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  • 2021-06-11 发布

安徽省六安市第一中学2019届高三下学期高考模拟考试(三)数学(文)

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六安市第一中学2019届高三下学期高考模拟考试(三)‎ 数学(文)试题 一、单选题 ‎1.设复数(为虚数单位),则的虚部为( )‎ A. B. C.-1 D.1‎ ‎【答案】D ‎【解析】,虚部为1,选D.‎ ‎2.函数的大致图象为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用函数的奇偶性排除选项C和D,再利用函数的特殊点排除选项B即可.‎ ‎【详解】‎ ‎,解得 函数定义域为关于原点对称.‎ 函数在定义域上为偶函数,排除C和D.‎ 当时,,排除B.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图象的判断,常利用函数的奇偶性、单调性以及特殊值进行判断.‎ ‎3.已知为不重合的两个平面,直线那么“”是“”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】解:为不重合的两个平面,直线,那么“”是“”的充分不必要条件,符合线面垂直的判定定理。但是反之,不一定成立。‎ ‎4.圆心在曲线上,与直线x+y+1=0相切,且面积最小的圆的方程为(  )‎ A.x2+(y-1)2=2 B.x2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+y2=2 D.(x+1)2+y2=2‎ ‎【答案】A ‎【解析】设与直线x+y+1=0平行与曲线相切的直线方程为x+y+m=0,切点为P(x0,y0),x0>﹣1,解得x0,可得切点P即圆心,利用点到直线的距离公式可得半径r,求解即可.‎ ‎【详解】‎ 设与直线x+y+1=0平行与曲线相切的直线方程为x+y+m=0,‎ 切点为P(x0,y0).x0>0.‎ y′=﹣,∴﹣=﹣1,x0>﹣1,解得x0=0.可得切点P(0,1),‎ 两条平行线之间的距离为面积最小的圆的半径;∴半径r== .‎ ‎∴圆心在曲线上,且与直线x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为:x2+(y﹣1)2=2.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义、切线方程的求法,考查圆的方程、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎5.执行下面的程序框图,如果输入的N=4,那么输出的S=( ).‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析:由程序框图,每次循环中,参数的值依次为,,,,这里结束循环,输出结果为B.‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎6.已知实数x,y满足不等式组,则的取值范围是(  )‎ A.(-1,-2] B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域,利用斜率的几何意义即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ 设k=,则k的几何意义为区域内的点(x,y)到定点D(﹣2,﹣1)的斜率,作出不等式组对应的平面区域如图,由图象可知AD的斜率最大,‎ ‎∵O,B,D,三点共线,∴OD的斜率最小,即最小值为k=,‎ 由,解得,即A(,),‎ 则AD的斜率k=,即≤k≤,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合以及直线斜率的几何意义是解决本题的关键.‎ ‎7.已知数列的前项和为,若,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得: ,‎ 两式作差可得: ,即, ,‎ 结合可得: ,‎ 则数列是首项为,公比为的等比数列,‎ 据此有: , .‎ 本题选择A选项.‎ ‎8‎ ‎.在圆的一条直径上,任取一点作与该直径垂直的弦,则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图,设圆的半径为r,圆心为O,AB为圆的一条直径,CD为垂直于AB的一条弦,垂足为M,若CD为圆内接正三角形的一条边,则O到CD的距离为,设EF为与CD平行且到圆心O距离为的弦,交直径AB于点N,所以当过AB上的点且垂直于AB的弦的长度超过CD时,该点在线段MN上移动,所以所求概率P==,选C.‎ ‎9.已知O为坐标原点,F是双曲线的左焦点,A,B分别为Γ的左、右顶点,P为Γ上一点,且PF⊥x轴,过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E,直线 BM与y轴交于点N,若|OE|=2|ON|,则Γ的离心率为(  )‎ A.3 B.2 C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析:分别利用三角形相似得到线段的比值,再利用等量关系得到关于的关系,进而求出双曲线的离心率.‎ 详解:易证得∽,则,‎ 即;‎ 同理∽,‎ ‎,‎ 所以,‎ 又,所以,‎ 整理得.故选A.‎ 点睛:解决本题的关键在利用两次相似三角形得到对应线段成比例,再利用公共线段和进行求解.‎ ‎10.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,则的面积的最大值为( )‎ A. B. C.2 D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知式子和正弦定理可得B,再由余弦定理和基本不等式可得ac≤16,代入三角形的面积公式可得最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎∵在△ABC中,‎ ‎∴(2a﹣c)cosB=bcosC,‎ ‎∴(2sinA﹣sinC)cosB=sinBcosC,‎ ‎∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA,‎ 约掉sinA可得cosB=,即B=,‎ 由余弦定理可得16=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac,‎ ‎∴ac≤16,当且仅当a=c时取等号,‎ ‎∴△ABC的面积S=acsinB=ac≤‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解三角形,涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式,属中档题.‎ ‎11.在平行四边形ABCD中,,,,若将其沿BD折成直二面角A-BD-C,则三棱锥A-BDC的外接球的表面积为(  )‎ A.16π B.8π C.4π D.2π ‎【答案】C ‎【解析】折叠之后得三棱锥A﹣BDC的外接球与长方体的外接球相同,利用对角线求解即可,再利用面积公式可得答案.‎ ‎【详解】‎ 在平行四边形ABCD中,AB⊥BD,,,若将其沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C,∴三棱锥A﹣BDC镶嵌在长方体中,‎ 即得出:三棱锥A﹣BDC的外接球与长方体的外接球相同,‎ ‎∴2R==2,R=1,∴外接球的表面积为4π×12=4π,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法,要求外接球的表面积和体积,关键是求出球的半径,求外接球半径的常见方法有:①若三条棱两两垂直则用(a,b,c为三棱的长);②若面ABC(SA=a),则(r为外接圆半径);③可以转化为长方体的外接球;④特殊几何体可以直接找出球心和半径.‎ ‎12.已知函数,若方程有四个不同的解,且,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析: 作出函数的图象如下: ‎ 由已知可知方程有四个不同的解,,,,且,结合图象可知:,且①,②,由①②得:,故答案为B.‎ ‎【考点】1.函数与方程;2.不等式的性质.‎ ‎【方法点点晴】本题主要考查了函数零点的概念、零点的求法以及数形结合思想;解决此类问题的灌浆时作出两函数图象在同一坐标系中的交点,交点的横坐标即为函数的零点,再利用数形结合确定零点的取值范围;同是本题在作函数时,应该先作出的图象,然后再将轴下方的图象翻折到轴上方即可.‎ 二、填空题 ‎13.在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折叠,其正视图和俯视图如图所示,此时连接顶点B、D形成三棱锥B-ACD,则其侧视图的面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出三视图的侧视图的图形,利用三视图的数据,转化求解侧视图的面积即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知几何体是三棱锥,底面是直角三角形,直角边长为4,3,一个侧面是直角三角形与底面垂直,AB=4,BC=3,B到AC的距离为 ‎ 侧视图如图:是等腰直角三角形,直角边长为.‎ 所以侧视图的面积为: .‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三视图与直观图的关系,侧视图的面积的求法,是基本知识的考查.‎ ‎14.一般情况下,过二次曲线Ax2+By2=C(ABC≠0)上一点M(x0,y0)的切线方程为Ax0x+By0y=C,.若过双曲线上一点M(x0,y0)(x0<0)作双曲线的切线,已知直线过点N,且斜率的取值范围是,则该双曲线离心率的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求得切线方程,将N代入切线方程,即可求得M点坐标,求得切线方程,根据斜率公式及离心率公式即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 双曲线在M(x0,y0)的切线方程为,将N代入切线方程,‎ 解得y0=﹣2b,代入双曲线方程解得:x0=﹣a,‎ 则切线方程:,即y=,‎ 由斜率的取值范围是,即≤≤,1≤≤2,‎ 由双曲线的离心率e==,1≤≤4,‎ ‎∴双曲线离心率的取值范围,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的切线方程的应用及离心率公式,考查转化思想,属于中档题.‎ ‎15.已知是函数在内的两个零点,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析:由于函数f(x)的两点零点是,,所以,由和差化积公式,可得,再由,可解。‎ 详解:由,是函数在内的两个零点,可得:‎ ‎,即为:,‎ 即有,‎ 由,可得,可得,‎ 又,可得,‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ 点睛:本题考查三角函数零点和的三角函数值问题,关键在于转化零点问题与怎么化简方程问题。‎ ‎16.如图,点F是抛物线y2=8x的焦点,点A,B分别在抛物线及圆(x-2)2+y2=16的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则△FAB的周长的取值范围是_____‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析:由抛物线定义得:AF等于A到抛物线准线距离,因此三角形AFB的周长等于B点到抛物线准线距离与半径之和,因为B点到抛物线准线距离范围为(4,8),因此的周长的取值范围是 ‎【考点】抛物线定义 ‎【思路点睛】‎ ‎1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线距离处理.题中充分运用抛物线定义实施转化,化曲为直求范围.‎ ‎2.若P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上一点,由定义易得|PF|=x0+;若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长为|AB|=x1+x2+p,x1+x2可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.‎ 三、解答题 ‎17.已知正数数列{an}的前n项和为Sn,满足 ,.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设,若是递增数列,求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】(1)an=n;(2)(-1,+∞).‎ ‎【解析】(1)由 an2=Sn+Sn﹣1(n≥2),可得an﹣12=Sn﹣1+Sn﹣2 (n≥3).两式相减可得 an﹣an﹣1=1,再由a1=1,可得{an}通项公式.(2)根据{an}通项公式化简bn和bn+1,由题意得bn+1﹣bn>0恒成立,分离变量即可得a的范围.‎ ‎【详解】‎ 解:(1),=Sn-1+Sn-2,(n≥3).‎ 相减可得:,∵an>0,an-1>0,∴an-an-1=1,(n≥3).‎ n=2时,=a1+a2+a1,∴=2+a2,a2>0,∴a2=2.因此n=2时,an-an-1=1成立.‎ ‎∴数列{an}是等差数列,公差为1.∴an=1+n-1=n.‎ ‎(2)=(n-1)2+a(n-1),‎ ‎∵{bn}是递增数列,∴bn+1-bn=n2+an-(n-1)2-a(n-1)=2n+a-1>0,‎ 即a>1-2n恒成立,∴a>-1.‎ ‎∴实数a的取值范围是(-1,+∞).‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由前n项和与an的关系求数列的通项公式,考查等差数列的通项公式和数列的单调性问题,属于中档题.‎ ‎18.如图,三棱柱中,侧棱垂直底面,,,是棱的中点.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)平面分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)1:1‎ ‎【解析】试题分析:(1)由题意易证平面,再由面面垂直的判定定理即可得平面平面;(2)设棱锥的体积为,易求,三棱柱的体积为,于是可得,从而得到答案.‎ 试题解析:(1)证明:由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,‎ 所以BC⊥平面ACC1A1.‎ 又DC1⊂平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.‎ 由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,‎ 所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.‎ 又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.‎ 又DC1⊂平面BDC1,故平面BDC1⊥平面BDC.‎ ‎(2)设棱锥B—DACC1的体积为V1,AC=1.‎ 由题意得V1=××1×1=.‎ 又三棱柱ABC—A1B1C1的体积V=1,‎ 所以(V-V1)∶V1=1∶1.‎ 故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定;棱信的结构特征;棱柱、棱锥、棱台的体积.‎ ‎【易错点睛】(1)两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.这是把面面垂直转化为线面垂直的依据.运用时要注意“平面内的直线”.(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面,那么它们的交线也垂直于第三个平面,此性质是在课本习题中出现的,在不是很复杂的题目中要对此进行证明.‎ ‎19.某市交管部门为了宣传新交规举办交通知识问答活动,随机对该市15~65岁的人群抽样,回答问题统计结果如图表所示.‎ 组别 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的概率 第1组 ‎[15,25)‎ ‎5‎ ‎0.5‎ 第2组 ‎[25,35)‎ ‎0.9‎ 第3组 ‎[35,45)‎ ‎27‎ 第4组 ‎[45,55)‎ ‎0.36‎ 第5组 ‎[55,65)‎ ‎3‎ ‎(1)分别求出的值;‎ ‎(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人,则第2,3,4组每组应各抽取多少人?‎ ‎(3)在(2)的前提下,决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖,求:所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.‎ ‎【答案】(1);(2)人,人,1人;(3).‎ ‎【解析】试题分析:(1)由统计表可求得第1组的人数,再由频率分布直方图可得到第1组人数点总体人数的频率(等于对应矩形方块的高度矩形方块的宽度),从而就可得到总体的人数n;进而就可求得其余各组的人数,再由统计表就可计算出a,b,x,y的值;(2)分层抽样方法就是各层按照相同的比例抽样:其抽取的比例为:结合(1)结果就可得到各组所抽取的人数;(3)将从(2)中抽取的6人按组别用不同的字母表示,然后用树图方式列出从中抽取2人的所有可能情况,数出全部情况总数,最后从中数出第2组至少有1人的情况的种数,从而就可求得所求的概率.‎ 试题解析:(1)第1组人数, 所以, ‎ 第2组人数,所以, ‎ 第3组人数,所以, ‎ 第4组人数,所以, ‎ 第5组人数,所以. 5分 ‎(2)第2,3,4组回答正确的人的比为,所以第2,3,4组每组应各依次抽取人,人,1人. 8分 ‎(3)记抽取的6人中,第2组的记为,第3组的记为,第4组的记为, 则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种,他们是:‎ ‎,,,,,,,,,,,,,,. 12分 其中第2组至少有1人的情况有9种,他们是: ,,,,,,,,.‎ 故所求概率为. 14分 ‎【考点】1. 频率分布表和频率分布直方图;2.抽样方法;3.古典概率.‎ ‎20.已知圆A:x2+y2+2x-15=0和定点B(1,0),M是圆A上任意一点,线段MB的垂直平分线交MA于点N,设点N的轨迹为C.‎ ‎(Ⅰ)求C的方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线y=k(x-1)与曲线C相交于P,Q两点,试问:在x轴上是否存在定点R,使当k变化时,总有∠ORP=∠ORQ?若存在,求出点R的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)存在定点R(4,0)满足题设.‎ ‎【解析】(Ⅰ)求出圆心A,通过|NM|=|NB|,推出点N的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,设其标准方程,求出a,c,即可求解椭圆方程.(Ⅱ)设存在点R(t,0)满足题设,联立直线y=k(x﹣1)与椭圆方程,设P(x1,y1),Q(x2,y2),利用韦达定理,通过直线RP与直线RQ的斜率之和为零,即可得到t的值.‎ ‎【详解】‎ 解:(Ⅰ)圆A:(x+1)2+y2=16,圆心A(-1,0),由已知得|NM|=|NB|,‎ 又|NM|+|NB|=4,所以|NA|+|NB|=4>|AB|=2,‎ 所以由椭圆的定义知点N的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,‎ 设其标准方程C:,则2a=4,2c=2,所以a2=4,b2=3,‎ 所以曲线C:;‎ ‎(Ⅱ)设存在点R(t,0)满足题设,联立直线y=k(x-1)与椭圆方程,‎ 消去y,得(4k2+3)x2-8k2x+(4k2-12)=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ 则由韦达定理得①,②,‎ 由题设知OR平分∠PRQ⇔直线RP与直RQ的倾斜角互补,‎ ‎​即直线RP与直线RQ的斜率之和为零,即,即,即2kx1x2-(1+t)k(x1+x2)+2tk=0③,‎ 把①、②代入③并化简得,即(t-4)k=0④,‎ 所以当k变化时④成立,只要t=4即可,所以存在定点R(4,0)满足题设.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用椭圆定义求轨迹问题,考查直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查存在性问题的处理方法,考查分析问题解决问题的能力.‎ ‎21.已知(m,n为常数),在处的切线方程为.‎ ‎(Ⅰ)求的解析式并写出定义域;‎ ‎(Ⅱ)若任意,使得对任意上恒有成立,求实数a的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)若有两个不同的零点,求证: .‎ ‎【答案】(Ⅰ) ,x∈(0,+∞);(Ⅱ) ;(Ⅲ)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析:‎ ‎(Ⅰ)由题意利用导函数研究切线方程可得,x∈(0,+∞);‎ ‎(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论,f(x)在上的最小值为f(1)=1,故只需对恒成立,构造函数,结合新函数的性质可得a的取值范围为。‎ 试题解析:‎ ‎(Ⅰ),由条件可得及在处的切线方程为,得,所以,x∈(0,+∞)。‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)在上单调递减,∴f(x)在上的最小值为f(1)=1,故只需t3﹣t2﹣2at+2≤1,即对恒成立,令,易得m(t)在单调递减,[1,2]上单调递增,而 ∴∴,即a的取值范围为。‎ ‎(Ⅲ)∵,不妨设x1>x2>0,∴g(x1)=g(x2)=0,∴,两式相加相减后作商得: ,要证,即证明lnx1+lnx2>2,即证: ,需证明成立,令,于是要证明: ,构造函数, ,故在(1,‎ ‎+∞)上是增函数,∴,∴,故原不等式成立.‎ 点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出 ,本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用.‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),它与曲线C:(y-2)2-x2=1交于A、B两点.‎ ‎(1)求|AB|的长;‎ ‎(2)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点P的极坐标为,求点P到线段AB中点M的距离.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】试题分析:解:(Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t2-12t-5=0,‎ 设A,B对应的参数分别为 t1和t2,则 t1+t2=,t1•t2 =-…(3分)‎ 所以|AB|=5•|t1-t2|=5=.; …(5分)‎ ‎(Ⅱ)易得点P在平面直角坐标系下的坐标为(-2,2),‎ 根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为…(8分)‎ 所以由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=5• . …(10分)‎ ‎【考点】直线的参数方程、点到直线的距离公式 点评:本题主要考查直线的参数方程、点到直线的距离公式坐标刻画点的位置,属于基础题 ‎23.(Ⅰ)已知c>0,关于x的不等式:x+|x-2c|≥2的解集为R.求实数c的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若c的最小值为m,又p、q、r是正实数,且满足p+q+r=3m,求证:p2+q2+r2≥3.‎ ‎【答案】(Ⅰ)[1,+∞);(Ⅱ)详见解析.‎ ‎【解析】(I)由题意只需x+|x﹣2c|的最小值大于等于2即可,解不等式即可得c的范围;(Ⅱ)由(1)知p+q+r=3,运用柯西不等式,可得(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2,即可得证.‎ ‎【详解】‎ 解:(I)不等式x+|x-2c|≥2的解集为R ⇔函数y=x+|x-2c|在R上恒大于或等于2,‎ ‎∵x+|x-2c|=,∴函数y=x+|x-2c|,在R上的最小值为2c,∴2c≥2⇔c≥1.‎ 所以实数c的取值范围为[1,+∞);‎ ‎(Ⅱ)证明:由(1)知p+q+r=3,又p,q,r是正实数,‎ 所以(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r)2=9,‎ 即p2+q2+r2≥3.当且仅当p=q=r=1等号成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式恒成立问题的解法,注意运用函数的最值的求法,考查不等式的证明,注意运用柯西不等式,考查运算和推理能力,属于中档题.‎ 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org