2015莆田3月份质检理数试卷(2) 16页

‎2015年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷 数学（理科）‎ 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎ 2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．‎ ‎ 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用O．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．‎ ‎4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 参考公式：‎ 样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式 s= 　　　V=Sh 其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 V=Sh ，‎ 其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径 ‎ 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填涂在答题卡相应位置．‎ ‎1．下列函数中，为奇函数的是（ ）‎ A．y=x+1 B．y=x‎2 ‎‎ C．y=2x D．y=x|x|‎ ‎2．已知，复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点为M，则“”是“点M在第四象限”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．若a＞0，b＞0，a+b=1，则的最小值是( )‎ A．2 B．‎3 ‎‎ C．4 D．5 ‎ ‎4．函数图象的一条对称轴方程为（ ）‎ A．x＝－ B． C．x＝ D．x＝ ‎5．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是（ ）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎6．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的的值等于126，则判断框中的①可以是（　　）‎ A．i>4？ B．i>5？ C．i>6？ D．i>7？‎ ‎7．若直线y=kx－k交抛物线于A，B两点，且线段AB中点到轴的距离为3，则=（ ）‎ A．12 B．‎10 C．8 D．6‎ ‎8．学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年段的4个班级，其中甲班级至少分配2个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，则不同的分配方案共有（ ）‎ A．20种 B．24种 C．26种 D．30种 ‎9．常用以下方法求函数的导数：先两边同取以e为底的对数（e≈2．71828…，为自然对数的底数）得，再两边同时求导，得，即．运用此方法可以求函数(x>0)的导函数．据此可以判断下列各函数值中最小的是 ( ) ‎ A． B． C． D． ‎ ‎10．如图，所在平面上的点均满足与的面积比为3；1，（其中，是首项为1的正项数列），则等于（ ）‎ A．65 B．‎63 ‎‎ C．33 D．31‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）‎ 二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置．‎ ‎11．集合，，则________．‎ ‎12．某工厂的某种型号的机器的使用年限和所支出的维修费用(万元)的统计资料如下表：‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ 根据上表数据可得y与x之间的线性回归方程，据此模型估计，该机器使用年限为14年时的维修费用约为 万元．‎ ‎13．向区域内随机投点，则该点与坐标原点连线的斜率大于1的概率为 ．‎ ‎14．已知圆和双曲线．若对双曲线上任意一点A（点A在圆外），均存在与圆外切且顶点都在双曲线上的菱形ABCD，则___________．‎ ‎15．定义：表示不超过的最大整数．例如，．给出下列结论：‎ ‎①函数是奇函数；‎ ‎②函数是周期为的周期函数；‎ ‎③函数不存在零点；‎ ‎④函数的值域是．‎ 其中正确的是_____________．（填上所有正确命题的编号）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 把答案填在答题卡相应位置．‎ ‎16．本小题满分13分 已知数列{an}的首项为1，前n项和Sn满足．‎ ‎（Ⅰ）求Sn与数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设（n∈N*），求使不等式成立的最小正整数n．‎ ‎17．本小题满分13分 已知函数经化简后利用“五点法”画其在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：‎ ‎①‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎（Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求函数f(x)在区间上的值域；‎ ‎（Ⅱ）的内角所对的边分别为，已知，，求的面积．‎ ‎18．本小题满分13分 甲、乙两位选手为为备战我市即将举办的“推广妈祖文化·印象莆田”知识竞赛活动，进行针对性训练，近8次的训练成绩如下（单位：分）：‎ 甲8381937978848894‎ 乙8789897774788898‎ ‎（I）依据上述数据，从平均水平和发挥的稳定程度考虑，你认为应派哪位选手参加？并说明理由；‎ ‎（II）本次竞赛设置A、B两问题，规定：问题A的得分不低于80分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值100元的奖品，问题B的得分不低于90分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值300元的奖品．答题顺序可自由选择，但答题失败则终止答题．选手答题问题A，B成功与否互不影响，且以训练成绩作为样本，将样本频率视为概率，请问在（I）中被选中的选手应选择何种答题顺序，使获得的奖品价值更高？并说明理由．‎ ‎19．本小题满分13分 如图，边长为2的正方形ABCD绕AB边所在直线旋转一定的角度（小于）到ABEF的位置．‎ ‎(Ⅰ)求证:CE//平面ADF；‎ ‎(Ⅱ)若K为线段BE上异于B,E的点，CE=．设直线AK与平面BDF所成角为,当时,求BK的取值范围．‎ ‎20．本小题满分13分 如图，椭圆C：的离心率e =，且椭圆C的首项为的短轴长为2．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P，M，N椭圆C上的三个动点．‎ ‎（i）若直线MN过点D（0，），且P点是椭圆C的上顶点，求△PMN面积的最大值；‎ ‎（ii）试探究：是否存在△PMN是以O为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．本小题满分14分 已知函数f(x)=lnx+ax2+b（a，b∈R）．‎ ‎（Ⅰ）若曲线y=f(x)在x=1处的切线为y=－1，求函数f(x)的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求证：对任意给定的正数m，总存在实数a，使函数f(x)在区间(m，+∞)上不单调；‎ ‎（Ⅲ）若点A（x1，y1），B（x2，y2）（x2>x1>0）是曲线f(x)上的两点，试探究：当a<0时，是否存在实数x0∈（x1，x2），使直线AB的斜率等于？若存在，给予证明；若不存在，说明理由．‎ ‎2015年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷 理科数学试题参考解答及评分标准 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）‎ ‎1．D2．A3．B4．A5．B6．C7．C8．A9．B10．D 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）‎ ‎11．12．7.513．14．15．②③④‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分13分．‎ 解：（Ⅰ）因为， ‎ 所以是首项为1，公差为1的等差数列，………1分 则=1+(n－1)1=n，……………2分 从而Sn=n2．…………………3分 当n=1时，a1=S1=1，‎ 当n>1时，an=Sn－Sn－1=n2－(n－1)2 =2n－1．‎ 因为也符合上式，‎ 所以an=2n－1．…………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，……………8分 所以 ‎ ，……………10分 由，解得n>12．………………12分 所以使不等式成立的最小正整数为13．……………13分 ‎17．本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分13分．‎ 解：（Ⅰ）①处应填入．………1 分 ‎………3分 ‎．………4分 因为T=，所以，，即．………5分 因为，所以，所以，‎ 从而得到的值域为．………7 分 ‎（Ⅱ）因为，又所以，‎ 得，．………9分 由余弦定理得，‎ 即，所以．………11分 所以的面积． ………13 分 ‎18．本小题主要考查平均数、方差、古典概型、相互独立事件的概率、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想．满分13分．‎ 解：（I）记甲、乙两位选手近8次的训练的平均成绩分别为、，方差分别为、．‎ ‎，‎ ‎．……………… 2分 ‎，‎ ‎． ………………4分 因为，，所以甲、乙两位选手的平均水平相当，但甲的发挥更稳定，故应派甲参加．‎ ‎ ………………5分 ‎（II）记事件C表示为“甲回答问题A成功”，事件D表示为“甲回答问题B成功”，则P(C)=‎ ‎, P(D)=,且事件C与事件D相互独立． ………………6分 记甲按AB顺序获得奖品价值为，则的可能取值为0,100,400．‎ P(=0)=P()=,P(=100)=P()=,P(=400)=P()=．‎ 即的分布列为：‎ ‎0‎ ‎100‎ ‎400‎ P 所以甲按AB顺序获得奖品价值的数学期望．………………9分 记甲按BA顺序获得奖品价值为，则的可能取值为0,300,400．‎ P(=0)=P()=,P(=300)=P()=,P(=400)=P()=，‎ 即的分布列为：‎ ‎0‎ ‎300‎ ‎400‎ P 所以甲按BA顺序获得奖品价值的数学期望．………………12分 因为，所以甲应选择AB的答题顺序，获得的奖品价值更高．………………13分 ‎19．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分13分．‎ ‎(Ⅰ)证明：正方形ABCD中，CDBA，正方形ABEF中，EFBA．…………2分 EFCD，四边形EFDC为平行四边形，CE//DF．…………3分 又DF平面ADF，CE平面ADF，CE//平面ADF． …………5分 ‎ (Ⅱ)解：BE=BC=2，CE=，，‎ ‎∆BCE为直角三角形，BEBC，……………6分 又BEBA，BCBA=B，BC、BA平面ABCD，BE平面ABCD． ……………7分 以B为原点，、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），F（0，2，2），A（0，2，0），，．‎ 设K（0，0，m），平面BDF的一个法向量为．‎ 由，，得可取，………… …9分 又，于是sin=，‎ ‎，，即…………11分 结合，解得，即BK的取值范围为（0，]．………… …13分 ‎20．本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想．满分14分．‎ 解：（Ⅰ）由题意得解得a=2，b=1，…………………………………3分 所以椭圆方程为．………………………………………………………………3分 ‎（Ⅱ）（i）解法一：由已知，直线MN的斜率存在，‎ 设直线MN方程为y=kx－，M（x1，y1），N（x2，y2）．‎ 由得(1+4k2)x2－4kx－3=0，所以，又．……5分 所以S△PMN=|PD|·|x1－x2|=……………………………………………6分 ‎．…………………………………7分 令t=，则t≥，‎ 所以S△PMN=，………………………………………………8分 令h(t)=，t∈[，+∞),则>0，所以h(t)在[)单调递增，‎ 则t=，即k=0时，h(t)的最小值，为h(）=，‎ 所以△PMN面积的最大值为．……………………9分 解法二：由已知，直线MN的斜率存在，设直线MN方程为y=kx－，M（x1，y1），N（x2，y2）．‎ 由得(1+4k2)x2－4kx－3=0，所以．…………………5分 所以|MN|．‎ 点P（0，1）到直线MN的距离d=．………6分 所以S△PMN=|MN|·d=‎ ‎．…………………………………7分 以下同解法一．‎ ‎（ii）假设存在△PMN是以O为中心的等边三角形．‎ ‎（1）当P在y轴上时，P的坐标为（0，1），则M，N关于y轴对称，MN的中点Q在y轴上．‎ 又O为△PMN的中心，所以，可知．‎ 从而|MN|=，|PM|=，|MN|≠|PM|，与△PMN为等边三角形矛盾．‎ ‎（2）当P在x轴上时，同理可知，|MN|≠|PM|，与△PMN为等边三角形矛盾．……………10分 ‎（3）当P不在坐标轴时，设P（x0，y0），MN的中点为Q，则kOP=，‎ 又O为的中心，则，可知．‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，‎ 又x12+4y12=4，x22+4y22=4，两式相减得kMN=，……11分 从而kMN=．……12分 所以kOP·kMN=·（）=≠ －1，‎ 所以OP与MN不垂直，与等边△PMN矛盾．……13分 综上所述，不存在△PMN是以O为中心的等边三角形．………………………14分 ‎21．本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分．‎ 解：（Ⅰ）由已知得解得…………… 2分 此时，（x>0）．‎ 令，得，f(x)，的变化情况如下表：‎ x ‎(0，1)‎ ‎1‎ ‎（1，+∞）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎ 单调递增 极大值 单调递减 所以函数f(x)的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．……………… 4分 ‎（Ⅱ）（x>0）．‎ ‎（1）当a≥0时，恒成立，此时，函数f(x)在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意，舍去．………5分 ‎（2）当a<0时，令，得，f(x)，的变化情况如下表：‎ x ‎(0，)‎ ‎（，+∞）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎ 单调递增 极大值 单调递减 所以函数f(x)的增区间为（0，），减区间为（，+∞）．……………… 7分 要使函数f(x)在区间(m，+∞)上不单调，须且只须>m，即． ‎ 所以对任意给定的正数m，只须取满足的实数a，就能使得函数f(x)在区间(m，+∞)‎ 上不单调．…… 8分 ‎（Ⅲ）存在实数x0∈（x1，x2），使直线AB的斜率等于．………… 9分 证明如下：令g(x)=lnx－x+1（x>0），则，‎ 易得g(x)在x=1处取到最大值，且最大值g(1)=0，即g(x)≤0，从而得lnx≤x－1． （*）……… 10分 由，得．……………… 11分 令，，则p(x)，q(x)在区间[x1，x2]上单调递增．‎ 且，，‎ 结合（*）式可得，，‎ ‎．‎ 令h(x)=p(x)+q(x)，由以上证明可得，h(x)在区间[x1，x2]上单调递增，且h(x1)<0，h(x2)>0，…… 13分 所以函数h(x)在区间（x1，x2）上存在唯一的零点x0，‎ 即成立，从而命题成立．…………… 14分 ‎（注：在（Ⅰ）中，未计算b的值不扣分．）‎