【数学】2020届一轮复习人教B版（理）28直线与平面的平行与垂直作业 11页

天天练 28　直线与平面的平行与垂直 小题狂练 小题是基础　练小题　提分快 一、选择题 ‎1．[2019·湖北省重点中学模拟]设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)‎ A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β 答案：D 解析：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，平行，或垂直，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，因此D正确．故选D.‎ ‎2．有下列命题：‎ ‎①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线．‎ 其中真命题的个数是(　　)‎ A．1　　　　 B．2‎ C．3 D．4‎ 答案：A 解析：命题①，l可以在平面α内，不正确；命题②，直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③，a可以在平面α内，不正确；命题④正确．‎ ‎3．[2019·泉州质检]已知直线a，b，平面α，β，a⊂α，b⊂α，则“a∥β，b∥β ”是“α∥β ”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：因为直线a，b不一定相交，所以a∥β，b∥β不一定能够得到α∥β；而当α∥β时，a∥β，b∥β一定成立，所以“a∥β，b∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．‎ ‎4．已知E，F分别是正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱AB，AA1的中点，M，N分别是线段D1E与C‎1F上的点，则与平面ABCD 垂直的直线MN有(　　)‎ A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 答案：B 解析：连接AC，A‎1C1，设D1E与平面AA‎1C1C相交于点M，在平面AA‎1C1C内过点M作MN∥AA1交C‎1F于点N，由C‎1F与D1E为异面直线知MN唯一，且MN⊥平面ABCD，故选B.‎ ‎5．PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是(　　)‎ A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC C．AC⊥PB D．PC⊥BC 答案：C 解析：由PA⊥平面ABC⇒PA⊥BC，A正确；由BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，BC⊥PC，即B，D正确．‎ ‎6．过三棱柱ABC－A1B‎1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB‎1A1平行的直线共有(　　)‎ A．2条 B．4条 C．6条 D．8条 答案：C 解析：如图，过三棱柱ABC－A1B‎1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB‎1A1平行的直线只可能落在平面DEFG内(其中D，E，F，G分别为三棱柱棱的中点)，易知经过D，E，F，G中任意两点的直线共有C＝6条，故选C.‎ ‎7．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝(　　)‎ A. B. C. D. 答案：D 解析：连接AC交BE于点G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面EBF＝FG，所以PA∥FG，所以＝.因为AD∥BC，AD＝BC，E为AD的中点，所以＝＝，所以＝.‎ ‎8．[2019·四川资阳模拟]在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝120°，AB＝AC＝1，PA＝，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案：D 解析：如图，∵PA⊥底面ABC，∴∠PAB＝∠PAC＝90°.又AB＝AC＝1，PA＝，∴△PAB≌△PAC(SAS)，∴PB＝PC.‎ 取BC中点D，连接AD，PD，∴PD⊥BC，AD⊥BC，∴BC⊥平面PAD.‎ ‎∴平面PAD⊥平面PBC.‎ 过点A作AO⊥PD于点O，可得AO⊥平面PBC，‎ ‎∴∠APD就是直线PA与平面PBC所成的角．‎ 在Rt△PAD中，AD＝ABsin30°＝，PA＝，PD＝＝，‎ sin∠APD＝＝.故选D.‎ 二、非选择题 ‎9．[2019·杭州模拟]如图，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB‎1C，则EF＝________.‎ 答案： 解析：根据题意，因为EF∥平面AB‎1C，所以EF∥AC.又E是AD的中点，所以F是CD的中点．因为在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝.‎ ‎10．已知α，β表示两个不同的平面，m，n表示两条不同的直线，且m⊥β，α⊥β，给出下列四个结论：‎ ‎①∀n⊂α，n⊥β；②∀n⊂β，m⊥n；③∃n⊂α，m⊥n.‎ 则上述结论正确的为________．(写出所有正确结论的序号)‎ 答案：②③‎ 解析：由于m⊥β，α⊥β，所以m⊂α或m∥α.∀n⊂α，则n⊂β或n∥β或n与β相交，所以①不正确；∀n⊂β，则由直线与平面垂直的性质定理，知m⊥n，②正确；当m⊂α或m∥α时，∃n⊂α，m⊥n，③正确．‎ ‎11．[2019·青岛模拟]如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)‎ 答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)(不唯一)‎ 解析：如图，连接AC，∵四边形ABCD的各边都相等，∴‎ 四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，又AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC等)时，有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.‎ ‎12．[2019·河北定州中学模拟]如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点．现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.下列说法错误的是________(将符合题意的选项序号填到横线上)．‎ ‎①AG⊥△EFH的在平面；②AH⊥△EFH所在平面；‎ ‎③HF⊥△AEF所在平面；④HG⊥△AEF所在平面．‎ 答案：①③④‎ 解析：根据条件AH⊥HE，AH⊥HF，所以AH⊥平面EFH，故AG不可能垂直平面EFH，所以①错误；②正确；③若HF⊥△AEF所在平面，则HF⊥AF，显然一个三角形中不能有两个直角，错误；④若HG⊥△AEF所在平面，则△AHG中有两个直角，错误，故填①③④.‎ 课时测评 综合提能力　课时练　赢高分 一、选择题 ‎1．[2019·重庆六校联考]设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(　　)‎ A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α 答案：D 解析：对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B，C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.‎ ‎2．[2019·河北武邑月考]如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是(　　)‎ A．PB⊥AC　　 B．PD⊥平面ABCD C．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD 答案：B 解析：如图，对于选项A，取PB的中点O，连接AO，CO.‎ ‎∵在四棱锥P－ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，‎ ‎∴AO⊥PB，CO⊥PB.‎ ‎∵AO∩CO＝O，∴PB⊥平面AOC.‎ ‎∵AC⊂平面AOC，∴PB⊥AC，故A成立．‎ 对于选项B，∵AC⊥BD，AC⊥PB，BD∩PB＝B，∴AC⊥平面PBD.‎ 设AC∩BD＝M，连接PM，则PM⊥AC，∴PD与AC不垂直．‎ 对于选项C，∵PB⊥平面AOC，AC⊂平面AOC，∴AC⊥PB.‎ ‎∵AC⊥BD，PB∩BD＝B，∴AC⊥平面PBD，‎ ‎∵PD⊂平面PBD，∴AC⊥PD，故C成立．‎ 对于选项D，∵AC⊥平面PBD，AC⊂平面ABCD，‎ ‎∴平面PBD⊥平面ABCD，故D成立，故选B.‎ ‎3．[2019·长沙模拟]如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A、D分别是BF、CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF(如图1)．将四边形ADEF沿AD折起，连接AC、CF、BE、BF、CE(如图2)，在折起的过程中，下列说法错误的是(　　)‎ A．AC∥平面BEF B．B、C、E、F四点不可能共面 C．若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD D．平面BCE与平面BEF可能垂直 答案：D 解析：A选项，连接BD，交AC于点O，取BE的中点M，连接OM，FM，易证四边形AOMF是平行四边形，所以AO∥FM，因为FM⊂平面BEF，AC⊄平面BEF，所以AC∥平面BEF；B选项，若B、C、E、F四点共面，因为BC∥AD，所以BC∥平面ADEF，可推出BC∥EF，又BC∥AD，所以AD∥EF，矛盾；C选项，连接FD，在平面ADEF内，易得EF⊥FD，又EF⊥CF，FD∩CF＝F，所以EF⊥平面CDF，所以EF⊥CD，又CD⊥AD，EF与AD相交，所以CD⊥平面ADEF，所以平面ADEF⊥平面ABCD；D选项，延长AF至G，使AF＝FG，连接BG、EG，易得平面BCE⊥平面ABF，过F作FN⊥BG于N，则FN⊥平面BCE，若平面BCE⊥平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾．综上，选D.‎ ‎4．[2019·湖北八校联考]如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，构成四面体A－BCD，则在四面体A－BCD中，下列说法正确的是(　　)‎ A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ACD⊥平面BCD C．平面ABC⊥平面BCD D．平面ACD⊥平面ABD 答案：D 解析：由题意可知，AD⊥AB，AD＝AB，所以∠ABD＝45°，故∠DBC＝45°，又∠BCD＝45°，所以BD⊥DC.因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD.‎ ‎5．[2019·荆州模拟]如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E，F，H，K分别为AC′，CB′，A′B′，B′C′的中点，G为△ABC的重心．从K，H，G，B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为(　　)‎ A．K B．H C．G D．B′‎ 答案：C 解析：取A′C′的中点M，连接EM，MK，KF，EF，则EM綊CC′綊KF，得四边形EFKM为平行四边形，若P＝K，则AA′∥BB′∥CC′∥KF，故与平面PEF平行的棱超过2条；HB′∥MK⇒HB′∥EF，若P＝H或P＝B′，则平面PEF与平面EFB′A′为同一平面，与平面EFB′A′平行的棱只有AB，不满足条件；连接BC′，则EF∥A′B′∥AB，若P＝G，则AB，A′B′与平面PEF平行．故选C.‎ ‎6．如图，在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点，则下列说法错误的是(　　)‎ A．当AE⊥PB时，△AEF一定是直角三角形 B．当AF⊥PC时，△AEF一定是直角三角形 C．当EF∥平面ABC时，△AEF一定是直角三角形 D．当PC⊥平面AEF时，△AEF一定是直角三角形 答案：B 解析：由PA⊥底面ABC，得PA⊥BC，又AB⊥BC，所以BC⊥平面PAB，BC⊥AE.又AE⊥PB，所以AE⊥平面PBC，所以AE⊥EF，故A正确；当EF∥平面ABC时，因为EF⊂平面PBC，平面PBC∩平面ABC＝BC，所以EF∥BC，故EF⊥平面PAB，AE⊥EF，故C正确；当PC⊥平面AEF时，PC⊥AE，又BC⊥AE，所以AE⊥平面PBC，所以AE⊥EF，故D正确．故选B.‎ ‎7．[2019·广西南宁模拟]已知三棱锥P－ABC的四个顶点都在球 O的球面上，PA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，若球O的体积为π，则直线PC与平面PAB所成角的正切值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案：A 解析：如图，设△ABC的中心为E，M为AB的中点，过球心O作OD⊥PA，则D为PA的中点．由题意可得CM⊥平面PAB，∴∠CPM是直线PC与平面PAB所成的角．‎ ‎∵△ABC是边长为2的等边三角形，‎ ‎∴OD＝AE＝CM＝.‎ ‎∵π·OP3＝，‎ ‎∴OP＝，∴PA＝2PD＝2＝.‎ ‎∴PM＝＝.‎ ‎∴tan∠CPM＝＝.故选A.‎ ‎8.‎ 如图，在以角C为直角顶点的三角形ABC中，AC＝8，BC＝6，PA⊥平面ABC，F为PB上的点，在线段AB上有一点E，满足BE＝λAE.若PB⊥平面CEF，则实数λ的值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案：C 解析：∵PB⊥平面CEF，CE⊂平面CEF，∴PB⊥CE，又PA⊥平面ABC，CE⊂平面ABC，∴PA⊥CE，而PA∩PB＝P，∴CE⊥平面PAB，∴CE⊥AB，∴λ＝＝＝＝.‎ 二、非选择题 ‎9.‎ 如图所示，正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，且A‎1M＝AN＝a，则MN与平面BB‎1C1C的位置关系是________．‎ 答案：MN∥平面BB‎1C1C 解析：如图，连接AM并延长，交BB1的延长线于点P，连接CP，则由已知可得AA1∥BB1，所以＝＝，又＝，所以＝＝，所以MN∥PC，故有MN∥平面BB‎1C1C.‎ ‎10．[2019·黄冈质检]如图，PA⊥圆O所在的平面，‎ AB是圆O的直径，C是圆O上一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：‎ ‎①AF⊥PB；　②EF⊥PB；　③AF⊥BC；　④AE⊥平面PBC.‎ 其中正确结论的序号是________．‎ 答案：①②③‎ 解析：①由于PA⊥平面ABC，因此PA⊥BC，又AC⊥BC，因此BC⊥平面PAC，所以BC⊥AF，由于PC⊥AF，因此AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB；②因为AE⊥PB，AF⊥PB，所以PB⊥平面AEF，因此EF⊥PB；③在①中已证明AF⊥BC；④若AE⊥平面PBC，由①知AF⊥平面PBC，由此可得出AF∥AE，这与AF，AE有公共点A矛盾，故AE⊥平面PBC不成立．故正确的结论为①②③.‎ ‎11．如图，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A‎1F，A‎1C1⊥A1B1.‎ 求证：(1)直线DE∥平面A‎1C1F；‎ ‎(2)平面B1DE⊥平面A‎1C1F.‎ 证明：(1)在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，A‎1C1∥AC.‎ 在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A‎1C1.‎ 又DE⊄平面A‎1C1F，A‎1C1⊂平面A‎1C1F，‎ 所以直线DE∥平面A‎1C1F.‎ ‎(2)在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，A‎1A⊥平面A1B‎1C1.因为A‎1C1⊂平面A1B‎1C1，所以A‎1A⊥A‎1C1.‎ 又A‎1C1⊥A1B1，A‎1A⊂平面ABB‎1A1，A1B1⊂平面ABB‎1A1，A‎1A∩A1B1＝A1，所以A‎1C1⊥平面ABB‎1A1.因为B1D⊂平面ABB‎1A1，所以A‎1C1⊥B1D.‎ 又B1D⊥A‎1F，A‎1C1⊂平面A‎1C1F，A‎1F⊂平面A‎1C1F，A‎1C1∩A‎1F＝A1，‎ 所以B1D⊥平面A‎1C1F.‎ 因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A‎1C1F.‎