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- 2021-06-12 发布
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东北三校2013届高三第二次高考模拟考试
理科数学
本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:
1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色自己的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须使用黑色自己的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I卷(选择题,共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则集合为
A.
B.
C.
D.
2.“a = 1”是“复数(,i为虚数单位)是纯虚数”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.以下有关线性回归分析的说法不正确的是
A.通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心
B.用最小二乘法求回归直线方程,是寻求使最小的a,b的值
C.相关系数r越小,表明两个变量相关性越弱
D.越接近1,表明回归的效果越好
4.将一枚质地均匀的硬币连掷4次,出现“至少两次正面向上”的概率为
A.
B.
C.
D.
5.已知为等比数列,Sn是它的前n项和。若,且a4与a7的等差中项为,
A.35
B.33
C.31
D.29
6.将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所的图象的函数解析式是
A.
B.
C.
D.
7.某几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为
A.
B.
C.
D.
8.已知圆M过定点且圆心M在抛物线上运动,若y轴截圆M所得的弦长为AB,则弦长等于
A.4
B.3
C.2
D.与点M位置有关的值
9.当a > 0时,函数的图象大致是
10.已知椭圆与双曲线有相同的焦点和,若c是a与m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率为
A.
B.
C.
D.
11.已知函数的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,则不等式组所确定的平面区域在内的面积为
A.
B.
C.
D.
12.在底面半径为3,高为的圆柱形有盖容器中,放入一个半径为3的大球后再放入与球面、圆柱侧面及上底面均相切的小球,则放入的小球的个数最多的为
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
第II卷(非选择题,共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。
13.已知函数,则__________。
14.执行如图所示的程序框图,则输出结果S的值为__________。
15.平面上三个向量、、,满足,,,,则的最大值是__________。
16.已知函数是定义在R上的偶函数,当时,,若函数在R上有且仅有4个零点,则a的取值范围是__________。
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
在ΔABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且,,。
(1)求的值;
(2)求ΔABC的面积。
18.(本小题满分12分)
某学生社团在对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现,在回收上来的1000份有效问卷中,同学们背英语单词的时间安排共有两种:白天背和晚上临睡前背。为研究背单词时间安排对记忆效果的影响,该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排类型进行分层抽样,并完成一项实验,实验方法是,使两组学生记忆40个无意义音节(如XIQ、GEH),均要求在刚能全部记清时就停止识记,并在8小时后进行记忆测验。不同的是,甲组同学识记结束后一直不睡觉,8小时后测验;乙组同学识记停止后立刻睡觉,8小时后叫醒测验。
两组同学识记停止8小时后的准确回忆(保持)情况如图(区间含左端点而不含右端点)
(1)估计1000名被调查的学生中识记停止后8小时40个音节的保持率大于等于60%的人数;
(2)从乙组准确回忆因结束在[12,24)范围内的学生中随机选3人,记能准确回忆20个以上(含20)的人数为随机变量X,求X分布列及数学期望;
(3)从本次实验的结果来看,上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好? 计算并说明理由。
19.(本小题满分12分)
已知四边形ABCD为平行四边形,BC⊥平面ABE,AE⊥BE,BE = BC = 1,AE = ,M为线段AB的中点,N为线段DE的中点,P为线段AE的中点。
(1)求证:MN⊥EA;
(2)求四棱锥M – ADNP的体积。
20.(本小题满分12分)
设椭圆C:的两个焦点为F1、F2,点B1为其短轴的一个端点,满足
,。
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点M 做两条互相垂直的直线l1、l2设l1与椭圆交于点A、B,l2与椭圆交于点C、D,求的最小值。
21.(本小题满分12分)
已知函数,。
(1)若对任意的实数a,函数与的图象在x = x0处的切线斜率总想等,求x0的值;
(2)若a > 0,对任意x > 0不等式恒成立,求实数a的取值范围。
22.(本小题满分10分)
选修4 - 1:集合证明选讲
如图,AB为⊙O的直径,过点B作⊙O的切线BC,OC交⊙O于点E,AE的延长线交BC于点D。
(1)求证:CE2 = CD · CB;
(2)若AB = BC = 2,求CE和CD的长。
23.(本小题满分10分)
选修4 - 4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,已知点P,曲线C的参数方程为(φ为参数)。以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为。
(1)判断点P与直线l的位置关系,说明理由;
(2)设直线l与直线C的两个交点为A、B,求的值。
24.(本小题满分10分)
选修4 - 5:不等式选讲
设函数。
(1)求不等式的解集;
(2)若存在x使不等式成立,求实数a的取值范围。
2013年三省三校第二次联合考试理科数学答案
一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
BCCDC BBABA BC
二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13. 14. 15. 3 16.
三.解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分12分)
解:(Ⅰ)
(Ⅱ)
18.(本题满分12分)
解:(Ⅰ)∵,
由甲图知,甲组有(人),∴乙组有20人.
又∵,
∴识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于60%的在甲组中有1人
乙组有(人)
∴
即估计1000名被调查的学生中识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于60%的人数为180人.
(Ⅱ)由乙图知,乙组在之间有(人)
在之间有(人)
∴的可能取值为0,1,2,3
,
,
,
∴的分布列为
0
1
2
3
数学期望.
(Ⅲ)参考答案:
甲组学生准确回忆音节数共有:个
故甲组学生的平均保持率为
乙组学生准确回忆音节数共有:
个
故乙组学生平均保持率为,
所以临睡前背单词记忆效果更好. (只要叙述合理都给分)
19. 解:方法一:
(Ⅰ)取中点,连接,
又平面,平面,
又
又平面
,
(Ⅱ)过作于,连接
平面,
又平面,
又
平面
,又,
平面,
二面角为二面角的平面角
在中,
二面角的余弦值为
方法二:
(Ⅰ)平面平面,
平面平面,
过作平面,则
以分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系
,
(Ⅱ),,设为平面的一个法向量
为满足题意的一组解
,,设为平面的一个法向量
,为满足题意的一组解,
二面角的余弦值为
20. 解:(Ⅰ)不妨设
所以椭圆方程为
(Ⅱ)①当直线与轴重合时,
设,则
②当直线不与轴重合时,设其方程为,设
由得
由与垂直知:
当且仅当取到“=”.
综合①②,
21. 解:(Ⅰ)恒成立,
恒成立即.
方法一:恒成立,则
而当时,
则,,在单调递增,
当,, 在单调递减,
则,符合题意.
即恒成立,实数的取值范围为;
方法二:,
(1)当时,,,,在单调递减,
当,,在单调递增,
则,不符题意;
(2)当时,,
①若,,,,单调递减;当,, 单调递增,则,矛盾,不符题意;
②若,
(Ⅰ)若,;;
,在单调递减,在单调递增,在单调递减,不符合题意;
(Ⅱ)若时,,,在单调递减,,不符合题意.
(Ⅲ)若,,,,,,,, 在单调递减,在单调递增,在单调递减,,与已知矛盾不符题意.
(Ⅳ)若,,,,在单调递增;
当,, 在单调递减,
则,符合题意;
综上,得恒成立,实数的取值范围为
(Ⅱ) 由(I)知,当时,有,;于是有 ,.
则当时,有
在上式中,用代换,可得
相乘得
选做题:请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所作的第一题记分.
22.(本题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
(Ⅰ)证明:连接BE.
∵BC为⊙O的切线 ∴∠ABC=90°,……2分
∵∠AEO=∠CED ∴∠CED=∠CBE, ……4分
∵∠C=∠C∴△CED∽△CBE
∴ ∴CE=CD•CB……6分
(Ⅱ)∵OB=1,BC=2 ∴OC=
∴CE=OC-OE=-1 ……8分
由(Ⅰ)CE =CD•CB 得(-1)=2CD
∴CD=3- ……10分
23.(本题满分10分)选修4-4:极坐标与参数方程
解:(1)直线即直线的直角坐标方程为,点在直线上。
(2)直线的参数方程为(为参数),曲线C的直角坐标方程为
将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,
有,设两根为,
24.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲
设函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若存在使不等式成立,求的取值范围.
解:(1)
当时,解得不存在
当时,解得
当时,解得
综上不等式的解集为
(2)
当,,
当时,,
综上,
另解:
画出的图象,如下所示
若有解,则