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- 2021-06-12 发布
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班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
绝密 ★ 启用前
2018年最新高考信息卷
文 科 数 学（四）
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知在复平面内，复数对应的点是，则复数的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵复数对应的点是，∴，∴复数的共轭复数．故选D．
2．等比数列的前项和为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，，当时，，
所以，，故选B．
3．若实数，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．不存在
【答案】B
【解析】由题得，不等式组对应的区域为如图所示的开放区域（阴影部分），当直线经过点时，直线的纵截距最小，所以的最小值为．故选B．
4．已知函数，，则函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于函数，当时，，所以，同理当时，，所以函数是偶函数．令，所以，所以函数是偶函数，所以排除B，D．
当时，，，．故选A．
5．为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在，其中支出金额在的学生有人，频率分布直方图如图所示，则（ ）
A．180 B．160 C．150 D．200
【答案】A
【解析】对应的概率为，所以．故选A．
6．三国时期我国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中直角三角形中较小的锐角满足，现在向该正方形区域内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题得，，．设直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，所以飞镖落在小正方形内的概率是，故选A．
7．如图所示的一个算法的程序框图，则输出d的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先读懂程序框图，由程序框图得，表示的就是上半圆上的点到直线的距离，画图由数形结合可以得到，故选C．
8．如图，点在正方体的棱上，且，削去正方体过，，三点所在的平面下方部分，则剩下部分的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】先作出经过，，三点所在的平面，可以取上一点，使，则平行四边形就是过，，三点所在的平面（两个平行的平面被第三个平面所截交线平行），所以剩下部分的三视图是A．故选A．
9．已知函数在点处的切线为，动点在直线上，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题得，，．
所以切线方程为，即，，，（当且仅当，时取等号）．
故选D．
10．设，函数的图象向右平移个单位长度后与函数图象重合，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的图象向右平移个单位长度后，得到，与函数图象重合，则：，，解得：，，当时，，故选C．
11．设，是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角的大小为，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】假设点在双曲线的右支上，由题得，，，，所以最短边是，最小角为．
由余弦定理得，．，，，，，．，所以双曲线的渐近线方程为．
故选B．
12．已知数列满足对时，，且对，有，则数列的前项的和为（ ）
A．2448 B．2525 C．2533 D．2652
【答案】B
【解析】由题得，
，
是周期为的函数，且，，，，
．
故选B．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知向量，满足，，，，则，的夹角为__________．
【答案】
【解析】由题得，因为，所以，，，．故填．
14．已知椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，点，当点在椭圆上运动时，的周长的最大值为____________．
【答案】14
【解析】如图所示设椭圆的左焦点为，
，则，∵，
∴的周长，当且仅当三点，，共线时取等号．∴的周长最大值等于．故答案为．
15．在三棱锥中，，，，当三梭锥的体积最大时，其外接球的表面积为__________．
【答案】
【解析】∵，，，∴，即为直角三角形，当面时，三梭锥的体积最大，又∵，外接圆的半径为，故外接球的半径满足，∴外接球的表面积为．
故答案为．
16．已知，，关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【解析】，则，令，，，所以在单调递减，在上单调递增，且，因为不等式有且只有两个整数解，则只需满足，即可，所以．故填．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，中为钝角，过点作，交于，已知，．
（1）若，求的大小；
（2）若，求的长．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）在中，由正弦定理得，，
解得，又为钝角，则，故．
（2）设，则．
∵，∴，∴．
在中由余弦定理得，，
∴，解得，故．
18．（12分）某养殖的水产品在临近收获时，工人随机从水中捕捞只，其质量分别在，，，，，（单位：克），经统计分布直方图如图所示．
（1）求这组数据的众数；
（2）现按分层抽样从质量为，的水产品中随机抽取只，在从这只中随机抽取只，求这只水产品恰有只在内的概率；
（3）某经销商来收购水产品时，该养殖场现还有水产品共计约只要出售，经销商提出如下两种方案：
方案：所有水产品以元/只收购；
方案：对于质量低于克的水产品以元/只收购，不低于克的以元/只收购，
通过计算确定养殖场选择哪种方案获利更多？
【答案】（1）；（2）；（3）见解析．
【解析】（1）该样本的众数为．
（2）抽取的只水产品中，质量在和内的分别有只和只．
设质量在内的只水产品分别为，，，，质量在内的只水产品分别为，．从这6只水产品中选出3只的情况共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共计种，
其中恰有一个在内的情况有，，，，，，，，，，，共计种，
因此概率．
(3)方案：元；
方案：低于克：元，不低于克：元，
总计元．
由，故方案获利更多，应选方案．
19．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，分别是棱、的中点．
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）连接，由直三棱柱知，
∵，又有，∴平面，
∵，分别为，的中点，则，
∴平面，∴，
∵，所以，，
∴平面，∴．
（2）设点到平面的距离为，
∵，，，
∴平面，由知，，
很明显是边长为的等边三角形，其面积为，
即，解得．∴点到平面的距离为．
20．（12分）直线与抛物线交于，两点，且，其中为原点．
（1）求此抛物线的方程；
（2）当时，过，分别作的切线相交于点，点是抛物线上在，之间的任意一点，抛物线在点处的切线分别交直线和于点，，求与的面积比．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设，，将代入，得．
其中，，．
所以，．
由已知，，．所以抛物线的方程．
（2）当时，，，
易得抛物线在，处的切线方程分别为和．从而得．
设，则抛物线在处的切线方程为，
设直线与轴交点为，则．
由和联立解得交点，
由和联立解得交点，
所以，
，
所以与的面积比为．
21．（12分）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在处取得极值，对任意，恒成立，求实数的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）的定义域为，，当时，由，得；由，得，∴在上递减，在上递增．
(2)∵函数在处取得极值，
∴，则，从而，．
因此，对任意，恒成立⇔对任意，恒成立，令，则，
令，得，则在上递减，在上递增，
∴，即，故实数的最大值是．
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．（10分）【选修4-4坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数）．在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的方程为．
（1）求圆的直角坐标方程；
（2）设圆与直线l交于点，，求的大小．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，得圆的直角坐标方程为：．
（2）将直线l的参数方程代入圆的方程可得：，
整理得：．∴，．
根据参数方程的几何意义，由题可得：
．
23．（10分）【选修4-5不等式选讲】
已知，．
（1）若且的最小值为，求的值；
（2）不等式的解集为，不等式的解集为，，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）(当时，等号成立），
∵的最小值为，∴，∴或，又，∴．
（2）由得，，∵，
∴，，
即，且，
且．
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