【数学】2020届一轮复习（理）江苏专版8-5空间向量的运算及应用作业 7页

课时跟踪检测（四十） 空间向量的运算及应用 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 ‎1．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x＝________.‎ 解析：由b＝x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．‎ 答案：(0,6，－20)‎ ‎2．(2019·汇龙中学检测)若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝ (－2,0，－4)，则直线l和平面α的位置关系为________．‎ 解析：因为a＝(1,0,2)，n＝(－2,0，－4)，所以n＝－2a，即a∥n.所以l⊥α.‎ 答案：l⊥α ‎3．(2018·睢宁中学检测)已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量＝________.‎ 解析：如图所示，连结ON，AN，则＝(＋)＝(b＋c)，‎ ＝(＋)＝(－2＋)＝(－2a＋b＋c)＝－a＋b＋c，所以＝(＋)＝－a＋b＋c.‎ 答案：－a＋b＋c ‎4．若点C(4a＋1,2a＋1,2)在点P(1,0,0)，A(1，－3,2)，B(8，－1, 4)所确定的平面上，则a＝________.‎ 解析：由题意得＝(0，－3,2)，＝(7，－1,4)，＝(4a,2a＋1,2)，‎ 根据共面向量定理，设＝x＋y，‎ 则(4a,2a＋1,2)＝x(0，－3,2)＋y(7，－1,4)＝(7y，－3x－y，2x＋4y)，‎ 所以解得x＝－，y＝，a＝.‎ 答案： ‎5．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________.‎ 解析：因为α∥β，所以u1∥u2，所以＝＝，‎ 所以y＝1，z＝－4，所以y＋z＝－3.‎ 答案：－3‎ ‎6．(2019·滨海检测)已知空间三点A(0,2,3)，B(2,5,2)，C(－2,3,6)，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为________．‎ 解析：∵＝(2,3，－1)，＝(－2,1,3)．‎ ‎∴·＝－4＋3－3＝－4，||＝＝，||＝＝.‎ ‎∴cos∠BAC＝＝＝－.‎ ‎∴sin∠BAC＝＝.‎ 故以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S＝||·||·sin∠BAC＝××＝6.‎ 答案：6 二保高考，全练题型做到高考达标 ‎1．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点．若＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，则给出下列结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的一个法向量；④∥.其中正确的是________．(填序号)‎ 解析：∵·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，∴⊥，即AP⊥AB，故①正确．‎ ‎∵·＝(－1)×4＋2×2＋0＝0，∴⊥，即AP⊥AD，故②正确．‎ 又AB∩AD＝A，∴ AP⊥平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量，故③正确．‎ ‎∵＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)，∴ ≠≠，‎ ‎∴ 与不平行，故④错误．‎ 答案：①②③‎ ‎2．已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为________．‎ 解析：因为a·b＝x＋2＝3，所以x＝1，所以b＝(1,1,2)．‎ 所以cos〈a，b〉＝＝＝.‎ 所以a与b的夹角为.‎ 答案： ‎3．(2019·盐城中学检测)已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0，1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．‎ 解析：设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，‎ 因为＝(0,1，－1)，＝(1,0，－1)，‎ 则令x＝1，得m＝(1,1,1)．‎ 因为m＝－n，所以m∥n，所以α∥β.‎ 答案：α∥β ‎4．已知正三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，将此三角形沿DE翻折，当AE⊥BD时，二面角ADEF的余弦值等于________．‎ 解析：不妨设GD＝GE＝1，则GA＝GF＝，AE＝BD＝2，由已知得∠AGF即为二面角ADEF的平面角，设其为θ.则·＝(－)·(＋＋)＝(－)·(2－－)＝(－)·(－)＝2－·－·＋·＝1－0－0＋·cos θ＝1＋3cos θ＝0，所以cos θ＝－，即当AE⊥BD时，二面角ADEF的余弦值等于－.‎ 答案：－ ‎5．(2019·南京调研)如图，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝5，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则对角线AC1的长度等于________．‎ 解析：2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝16＋9＋25＋2×4×3×cos 90°＋2×4×5×cos 60°＋2×3×5×cos 60°‎ ‎＝50＋20＋15＝85，即||＝.‎ 答案： ‎6．在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为________．‎ 解析：由题意知·＝0，||＝||，又＝(6，－2，－3)，＝(x－4,3，－6)，所以解得x＝2.‎ 答案：2‎ ‎7．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，则MN＝________.‎ 解析：连结PD，因为M，N分别为CD，PC的中点，‎ 所以MN＝PD，又P(0,0,1)，D(0,1,0)，‎ 所以PD＝＝，所以MN＝.‎ 答案： ‎8．已知向量＝(1,5，－2)，＝(3,1,2)，＝(x，－3,6)．若DE∥平面ABC，则x的值是________．‎ 解析：∵DE∥平面ABC，‎ ‎∴存在实数m，n，使得＝m＋n，‎ 即解得x＝5.‎ 答案：5‎ ‎9．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．‎ 解：因为∠ACD＝90°，所以·＝0.‎ 同理可得·＝0.‎ 因为AB与CD成60°角，‎ 所以〈，〉＝60°或〈，〉＝120°，‎ 又＝＋＋，‎ 所以||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉．‎ 所以当〈，〉＝60°时，||2＝4，此时B，D间的距离为2；当〈，〉＝120°时，||2＝2，此时B，D间的距离为.‎ ‎10．如图，在多面体ABC A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1綊BC，二面角A1 AB C是直二面角．‎ 求证：(1)A1B1⊥平面AA1C；‎ ‎(2)AB1∥平面A1C1C.‎ 证明：因为二面角A1 AB C是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，‎ 所以AA1⊥平面ABC.‎ 又因为AB＝AC，BC＝AB，‎ 所以∠CAB＝90°，‎ 即CA⊥AB，‎ 所以AB，AC，AA1两两互相垂直．‎ 建立如图所示的空间直角坐标系A xyz，‎ 设AB＝2，则A(0,0,0)，B1(0,2,2)，‎ A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)．‎ ‎(1) ＝(0,2,0)，＝(0,0，－2)，＝(2,0,0)，‎ 设平面AA1C的一个法向量n＝(x，y，z)，‎ 则即即取y＝1，则n＝(0,1,0)．‎ 所以＝2n，即∥n.‎ 所以A1B1⊥平面AA1C.‎ ‎(2)易知＝(0,2,2)，＝(1,1,0)，＝(2,0，－2)，‎ 设平面A1C1C的一个法向量m＝(x1，y1，z1)，‎ 则即 令x1＝1，则y1＝－1，z1＝1，即m＝(1，－1,1)．‎ 所以·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，‎ 所以⊥m.又AB1⊄平面A1C1C，‎ 所以AB1∥平面A1C1C.‎ 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 ‎1．已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，CC1＝5，E是棱CC1上不同于端点的点，且＝λ.当∠BEA1为钝角时，则实数λ的取值范围为________．‎ 解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,3,0)，C1(0，3,5)，B(2,3,0)，A1(2,0,5)．‎ 因为＝λ，所以E(0,3,5λ)．‎ 从而＝(2,0，－5λ)，＝(2，－3,5－5λ)．‎ 当∠BEA1为钝角时，cos∠BEA1＜0，‎ 所以·＜0，即2×2－5λ(5－5λ)＜0，‎ 解得＜λ＜.‎ 答案： ‎2．(2019·海门中学检测)如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为________．‎ 解析：由题意知CD，CB，CE两两垂直，所以以C为原点，以CD，CB，CE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，设M点的坐标为(x，y,1)，AC∩BD＝O，连结OE，‎ 则O，又E(0,0,1)，A(，，0)，‎ 所以＝，＝(x－，y－，1)，‎ 因为AM∥平面BDE，AM⊂平面ACEF，平面BDE∩平面ACEF＝OE，‎ 所以OE∥AM，‎ 所以即所以M.‎ 答案： ‎3．如图，在三棱锥PABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.‎ ‎(1)证明：AP⊥BC；‎ ‎(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.‎ 证明：(1)以O为坐标原点，以射线OD为y轴正半轴，射线OP为z轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.‎ 则O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)．‎ 于是＝(0,3,4)，＝(－8，0,0)，‎ 所以·＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，‎ 所以⊥，即AP⊥BC.‎ ‎(2)由(1)知AP＝5，又AM＝3，且点M在线段AP上，‎ 所以＝＝，又＝(－4，－5,0)，‎ 所以＝＋＝，‎ 则·＝(0,3,4)·＝0，‎ 所以⊥，即AP⊥BM，‎ 又根据(1)的结论知AP⊥BC，且BC∩BM＝B，‎ 所以AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC.‎ 又AM⊂平面AMC，故平面AMC⊥平面BMC.‎