【数学】2020届一轮复习（文理合用）高考大题规范解答系列6概率与统计（理）作业 5页

对应学生用书[练案79理]‎ 高考大题规范解答系列(六)——概率与统计(理)‎ ‎1．(2019·长沙模拟)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．‎ ‎(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；‎ ‎(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望 ‎[解析]　(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝＝.‎ 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.‎ ‎(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.‎ 则P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)．‎ 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.‎ 所以随机变量X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎2．(2019·湖南衡阳模拟)2018年2月25日，平昌冬奥会闭幕式上的“北京8分钟”惊艳了世界．某校为了让学生更好地了解奥运，了解新时代祖国的科技发展，在高二年级举办了一次知识问答比赛．比赛共设三关，第一、二关各有两个问题，两个问题全答对，可进入下一关；第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得分别为1,2,3分的积分奖励，高二(1)班对三关中每个问题回答正确的概率依次为，，，且每个问题回答正确与否相互独立．‎ ‎(1)记A表示事件“高二(1)班未闯到第三关”，求P(A)的值；‎ ‎(2)记X表示高二(1)班所获得的积分总数，求X的分布列和期望．‎ ‎[解析]　(1)令A1表示事件“高二(1)班闯过第一关”，A2表示事件“高二(1)班闯过第二关”，因为P(A1)＝()2＝，P(A2)＝()2＝，所以P(A)＝P()＋P(A1)＝(1－)＋×(1－)＝ ‎.‎ ‎(2)随机变量X的取值为0,1,3,6，则P(X＝0)＝1－()2＝，P(X＝1)＝()2×[1－()2]＝，‎ P(X＝3)＝()2×()2×(×＋×)＝，‎ P(X＝6)＝()2×()2×(×＋××＋××)＝，‎ 故随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ P 所以E(X)＝0×＋1×＋3×＋6×＝.‎ ‎3．(2019·哈尔滨模拟)一个袋中有大小、质地完全相同的4个红球和1个白球，共5个球，现从中每次随机取出2个球，若取出的有白球必须把白球放回去，红球不放回，然后取第二次，第三次，…，直到把红球取完只剩下1个白球为止．用ξ表示终止时取球的次数．‎ ‎(1)求ξ＝2的概率；‎ ‎(2)求ξ的分布列及数学期望．‎ ‎[解析]　(1)∵随机变量ξ＝2表示从袋中随机取球2次且每次取的都是红球，∴P(ξ＝2)＝×＝，即ξ＝2的概率为.‎ ‎(2)由题意知随机变量ξ的所有可能取值为2,3,4，由(1)知P(ξ＝2)＝.又P(ξ＝4)＝×××＝，‎ ‎∴P(ξ＝3)＝＝，‎ ‎∴ξ的分布列为 ξ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P Eξ＝2×＋3×＋4×＝.‎ ‎4．(2019·昆明模拟)从某工厂的一个车间抽取某种产品50件，产品尺寸(单位：cm)落在各个小组的频数分布如下表：‎ 数据 分组 ‎[12.5，‎ ‎15．5)‎ ‎[15.5，‎ ‎18．5)‎ ‎[18.5，‎ ‎21．5)‎ ‎[21.5，‎ ‎24．5)‎ ‎[24.5，‎ ‎27．5)‎ ‎[27.5，‎ ‎30．5)‎ ‎[30.5，‎ ‎33．5)‎ 频数 ‎3‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎(1)根据频数分布表，估计该产品尺寸落在[27.5，33.5)内的概率；‎ ‎(2)求这50件产品尺寸的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；‎ ‎(3)根据频数分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝22.41.利用该正态分布，求P(z≥27.43)．‎ 附：①若随机变量z服从正态分布N(μ，σ2)，则 P(μ－σ