安徽省安庆市五校联盟2019届高三下学期开学考试数学（理）答案 6页

五校联盟 2018-2019 学年度第二学期高三联考数学理科答案 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分 150 分，考试时间 120 分钟 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)‎ ‎ ‎ 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求，把答案填涂在答题卡的相应位置。‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D A B A C B C D B C B 第Ⅱ卷 （非选择题 共 90 分）‎ ‎2‎ ‎( )‎ 二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置。‎ ‎13. 5 14. 25 15.‎ ‎16． 1 n ‎2‎ 三、解答题：本大题有 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分 12 分）‎ 解：（Ⅰ） f (x) = 2sin x cos x - 3(2cos2 x -1) = sin 2x - p p 3‎ ‎3 cos 2x = 2sin(2x - p ) 2 分 ‎3‎ 由 2kp + £ 2x - £ 2kp + ‎2 3 2‎ ‎p (k Î Z ), 4 分 ‎2kp + 5p £ 2x £ 2kp + 11p (k Î Z )‎ ‎6 6‎ ‎5p 所以kp + £ x £ kp + 11p (k Î Z ) 5 分 ‎12 12‎ f (x) 的单调递减区间为[kp + 5 p , kp + 11p ](k Î Z ) 。 6 分 ‎12 12‎ A p3‎ ‎（Ⅱ）由 f ( + ) = 2sin A = 3,sin A = , 7 分 ‎2 6 2‎ A 为锐角， A = p8 分 ‎3‎ 又 a = 7 ，由正弦定理： 2R = ‎a = sin A ‎7‎ sin p ‎3‎ ‎= 14 , 9 分 ‎3‎ 又 a sin A ‎= b + c sin B + sin C ‎且sin B + sin C = 13 3,‎ ‎14‎ b + c =13‎ ‎- ----- -----10 分 由余弦定律知： a2 = b2 + c2 - 2bccos A = a2 + b2 - bc = (b + c)2 - 3bc 11 分 3bc = (b + c)2 - a2 =132 - 72 =120,‎ bc = 40‎ 即 abc = 280 12 分 ‎18.（本小题满分 12 分）‎ 证明：（Ⅰ）连接 BD ，交 AC 于点 O ，设 PC 中点为 F ，连接OF, EF ．因为 O ， F 分别为 AC ， PC 的中点，所以OF PA ，且OF = 1 PA ，‎ ‎2‎ 因为 DE PA ，且 DE = 1 PA ，所以OF DE ，且OF = DE ．‎ ‎2‎ EF 所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD ，即 BD EF ． ····················· 2 分 因为 PA ^ 平面 ABCD ， BD Ì 平面 ABCD ，所以 PA ^ BD ． 因为 ABCD 是菱形，所以 BD ^ AC ．‎ 因为 PA AC = A ，所以 BD ^ 平面 PAC ． ································ ··············· 4 分因为 BD EF ，所以 EF ^平面 PAC ．‎ z P E A D y B M C x 因为 FE Ì平面 PCE ，所以平面 PAC ^ 平面 PCE ． 5 分 ‎（Ⅱ）因为直线 PC 与平面 ABCD 所成角为45，所以ÐPCA = 45‎ ‎， 所以 AC = PA = 2 ．‎ 所以 AC = AB ，故△ ABC 为等边三角形．设 BC 的中点为 M ，连接 AM ，‎ 则 AM ^ BC ．以 A 为原点， AM ， AD ， AP 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 A - xyz ．································ ································ ····················· 7 分 则 P (0, 0，2) ， C ( 3,1，0) ， E (0, 2，1) ， D (0, 2，0) ，‎ PC = ( ‎3,1, -2), CE = (- PCE ‎3,1,1), DE = (0,0,1) ．‎ PC = 0,‎ CE = 0,‎ ìïn ‎‎ ïì 3x + y ‎‎ - ‎2z ‎‎ = 0,‎ 设平面 ‎的法向量为 n = ( x , y , z ) ，则 ‎即í 1 1 1‎ ‎1 1 1 í n ‎ï- 3x + y + z ‎= 0.‎ îï î ‎1 1 1‎ 令 y = 1 ，则ìïx1 = ‎3, 所以n = ( ‎3,1, 2) ． 9 分 ‎1 í z ‎= 2.‎ îï 1‎ 设平面CDE 的法向量为 m = ( x2 , y 2 , z2 ) ，‎ 则 ìïm × DE = 0, 即ìïz2 = 0,‎ ‎令 x = 1, 则ìï y2 = ‎3, 所以m = (1, 3, 0)．‎ í í- ‎3x + y + z ‎= 0. 2‎ ‎í z = 0.‎ ïîm × CE = 0, ïî ‎2 2 2‎ ‎îï 2‎ cos ‎n, m = ‎n × m = = 6‎ ‎2 3‎ ‎2 2 × 2‎ ‎，‎ n × m 4‎ ‎6‎ 设二面角 P - CE - D 的大小为q ，由于q 为钝角，所以cosq =- ，············· 11 分 ‎4‎ 即二面角 P - CE - D 的余弦值为- ‎19.（本小题满分 12 分）‎ ‎6 ． ································ ················· 12 分 ‎4‎ 解：（Ⅰ）根据题意，填写列联表如下；‎ 在家 其他 合计 中国 ‎22‎ ‎33‎ ‎55‎ 美国 ‎9‎ ‎36‎ ‎45‎ 合计 ‎31‎ ‎69‎ ‎100‎ ‎································ ································ ································ ········ 3 分 根据表中数据，计算 = ，‎ ‎------------------------------------------------------------------5 分 ‎∴有 95%的把握认为“恋家”与否与国别有关； 6 分 ‎（Ⅱ）依题意得，5 个人中 2 人来自于“在家中”是幸福，3 人来自于“在其他场所”是幸福，‎ ‎∴X 的可能取值为 0，1，2； 7 分 计算 ， ， ； 9 分 ‎∴X 的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ P ‎---------------------10 分 数学期望为： ． 12 分 ‎20.（本小题满分 12 分）‎ 解（Ⅰ）：设 P（x，y），则 N（x，0）， ， 1 分 又 ∵ NM = 1 NP = (0 , y ) ，∴ M (x , y ) ， 3 分 ‎2 2 2 2 2 2‎ 由 M 在椭圆上，得，即 ； 5 分 ‎（Ⅱ）证明：当l1 与 x 轴重合时，|AB|=6， ，‎ ‎∴ ． 6 分 当 l1 与 x 轴垂直时， ，|CD|=6，‎ ‎∴ ． 7 分 当 l1 与 x 轴不垂直也不重合时，可设 l1 的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），‎ 此时设 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），‎ 把直线 l1 与曲线 E 联立 ，‎ 得（8+9k2）x2﹣18k2x+9k2﹣72=0， 8 分 可得△=（﹣18k2）2﹣4（8+9k2）（9k2﹣72）＞0．‎ ‎， ．‎ ‎∴ ， 9 分 把直线 l2 与曲线 E 联立 ，‎ 同理可得 ． 11 分 ‎∴ 为定值． 12 分 ‎21.（本小题满分 12 分）‎ 解：（1）函数 f (x) 的定义域为(0, +¥)，‎ ‎' a2 2x2 - ax - a2 (2x + a)( x - a) f ( x) = 2x - a - = = ， 2 分 x x x ‎①若a = 0 ，则 f (x) = x2 ，在(0, +¥)单调递增； 3 分 ‎②若a > 0 ，则由 f ¢(x) = 0 得 x = a ．‎ 当 x Î(0, a) 时， f ¢(x) < 0 ；当 x Î(a, +¥) 时， f ¢(x) > 0 ，‎ 所以 f (x) 在(0, a) 单调递减，在(a, +¥) 单调递增； 4 分 ‎③若a < 0 ，则由 f ¢(x) = 0 得 x =- a ．‎ ‎2‎ 当 x Îæ 0, - a ö 时， f ¢(x) < 0 ；当 x Îæ - a , +¥ö 时， f ¢(x) > 0 ，‎ ç 2 ÷ ç 2 ÷ è ø è ø 故 f (x) 在æ 0, - a ö 单调递减，在æ - a , +¥ö 单调递增． 6 分 ç 2 ÷ ç 2 ÷ è ø è ø ‎（2）①若a = 0 ，则 f (x) = x2 ，所以 f ( x) ³ 0 ． 7 分 min ‎②若a > 0 ，则由（1）得， f (x) = f (a) = -a2 ln a ，‎ 从而当且仅当-a2 ln a ³ 0 即 a £ 1时， f ( x) ³ 0 ，‎ < a £ 1 8 分 a 2 é 3 æ a öù ‎③若a < 0 ，则由（1）得， f (x)min = f (- 2) = a ê 4 - ln ç- 2 ÷ú ， 9 分 é 3 æ a öù ‎ë è øû ‎3‎ ê ú 从而当且仅当a2‎ ë 4‎ ‎- ln ç - è ‎÷ ³ 0 即a ³ -2e4 时， f ( x) ³ 0 ，‎ ‎2 øû ‎3‎ -2e4 £ a < 0 . 11 分 综上，实数 a 的最大值为1 12 分 ‎22.（本小题满分 10 分）‎ 解：（Ⅰ）设数列{an }的公比为q ，由a = 4a a ‎3 2 6‎ ‎2‎ ‎3 3‎ 得 a2 = 4a2 × q2 1 分 所以q2 = 1 2 分 ‎4‎ ‎1‎ ‎1‎ 由条件可知an > 0 ,故q = 2 3 分 由 a1 + 2a2 = 1得a1 + 2a1q = 1，所以a1 = 2 4 分 ‎1‎ 故数列{an }的通项公式为an = 2n 5 分 n(n +1)‎ ‎（Ⅱ） bn = log2 a1 + log2 a2 +...... + log2 an = -(1+ 2 + + n) = - ‎1 2 1 1‎ ‎.……………………7 分 ‎2‎ 故 = - = -2( - ) 8 分 ‎ ‎ bn n(n +1) n n +1‎ 1 + 1 +... + 1‎ ‎ ‎ ‎= -2 é(1- 1) + (1 - 1) +... + ( 1 -   ‎1 )ù = - 2n ‎‎ ‎.……………………9 分 b1 b2‎ ‎bn êë ‎2 2 3‎ ‎n n +1 úû ‎n +1‎ ‎1‎ 所以数列{ }‎ bn ‎‎ 的前n 项和为- ‎2n n +1‎ ‎‎ ‎.…………………………………………10 分