,,且.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若,且,求的面积.‎ ‎【答案】(1) . (2) ‎ ‎【解析】(1)根据正弦定理得到,计算得到答案.‎ ‎(2)化简得到,即,再计算得到,代入面积公式得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)∵,∴.∵,∴.‎ ‎(2)∵‎ ‎∴,‎ ‎∴,即,即.‎ ‎∵,∴.∵,∴.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理,面积公式,意在考查学生的计算能力.‎ ‎19.如图,在正方体中,,分别是棱,的中点,,分别为棱,上一点,,且平面.‎ ‎(1)证明:为的中点.‎ ‎(2)若四棱锥的体积为,求正方体的表面积.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)24‎ ‎【解析】(1)取的中点,连接,可证,再由线面平行得到,又,所以四边形为平行四边形,即可得证.‎ ‎(2)设棱长为,易知到平面的距离为,由求出的值,即可求出表面积.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)证明:取的中点,连接 因为,所以为的中点,又为的中点,所以.‎ 因为平面,平面,平面平面.‎ 所以,即.‎ 又,所以四边形为平行四边形,则,所以为的中点.‎ ‎(2)设,则,,的面积分别为,,,‎ 易知到平面的距离为,所以,‎ 解得,故所求正方体的表面积为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查锥体的体积计算以及线面平行的性质,属于基础题.‎ ‎20.已知直线与抛物线:交于,两点,为弦的中点,过作的垂线交轴于点.‎ ‎(1)求点的坐标;‎ ‎(2)当弦最长时,求直线的方程.‎ ‎【答案】(1) . (2) 或.‎ ‎【解析】(1)设,,代入抛物线相减得到 ‎,再根据计算得到答案.‎ ‎(2)直线的方程为,联立方程,根据韦达定理得到,‎ ‎,代入计算得到得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设,,,‎ 则两式相减得.‎ 因为,所以直线的斜率一定存在,设直线的斜率为,‎ 所以.‎ 因为,所以,‎ 解得,所以点的坐标为.‎ ‎(2)由(1)知,直线的斜率一定存在,且不为0,设直线的斜率为,‎ 则,即,所以直线的方程为.‎ 联立得,‎ 则,.‎ 由,可得,‎ 所以.‎ 设,令,‎ 可知,此时,即,‎ 所以当弦最长时,直线的方程为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线和抛物线的位置关系,弦长,意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎21.已知函数,.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)用表示,中的最大值,已知,求函数的零点的个数.‎ ‎【答案】(1)在上单调递减,在上单调递增;(2)零点个数为1‎ ‎【解析】(1)求出定义域、导函数,对分类讨论,可得单调区间;‎ ‎(2)由当时,,可知函数在上不存在零点,当,分别计算函数值,可知是的零点,由(1)知在上无零点.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)函数的定义域为,且.‎ 当时,对恒成立,所以在上单调递增.‎ 当时,令,得,‎ 当时,;当时,.‎ 所以在上单调递减,在上单调递增.‎ ‎(2)当时,,从而,所以在上无零点.‎ 当时,,,所以是的零点.‎ 当时,,所以在上的零点个数只需要考虑在上的零点个数.‎ 由(1)知,在上单调递减,‎ 所以,从而在上无零点 综上,的零点个数为1.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查含参函数的单调性,以及函数的零点问题,属于中档题.‎ ‎22.在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线的参数方程为(,,为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,且曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求,,的值;‎ ‎(2)已知点的直角坐标为,与曲线交于,两点,求.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)根据极坐标方程得到,根据参数方程得到答案.‎ ‎(2)将参数方程代入圆方程得到,根据韦达定理得到,,计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由,得,则,即.‎ 因为,,所以.‎ ‎(2)将代入,得.‎ 设,两点对应的参数分别为,,则,.‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了极坐标方程和参数方程,利用直线的参数方程可以简化计算,是解题的关键.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若对任意,不等式恒成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)或.‎ ‎【解析】(1)分别计算,,三种情况,综合得到答案.‎ ‎(2)化简得到,利用绝对值三角不等式得到 ‎,解不等式计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)当时,,解得;‎ 当时,,解得,则;‎ 当时,,解得,则.‎ 综上所述:不等式的解集为.‎ ‎(2)‎ ‎,当时等号成立.‎ 若对任意,不等式恒成立,即,‎ 解得或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了解绝对值不等式,利用绝对值三角不等式解决恒成立问题,意在考查学生的综合应用能力.‎