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  • 2021-06-12 发布

2020届二轮复习(文)第1部分主题2复数、平面向量学案

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‎1.复数 ‎ 掌握2类复数代数形式运算的方法 ‎(1)复数的乘法:复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类项,不含i的看作另一类项,分别合并同类项即可.如T2.‎ ‎(2)复数的除法:除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数,解题时要注意把i的幂写成最简形式.复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”,其实质就是“分母实数化”.如T1.‎ ‎1.(2019·全国卷Ⅲ)若z(1+i)=2i,则z=(  )‎ A.-1-i  B.-1+i C.1-i D.1+i D [由z(1+i)=2i,得z====i(1-i)=1+i.‎ 故选D.]‎ ‎2.(2019·西安质量检测)设i是虚数单位,复数(a+i)(1+2i)为纯虚数,则实数a为(  )‎ A.-2 B.2‎ C.- D. B [因为(a+i)(1+2i)=a-2+(‎2a+1)i,且由题知其为纯虚数,所以解得a=2,故选B.]‎ ‎3.(2019·长沙模拟)已知i是虚数单位,若=1-i,则z的共轭复数为(  )‎ A.1-2i B.2-4i C.-2i D.1+2i A [因为=1-i,所以z====1+2i,z 的共轭复数为1-2i,故选A.]‎ ‎4.(2019·全国卷Ⅰ)设z=,则|z|=(  )‎ A.2    B. C.    D.1‎ C [∵z===,‎ ‎∴|z|==.故选C.]‎ ‎5.(2019·郑州第一次质量检测)在复平面内表示复数(m∈R,i为虚数单位)的点位于第二象限,则实数m的取值范围是(  )‎ A.(-∞,-1) B.(-∞,0)‎ C.(0,+∞) D.(1,+∞)‎ C [由题意,==-+i,因为在复平面内该复数对应的点位于第二象限,‎ 所以解得m>0,即m∈(0,+∞),‎ 故选C.]‎ ‎2.平面向量的线性运算 ‎ 解决平面向量问题的3种常用方法 ‎(1)直接法 求解有关平面向量的问题时,若能灵活利用平面向量加、减法运算及其几何意义进行分析,则有利于问题的顺利获解.这种解题思路,我们不妨称之为按“图”处理.如T1,T2.‎ ‎(2)建系法:处理有关平面图形的向量问题时,若能灵活建立平面直角坐标系,则可借助向量的坐标运算巧解题,这也体现了向量的代数化手段的重要性.如T3.‎ ‎(3)基底法:求解有关平面向量的问题时,若能灵活地选取基底,则有利于问题的快速获解.理论依据:适当选取一组基底e1,e2,‎ 利用平面向量基本定理及相关向量知识,可将原问题转化为关于e1,e2的代数运算问题.如T5.‎ ‎1.[一题多解]在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=(  )‎ A.-  B.- C.+ D.+ A [法一:(直接法)作出示意图如图所示.‎ =+=+=×(+)+(-)=-.故选A.‎ 法二:(建系法)不妨设△ABC为等腰直角三角形,‎ 且∠A=,AB=AC=1.‎ 建立如图所示的平面直角坐标系,‎ 则A(0,0),B(1,0),C(0,1),D,E.‎ 故=(1,0),=(0,1),‎ =(1,0)-=,‎ 即=-.]‎ ‎2.△ABC所在的平面内有一点P,满足++=,则△PBC与△ABC的面积之比是(  )‎ A.    B.    C.    D. C [因为++=,所以++=-,所以=-2=2,即P是AC边的一个三等分点,且PC=AC,由三角形的面积公式可知,==.]‎ ‎3.[一题多解](2019·太原模拟)如图,在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若=λ+μ,则λ+μ=(  )‎ A.2 B. C. D. D [法一:以AB,AD所在直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,设正方形的边长为1,‎ 则=,=,=(1,1).‎ ‎∵=λ+μ=,‎ ‎∴解得 ‎∴λ+μ=,故选D.‎ 法二:由=+,=-+,得=λ+μ=+,又=+,‎ ‎∴解得∴λ+μ=,故选D.]‎ ‎4.(2019·贵阳监测)已知向量a=(1,3),b=(-2,k),且(a+2b)∥(‎3a-b),则实数k=________.‎ ‎-6 [a+2b=(-3,3+2k),‎3a-b=(5,9-k),由题意可得-3(9-k)=5(3+2k),解得k=-6.]‎ ‎5.[一题多解]在如图所示的方格纸中,向量a,b,c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上,若c与xa+yb(x,y为非零实数)共线,则的值为________.‎  [法一:设e1,e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量,则向量c=e1-2e2,a=2e1+e2,b=-2e1-2e2,由c与xa+yb共线,得c=λ(xa+yb),所以e1-2e2=2λ(x-y)e1+λ(x-2y)e2,所以所以则的值为.‎ 法二:建立如图所示的平面直角坐标系,则a=(2,1),b=(-2,-2),c=(1,-2),因为c与xa+yb(x,y为非零实数)共线,则c=λ(xa+yb),其中λ≠0,即解得∴=.‎ ‎]‎ ‎3.平面向量的数量积 ‎ 两个向量夹角的范围是[0,π],在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况,如已知两个向量的夹角为钝角时,不仅要求其数量积小于零,还要求不能反向共线,如T3.‎ ‎1.[一题多解]在Rt△ABC中,C=90°,AC=4,则·=(  )‎ A.-16   B.-‎8 ‎  C.8   D.16‎ D [法一:因为cos A=,所以·=||||·cos A=AC2=16,选D.‎ 法二:在上的投影为||cos A=||,故·=||·||cos A=AC2=16,故选D.]‎ ‎2.(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为(  )‎ A. B. C. D. B [设a与b的夹角为θ,‎ ‎∵(a-b)⊥b,∴(a-b)·b=0,即a·b-|b|2=0.‎ 又a·b=|a||b|·cos θ,|a|=2|b|,‎ ‎∴2|b|2cos θ-|b|2=0,∴cos θ=.‎ 又0≤θ≤π,∴θ=.‎ 故选B.]‎ ‎3.已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是(  )‎ A.∪(2,+∞) B.(2,+∞)‎ C. D. A [因为a与b的夹角为钝角,所以a·b<0且a,b不共线,即-2λ-1<0且-2+λ≠0,故λ的取值范围是∪(2,+∞).]‎ ‎4.(2019·济南模拟)设单位向量e1,e2的夹角为,a=e1+2e2,b=2e1-3e2,则b在a方向上的投影为(  )‎ A.- B.- C. D. A [由题意得,e=1,e=1,e1·e2=-,∴a·b=(e1+2e2)·(2e1-3e2)=2e+e1·e2-6e=2--6=-,|a|====,∴b在a方向上的投影为|b|cos〈a,b〉===-.故选A.]‎ ‎5.[一题多解]已知△ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足=λ,=(1-λ),λ∈R,若·=-,则λ=(  )‎ A. B. C. D. A [法一(向量法):∵=-=(1-λ)-,=-=λ-,又·=-,||=||=2,〈,〉=60°,·=||·||cos 60°=2,∴[(1-λ)-](λ-)=-,即λ||2+(λ2-λ-1)·+(1-λ)||2=,所以4λ+2(λ2-λ-1)+4(1-λ)=,解得λ=.‎ 法二(坐标法):以点A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,过点A且垂直于AB的直线为y轴,建立平面直角坐标系(图略),设A(0,0),B(2,0),C(1,),∴=(2,0),=(1,),∴P(2λ,0),Q(1-λ,(1-λ)),∵·=-,∴(-1-λ,(1-λ))·(2λ-1,-)=-,化简得4λ2-4λ+1=0,∴λ=.]‎ ‎6.(2019·郑州模拟)已知向量a与b的夹角为,|a|=1,|‎2a-b|=,则|b|=________.‎ ‎3 [∵|a|=1,a与b的夹角为,∴a·b=|b|.由已知得,|‎2a-b|2=4|a|2+|b|2-‎4a·b=13,∴|b|2-2|b|-9=0,∴|b|=3.]‎