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- 2021-06-12 发布
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数 学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共10页。时量120分钟。满分150分。
得分：______________
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝，B＝，则∁AB＝(B)
A. B．{x|2≤x<5}
C. D.
【解析】∵A＝{x|10，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题
D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”
【解析】C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，即m≥－，不能推出m>0.所以不是真命题．
3．用二分法求函数f＝ln＋x－1在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为(C)
A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】开区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为，
∵精确度为0.01，∴<0.01，又n∈N*，∴n≥7，故所需二分区间的次数最少为7.选C.
4. △ABC的内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知A＝，a＝6，b＝8，则c＝(A)
A．4－2 或4＋2 B．4－2
C．4＋2 D．4
【解析】∵＝，∴sin B＝>sin，∴B>，故cos B＝±，故sin C＝，由＝得：c＝4±2.故选A.
5．已知表示的平面区域为D，若∀(x，y)∈D，2x＋y≤a为真命题，则实数a的取值范围是(A)
A．[5，＋∞) B．[2，＋∞) C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
【解析】绘制不等式组表示的可行域如图所示，
结合目标函数的几何意义可得目标函数z＝2x＋y在点B处取得最大值，
联立直线方程可得即B，
则zmax＝2×＋＝5.
结合恒成立的条件可知a≥5，即实数a的取值范围是 [5，＋∞)．故选A.
6．已知点(1，－2)和在直线l：ax－y－1＝0(a≠0)的两侧，则直线l倾斜角的取值范围是(C)
A. B.
C.∪ D.
【解析】∵点(1，－2)和在直线l：ax－y－1＝0(a≠0)的两侧，
∴(a＋2－1)<0，解得－1x1时，不等式－<0恒成立，则实数a的取值范围为(D)
A．(－∞，e] B.
C. D.
【解析】根据题意可得函数g(x)＝xf(x)＝ex－ax2在x∈时是单调增函数，由g′(x)＝ex－2ax≥0得2a≤，令h(x)＝，只需2a≤h(x)min，易求得h(x)min＝e，故a≤.故选D.
10．如图所示，在
直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD ＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，则＋的最小值为(B)
A．5 B.＋
C. D.
【解析】依题意得DC∥AB，∴＝－＝－，
∴＝m＋n＝m＋n＝＋n.
∵C，P，B三点共线，
∴＋n＝1，即m＋n＝1，
又∵m，n均是正实数，
∴＋＝＝＋＋≥＋2＝＋，
当且仅当＝，即时，等号成立．选B.
11．定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x＋2)＝f(x)，且在区间[－3，－2]上是减函数，若A，B是锐角三角形的两个内角，则(A)
A．f(sin A)＞f(cos B) B．f(sin A)＜f(cos B)
C．f(sin A)＞f(sin B) D．f(cos A)＞f(cos B)
【解析】因为f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为2.又因为f(x)在[－3，－2]上为减函数，所以f(x)在[－1，0]上为减函数．因为f(x)为偶函数，所以f(x)在[0，1]上为增函数．
因为在锐角三角形中，A＋B>，所以>A>－B>0，所以sin A>sin＝cos B.
因为f(x)在[0，1]上为增函数，所以f(sin A)>f(cos B)．选A.
12．定义：对于函数y＝f(x)，x∈D.若存在常数c，对于任意x1∈D，存在唯一的x2∈D，
使得＝c，则称函数f(x)在D上的“均值”为c.若f(x)＝lg x，x∈[，100]，则函数f(x)＝lg x在[，100]上的“均值”为(C)
A. B. C. D．10
【解析】假设存在常数c，对于任意x1∈[，100]，存在唯一x2∈[，100]，
使得＝c，即x1x2＝102c，则x2＝.
故当x1∈[， 100]时，x2∈，又x2∈[，100]，
∴从而102c＝100，即102c＝10 ，
∴c＝.故选C.
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
B
C
C
A
A
C
D
D
D
B
A
C
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
13．观察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，根据以上式子可以猜想：1＋＋＋…＋<____．
14．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝____．
【解析】在等差数列中，＝＝＝，
∵＝，
∴＝＝＝.
15．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M是线段PB的中点．有以下四个命题：
①MO∥平面PAC；
②PA∥平面MOB；
③OC⊥平面PAC；
④平面PAC⊥平面PBC.
其中正确的命题的序号是__①④__．
【解析】①因为MO∥PA，MO⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以MO∥平面PAC，①正确；
②因为PA在平面MOB内，所以②错误；
③因为PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥BC.
又BC⊥AC，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC.
因为空间内过一点作已知平面的垂线有且只有一条，所以OC⊥平面PAC不成立，③错误；
④由③知BC⊥平面PAC，且BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.
正确命题的序号是①④.
16．已知关于x的方程xln x－a(x2－x)＝0在上有两个实数根，则a的取值范围是__(0，1)∪(1，2ln__2)__．
【解析】当x＝1时，方程等价为ln 1－a(1－1)＝0，即x＝1是方程的一个根，
方程xln x－a(x2－x)＝0在上有两个实数根等价于函数g(x)＝ln x与h(x)＝a(x－1)在上有两个交点，显然(1，0)为一个交点，结合g(x)与h(x)的图象，
h(x)＝a(x－1)经过点时，a＝2ln 2.
h(x)＝a(x－1)与g(x)＝ln x相切时，a＝1，
故当a∈(0，1)∪(1，2ln 2)时，有两个交点．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)
为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
喜好体育运动
不喜好体育运动
男生
5
女生
10
已知按喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为10的样本，则抽到喜好体育运动的人数为6.
(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整；
(Ⅱ)能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明你的理由；
(Ⅲ)在上述喜好体育运动的6人中随机抽取两人，求恰好抽到一男一女的概率．
参考公式：K2＝(n＝a＋b＋c＋d)．
独立性检验临界值表：
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
【解析】(Ⅰ)喜好体育运动的人数为：50×＝30，列联表补充如下：
喜好体育运动
不喜好体育运动
男生
20
5
女生
10
15
(2分)
(Ⅱ)∵K2＝≈8.333>6.635.
∴可以在犯错概率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关．(7分)
(Ⅲ)6人中有男生4人，设为A1，A2，A3，A4，女生2人，设为B1，B2，
随机抽取两人所有的情况为：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2), 共15种．
其中一男一女包含8种情况，故概率为P＝.(12分)
18．(本小题满分12分)
已知数列{an}是公比为3的等比数列，且a2，a3＋6，a4成等差数列．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)记bn＝an＋log3an＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(Ⅰ)由题意可得2＝a2＋a4，
即2＝3a1＋27a1，解得：a1＝1.(3分)
∴数列的通项公式为an＝3n－1.(5分)
(Ⅱ)bn＝an＋log3an＋1＝3n－1＋n.(7分)
Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋
＝＋＝＋.(12分)
19．(本小题满分12分)
如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.
(Ⅰ)证明：B1C⊥AB；
(Ⅱ)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求B1到平面ABC的距离．
【解析】(Ⅰ)证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点，
∵侧面BB1C1C为菱形，
∴BC1⊥B1C，(2分)
∵AO⊥平面BB1C1C，
∴AO⊥B1C，(4分)
∵AO∩BC1＝O，
∴B1C⊥平面ABO，
∵AB⊂平面ABO，
∴B1C⊥AB.(6分)
(Ⅱ)作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，
∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD＝O，
∴BC⊥平面AOD，
∴OH⊥BC，
∵OH⊥AD，BC∩AD＝D，
∴OH⊥平面ABC.(8分)
∵∠CBB1＝60°，
∴△CBB1为等边三角形，
∵BC＝1，∴OD＝，
∵AC⊥AB1，∴OA＝B1C＝，
∴AD＝＝，由OH·AD＝OD·OA，∴OH＝，
∵O为B1C的中点，
∴B1到平面ABC的距离为.(12分)
20．(本小题满分12分)
已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，焦距为2，点(2，1)在该椭圆上．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)直线x＝2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x＝2两侧的动点．当点A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，问直线AB的斜率是否为定值，若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由．
【解析】(Ⅰ)因为椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，
所以设椭圆方程为＋＝1，
因为焦距为2，所以c＝，
设焦点坐标F1 ，F2，
又因为点在该椭圆上，代入椭圆方程得＋＝1 ，即＋＝1，
解得a2＝8，所以b2＝2，
则椭圆C的方程为＋＝1.(4分)
(Ⅱ)将x＝2代入椭圆方程可得＋＝1，解得y＝±1，
则P，Q.
当点A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，则直线PA与直线PB的斜率互为相反数，
不妨设kPA＝k>0，则kPB＝－k(k≠0)，(6分)
所以直线PA的方程为y－1＝k(x－2)，
联立解得x2＋x＋16k2－16k－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为2，x1是该方程的两根，
所以2x1＝，即x1＝，(8分)
同理直线PB的方程为y＝－kx＋2k＋1，且x2＝，
所以x1＋x2＝，x1－x2＝－，
所以kAB＝＝＝，
即直线AB的斜率为定值.(12分)
21．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝mln x－x2(m∈R，m>0)．
(Ⅰ)若m＝2，求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)若y＝f(x)在[，e]上有零点，求m的取值范围．
【解析】(Ⅰ)m＝2时，f＝－，f′＝－x，
∴f′＝1.故所求切线方程为y＋＝x－1，即2x－2y－3＝0.(4分)
(Ⅱ)依题意f′＝－x＝，
①当00，此时函数y＝f(x)无零点)．(8分)
③当e0，f(x)单调递增，
若x∈(，e]，f′(x)<0，f单调递减，
由m>e时，f()＝>0.
故只需f(e)≤0，即m－e2≤0，又e≤，
故此时e0，t2>0，
由参数t的几何意义可知，＝，＝，
所以＋＝＋＝＋ ＝＝.(10分)
23．(本小题满分10分)选修4—5: 不等式选讲
已知函数f(x)＝＋.
(Ⅰ)若f(x)的最小值为3，求实数a的值；
(Ⅱ)若a＝2时，不等式f(x)≤4的解集为A，当m，n∈A时，求证：≥2.
【解析】(Ⅰ)因为f＝＋≥ ＝，
当且仅当≤0时取“＝”号，
所以＝3，解得a＝1或－5.(5分)
(Ⅱ)当a＝2时，f＝＋＝
当x<－2时，由f≤4，得－2x≤4，解得x≥－2，又x<－2，所以不等式无实数解；
当－2≤x<2时，f≤4恒成立，所以－2≤x<2；
当x≥2时，由f≤4，得2x≤4，解得x＝2；
所以f≤4的解集为A＝{x|－2≤x≤2}．
－4＝－4
＝m2n2＋16－4m2－4n2＝＋ ＝.
因为m，n∈，所以≤0，≤0，所以－4≥0，
即≥4，所以≥2.(10分)
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