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- 2021-06-12 发布
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1.复数
掌握2类复数代数形式运算的方法
(1)复数的乘法:复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类项,不含i的看作另一类项,分别合并同类项即可.如T2.
(2)复数的除法:除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数,解题时要注意把i的幂写成最简形式.复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”,其实质就是“分母实数化”.如T1.
1.(2019·全国卷Ⅲ)若z(1+i)=2i,则z=( )
A.-1-i B.-1+i
C.1-i D.1+i
D [由z(1+i)=2i,得z====i(1-i)=1+i.
故选D.]
2.(2019·西安质量检测)设i是虚数单位,复数(a+i)(1+2i)为纯虚数,则实数a为( )
A.-2 B.2
C.- D.
B [因为(a+i)(1+2i)=a-2+(2a+1)i,且由题知其为纯虚数,所以解得a=2,故选B.]
3.(2019·长沙模拟)已知i是虚数单位,若=1-i,则z的共轭复数为( )
A.1-2i B.2-4i
C.-2i D.1+2i
A [因为=1-i,所以z====1+2i,z
的共轭复数为1-2i,故选A.]
4.(2019·全国卷Ⅰ)设z=,则|z|=( )
A.2 B. C. D.1
C [∵z===,
∴|z|==.故选C.]
5.(2019·郑州第一次质量检测)在复平面内表示复数(m∈R,i为虚数单位)的点位于第二象限,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-1) B.(-∞,0)
C.(0,+∞) D.(1,+∞)
C [由题意,==-+i,因为在复平面内该复数对应的点位于第二象限,
所以解得m>0,即m∈(0,+∞),
故选C.]
2.平面向量的线性运算
解决平面向量问题的3种常用方法
(1)直接法
求解有关平面向量的问题时,若能灵活利用平面向量加、减法运算及其几何意义进行分析,则有利于问题的顺利获解.这种解题思路,我们不妨称之为按“图”处理.如T1,T2.
(2)建系法:处理有关平面图形的向量问题时,若能灵活建立平面直角坐标系,则可借助向量的坐标运算巧解题,这也体现了向量的代数化手段的重要性.如T3.
(3)基底法:求解有关平面向量的问题时,若能灵活地选取基底,则有利于问题的快速获解.理论依据:适当选取一组基底e1,e2,
利用平面向量基本定理及相关向量知识,可将原问题转化为关于e1,e2的代数运算问题.如T5.
1.[一题多解]在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=( )
A.- B.-
C.+ D.+
A [法一:(直接法)作出示意图如图所示.
=+=+=×(+)+(-)=-.故选A.
法二:(建系法)不妨设△ABC为等腰直角三角形,
且∠A=,AB=AC=1.
建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),B(1,0),C(0,1),D,E.
故=(1,0),=(0,1),
=(1,0)-=,
即=-.]
2.△ABC所在的平面内有一点P,满足++=,则△PBC与△ABC的面积之比是( )
A. B. C. D.
C [因为++=,所以++=-,所以=-2=2,即P是AC边的一个三等分点,且PC=AC,由三角形的面积公式可知,==.]
3.[一题多解](2019·太原模拟)如图,在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若=λ+μ,则λ+μ=( )
A.2 B.
C. D.
D [法一:以AB,AD所在直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,设正方形的边长为1,
则=,=,=(1,1).
∵=λ+μ=,
∴解得
∴λ+μ=,故选D.
法二:由=+,=-+,得=λ+μ=+,又=+,
∴解得∴λ+μ=,故选D.]
4.(2019·贵阳监测)已知向量a=(1,3),b=(-2,k),且(a+2b)∥(3a-b),则实数k=________.
-6 [a+2b=(-3,3+2k),3a-b=(5,9-k),由题意可得-3(9-k)=5(3+2k),解得k=-6.]
5.[一题多解]在如图所示的方格纸中,向量a,b,c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上,若c与xa+yb(x,y为非零实数)共线,则的值为________.
[法一:设e1,e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量,则向量c=e1-2e2,a=2e1+e2,b=-2e1-2e2,由c与xa+yb共线,得c=λ(xa+yb),所以e1-2e2=2λ(x-y)e1+λ(x-2y)e2,所以所以则的值为.
法二:建立如图所示的平面直角坐标系,则a=(2,1),b=(-2,-2),c=(1,-2),因为c与xa+yb(x,y为非零实数)共线,则c=λ(xa+yb),其中λ≠0,即解得∴=.
]
3.平面向量的数量积
两个向量夹角的范围是[0,π],在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况,如已知两个向量的夹角为钝角时,不仅要求其数量积小于零,还要求不能反向共线,如T3.
1.[一题多解]在Rt△ABC中,C=90°,AC=4,则·=( )
A.-16 B.-8 C.8 D.16
D [法一:因为cos A=,所以·=||||·cos A=AC2=16,选D.
法二:在上的投影为||cos A=||,故·=||·||cos A=AC2=16,故选D.]
2.(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
B [设a与b的夹角为θ,
∵(a-b)⊥b,∴(a-b)·b=0,即a·b-|b|2=0.
又a·b=|a||b|·cos θ,|a|=2|b|,
∴2|b|2cos θ-|b|2=0,∴cos θ=.
又0≤θ≤π,∴θ=.
故选B.]
3.已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是( )
A.∪(2,+∞) B.(2,+∞)
C. D.
A [因为a与b的夹角为钝角,所以a·b<0且a,b不共线,即-2λ-1<0且-2+λ≠0,故λ的取值范围是∪(2,+∞).]
4.(2019·济南模拟)设单位向量e1,e2的夹角为,a=e1+2e2,b=2e1-3e2,则b在a方向上的投影为( )
A.- B.- C. D.
A [由题意得,e=1,e=1,e1·e2=-,∴a·b=(e1+2e2)·(2e1-3e2)=2e+e1·e2-6e=2--6=-,|a|====,∴b在a方向上的投影为|b|cos〈a,b〉===-.故选A.]
5.[一题多解]已知△ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足=λ,=(1-λ),λ∈R,若·=-,则λ=( )
A. B.
C. D.
A [法一(向量法):∵=-=(1-λ)-,=-=λ-,又·=-,||=||=2,〈,〉=60°,·=||·||cos 60°=2,∴[(1-λ)-](λ-)=-,即λ||2+(λ2-λ-1)·+(1-λ)||2=,所以4λ+2(λ2-λ-1)+4(1-λ)=,解得λ=.
法二(坐标法):以点A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,过点A且垂直于AB的直线为y轴,建立平面直角坐标系(图略),设A(0,0),B(2,0),C(1,),∴=(2,0),=(1,),∴P(2λ,0),Q(1-λ,(1-λ)),∵·=-,∴(-1-λ,(1-λ))·(2λ-1,-)=-,化简得4λ2-4λ+1=0,∴λ=.]
6.(2019·郑州模拟)已知向量a与b的夹角为,|a|=1,|2a-b|=,则|b|=________.
3 [∵|a|=1,a与b的夹角为,∴a·b=|b|.由已知得,|2a-b|2=4|a|2+|b|2-4a·b=13,∴|b|2-2|b|-9=0,∴|b|=3.]