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- 2021-06-12 发布
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天天练 22 等比数列
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一、选择题
1.[2019·四川成都南充高中模拟]已知等比数列的前3项为x,3x+3,6x+6,则其第4项的值为( )
A.-24 B.-24或0
C.12或0 D.24
答案:A
解析:由x,3x+3,6x+6成等比数列,得(3x+3)2=x(6x+6).解得x1=-3或x2=-1(此时a2=a3=0,不合题意,舍去).故这个等比数列的首项为-3,公比为2,所以an=-3·2n-1,所以数列的第4项为a4=-24.故选A.
2.[2019·河北保定一中模拟]若项数为2m(m∈N*)的等比数列的中间两项正好是方程x2+px+q=0的两个根,则此数列的各项积是( )
A.pm B.p2m
C.qm D.q2m
答案:C
解析:由题意得amam+1=q,所以由等比数列的性质得此数列各项积为(amam+1)m=qm.
3.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5等于( )
A. B.
C. D.
答案:B
解析:显然公比q≠1,
由题意得
解得或(舍去),
∴S5===.
4.[2019·福建闽侯模拟]已知数列{an}为等比数列,且a1a13+2a=5π,则cos(a2a12)的值为( )
A.- B.
C. D.
答案:D
解析:∵a1a13+2a=5π,∴a2a12+2a2a12=5π,∴a2a12=,∴cos(a2a12)=cos=.故选D.
5.[2019·合肥模拟]已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a5=16,a2=2,则公比q=( )
A.4 B.
C.2 D.
答案:C
解析:由题意,得解得或(舍去),故选C.
6.[2019·新余调研]已知等比数列{an}中,a2=2,a6=8,则a3a4a5=( )
A.±64 B.64
C.32 D.16
答案:B
解析:由等比数列的性质可知,a2a6=a=16,而a2,a4,a6同号,故a4=4,所以a3a4a5=a=64.故选B.
7.[2019·辽宁联考]各项为正数的等比数列{an}中,a4与a14的等比中项为2,则log2a7+log2a11的值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案:C
解析:由题意得a4a14=(2)2=8,由等比数列的性质,得a4a14=a7a11=8,∴log2a7+log2a11=log2(a7a11)=log28=3,故选C.
8.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2n=6,S3n=14,则S4n-Sn的值为( )
A.18 B.20
C.24 D.28
答案:D
解析:由等比数列的性质知,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n构成等比数列,设Sn=x,则x,6-x,14-6构成等比数列,得到(6-x)2
=8x,即x2-20x+36=0,解得x=2或x=18(舍去).从而Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n是以2为首项,==2为公比的等比数列,则S4n-S3n=24=16,故S4n=30,S4n-Sn=30-2=28,选D.
二、非选择题
9.[2019·石家庄模拟]在等比数列{an}中,若a7+a8+a9+a10=,a8a9=-,则+++=________.
答案:-
解析:因为+=,+=,由等比数列的性质知a7a10=a8a9,
所以+++==÷=-.
10.已知数列{cn},其中cn=2n+3n,且数列{cn+1-pcn}为等比数列,则常数p=________.
答案:2或3
解析:由数列{cn+1-pcn}为等比数列,得(c3-pc2)2=(c2-pc1)(c4-pc3),即(35-13p)2=(13-5p)·(97-35p),解得p=2或p=3.
11.在等比数列{an}中,公比q>1,a1+am=17,a2am-1=16,且前m项和Sm=31,则项数m=________.
答案:5
解析:由等比数列的性质知a1am=a2am-1=16,又a1+am=17,q>1,所以a1=1,am=16,Sm====31,解得q=2,am=a1qm-1=2m-1=16,所以m=5.
12.[2019·内蒙古包钢一中调研]在和之间插入三个正数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为________.
答案:216
解析:在和之间插入三个正数,使这五个数成等比数列,设插入的三个正数为a,b,c,则b2=ac=×=36,b=6,从而abc=b3=63=216.
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一、选择题
1.[2019·广州综合测试]已知数列{an}为等比数列,若a4+a6=10,则a7(a1+2a3)+a3a9的值为( )
A.10 B.20
C.100 D.200
答案:C
解析:a7(a1+2a3)+a3a9=a7a1+2a7a3+a3a9=a+2a4a6+a=(a4+a6)2=102=100.
2.已知数列{an}的前n项和Sn=4n+b(b是常数,n∈N*),若这个数列是等比数列,则b=( )
A.-1 B.0
C.1 D.4
答案:A
解析:显然数列{an}的公比不等于1,所以Sn==·qn-=4n+b,
∴b=-1.
3.[2019·湖北重点中学联考]《九章算术》中:今有蒲生一日,长三尺.莞生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等.意思是蒲第一天长3尺,以后逐日减半;莞第一天长1尺,以后逐日增加一倍,则( )天后,蒲、莞长度相等?参考数据:lg2≈0.301 0,lg3≈0.477 1,结果精确到0.1( )
A.2.2 B.2.4
C.2.6 D.2.8
答案:C
解析:设蒲每天的长度构成等比数列{an},其首项a1=3,公比为,其前n项和为An.设莞每天的长度构成等比数列{bn},其首项b1=1,公比为2,其前n项和为Bn.则An=,Bn=.设经过x
天后,蒲、莞长度相等,则=,化简得2x+=7,计算得出2x=6,2x=1(舍去).所以x==1+≈2.6.则估计2.6天后蒲、莞长度相等.故选C.
4.[2019·重庆月考]在等比数列{an}中,a1和a2 018是方程2x2+x-2 018=0的两个根,则a4·a2 015=( )
A.-2 018 B.2 018
C.1 009 D.-1 009
答案:D
解析:由题意得a1和a2 018是方程2x2+x-2 018=0的两个根,根据根与系数的关系得a1·a2 018=-1 009.在等比数列{an}中,a4·a2 015=a1·a2 018=-1 009.故选D.
5.[2019·黑龙江齐齐哈尔模拟]已知Sn是公比为4的等比数列{an}的前n项和,若man-3Sn=8,则m=( )
A.3 B.4
C.5 D.6
答案:B
解析:∵man-3Sn=8,∴man+1-3Sn+1=8,两式相减得man+1-man-3an+1=0,(m-3)an+1=man.由条件知m≠3,则an+1=an.由已知可得=4,∴m=4.故选B.
6.在数列{an}中,“an=2an-1,n=2,3,4,…”是“{an}是公比为2的等比数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:B
解析:当an=0时,也有an=2an-1,n=2,3,4,…,但{an}不是等比数列,因此充分性不成立;当{an}是公比为2的等比数列时,有=2,n=2,3,4,…,即an=2an-1,n=2,3,4,…,所以必要性成立.故选B.
7.已知等比数列{an}共有10项,其中奇数项之积为2,偶数项之积为64,则其公比q为( )
A. B.
C.2 D.2
答案:C
解析:由奇数项之积为2,偶数项之积为64,得a1·a3·a5·a7·a9=2,a2·a4·a6·a8·a10=64,则q5==32,则q=2,故选C.
8.[2019·贵阳模拟]已知数列{an}满足a1=1,an-1=3an(n≥2,n∈N*),其前n项和为Sn,则满足Sn≥的n的最小值为( )
A.6 B.5
C.8 D.7
答案:B
解析:由an-1=3an(n≥2)可得=(n≥2),可得数列{an}是首项为a1=1,公比为q=的等比数列,所以Sn==.由Sn≥可得≥,1-n≥,得n≥5(n∈N*),故选B.
二、非选择题
9.[2019·衡水模拟]已知在数列{an}中,an=-4n+5,等比数列{bn}的公比q满足q=an-an-1(n≥2),且b1=a2,则|b1|+|b2|+…+|bn|=________.
答案:4n-1
解析:由题意知,q=a2-a1=-4,b1=a2=-3,所以|bn|=|-3×(-4)n-1|=3·4n-1,所以|b1|+|b2|+…+|bn|=3+3×4+3×42+…+3×4n-1=3×=4n-1.
10.[2019·郑州测试]已知数列{an}满足log2an+1=1+log2an(n∈N*),且a1+a2+a3+…+a10=1,则log2(a101+a102+…+a110)=________.
答案:100
解析:因为log2an+1=1+log2an,可得log2an+1=log22an,所以an+1=2an,所以数列{an}是以a1为首项,2为公比的等比数列,又a1+a2+…+a10=1,所以a101+a102+…+a110=(a1+a2+…+a10)×2100
=2100,所以log2(a101+a102+…+a110)=log22100=100.
11.[2019·广东深圳模拟]设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N*).
(1)设bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
解析:(1)证明 由a1=1及Sn+1=4an+2,有a1+a2=4a1+2,则a2=3a1+2=5,∴b1=a2-2a1=3.
∵Sn+1=4an+2,n∈N*,①
∴Sn=4an-1+2,n≥2,n∈N*,②
①-②得an+1=4an-4an-1,
∴an+1-2an=2(an-2an-1).
∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1,n≥2.
∴数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.
(2)由(1)可得bn=3·2n-1,
∴an+1-2an=3·2n-1,∴-=,
设cn=,则cn+1-cn=,∴c1==.
∴数列{cn}是以为首项,为公差的等差数列.
∴cn=n-,∴an=2n·cn=(3n-1)·2n-2.