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  • 2021-06-12 发布

东北三校2013届高三第二次高考模拟考试理科数学试题

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东北三校2013届高三第二次高考模拟考试 理科数学 本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。‎ ‎2.选择题使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色自己的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ ‎4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须使用黑色自己的签字笔描黑。‎ ‎5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。‎ 第I卷(选择题,共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合,,则集合为 A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎2.“a = ‎1”‎是“复数(,i为虚数单位)是纯虚数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3.以下有关线性回归分析的说法不正确的是 A.通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心 B.用最小二乘法求回归直线方程,是寻求使最小的a,b的值 C.相关系数r越小,表明两个变量相关性越弱 D.越接近1,表明回归的效果越好 ‎4.将一枚质地均匀的硬币连掷4次,出现“至少两次正面向上”的概率为 A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎5.已知为等比数列,Sn是它的前n项和。若,且a4与a7的等差中项为,‎ A.35‎ B.33‎ C.31‎ D.29‎ ‎6.将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所的图象的函数解析式是 A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎7.某几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为 A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎8.已知圆M过定点且圆心M在抛物线上运动,若y轴截圆M所得的弦长为AB,则弦长等于 A.4‎ B.3‎ C.2‎ D.与点M位置有关的值 ‎9.当a > 0时,函数的图象大致是 ‎10.已知椭圆与双曲线有相同的焦点和,若c是a与m的等比中项,n2是‎2m2‎与c2的等差中项,则椭圆的离心率为 A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎11.已知函数的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,则不等式组所确定的平面区域在内的面积为 A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎12.在底面半径为3,高为的圆柱形有盖容器中,放入一个半径为3的大球后再放入与球面、圆柱侧面及上底面均相切的小球,则放入的小球的个数最多的为 A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 第II卷(非选择题,共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。‎ ‎13.已知函数,则__________。‎ ‎14.执行如图所示的程序框图,则输出结果S的值为__________。‎ ‎15.平面上三个向量、、,满足,,,,则的最大值是__________。‎ ‎16.已知函数是定义在R上的偶函数,当时,,若函数在R上有且仅有4个零点,则a的取值范围是__________。‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 在ΔABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且,,。‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求ΔABC的面积。‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 某学生社团在对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现,在回收上来的1000份有效问卷中,同学们背英语单词的时间安排共有两种:白天背和晚上临睡前背。为研究背单词时间安排对记忆效果的影响,该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排类型进行分层抽样,并完成一项实验,实验方法是,使两组学生记忆40个无意义音节(如XIQ、GEH),均要求在刚能全部记清时就停止识记,并在8小时后进行记忆测验。不同的是,甲组同学识记结束后一直不睡觉,8小时后测验;乙组同学识记停止后立刻睡觉,8小时后叫醒测验。‎ 两组同学识记停止8小时后的准确回忆(保持)情况如图(区间含左端点而不含右端点)‎ ‎(1)估计1000名被调查的学生中识记停止后8小时40个音节的保持率大于等于60%的人数;‎ ‎(2)从乙组准确回忆因结束在[12,24)范围内的学生中随机选3人,记能准确回忆20个以上(含20)的人数为随机变量X,求X分布列及数学期望;‎ ‎(3)从本次实验的结果来看,上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好? 计算并说明理由。‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 已知四边形ABCD为平行四边形,BC⊥平面ABE,AE⊥BE,BE = BC = 1,AE = ,M为线段AB的中点,N为线段DE的中点,P为线段AE的中点。‎ ‎(1)求证:MN⊥EA;‎ ‎(2)求四棱锥M – ADNP的体积。‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ ‎ 设椭圆C:的两个焦点为F1、F2,点B1为其短轴的一个端点,满足 ‎,。‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)过点M 做两条互相垂直的直线l1、l2设l1与椭圆交于点A、B,l2与椭圆交于点C、D,求的最小值。‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知函数,。‎ ‎(1)若对任意的实数a,函数与的图象在x = x0处的切线斜率总想等,求x0的值;‎ ‎(2)若a > 0,对任意x > 0不等式恒成立,求实数a的取值范围。‎ ‎22.(本小题满分10分)‎ 选修4 - 1:集合证明选讲 如图,AB为⊙O的直径,过点B作⊙O的切线BC,OC交⊙O于点E,AE的延长线交BC于点D。‎ ‎(1)求证:CE2 = CD · CB;‎ ‎(2)若AB = BC = 2,求CE和CD的长。‎ ‎23.(本小题满分10分)‎ 选修4 - 4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,已知点P,曲线C的参数方程为(φ为参数)。以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为。‎ ‎(1)判断点P与直线l的位置关系,说明理由;‎ ‎(2)设直线l与直线C的两个交点为A、B,求的值。‎ ‎24.(本小题满分10分)‎ 选修4 - 5:不等式选讲 设函数。‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若存在x使不等式成立,求实数a的取值范围。‎ ‎2013年三省三校第二次联合考试理科数学答案 一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ BCCDC BBABA BC 二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13. 14. 15. 3 16. ‎ 三.解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本题满分12分)‎ 解:(Ⅰ) ‎ ‎(Ⅱ) ‎ ‎18.(本题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)∵,‎ 由甲图知,甲组有(人),∴乙组有20人.‎ 又∵,‎ ‎∴识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于60%的在甲组中有1人 乙组有(人)‎ ‎∴‎ 即估计1000名被调查的学生中识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于60%的人数为180人.‎ ‎(Ⅱ)由乙图知,乙组在之间有(人)‎ 在之间有(人)‎ ‎∴的可能取值为0,1,2,3‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 数学期望. ‎ ‎(Ⅲ)参考答案:‎ 甲组学生准确回忆音节数共有:个 故甲组学生的平均保持率为 乙组学生准确回忆音节数共有:‎ ‎ 个 故乙组学生平均保持率为,‎ 所以临睡前背单词记忆效果更好. (只要叙述合理都给分)‎ ‎19. 解:方法一:‎ ‎(Ⅰ)取中点,连接,‎ ‎ 又平面,平面,‎ ‎ 又 ‎ 又平面 ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)过作于,连接 平面,‎ 又平面,‎ 又 ‎ 平面 ‎,又,‎ 平面,‎ 二面角为二面角的平面角 ‎ 在中,‎ ‎ ‎ ‎ 二面角的余弦值为 方法二: ‎ ‎(Ⅰ)平面平面,‎ 平面平面,‎ 过作平面,则 以分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系 ‎,‎ ‎ (Ⅱ),,设为平面的一个法向量 ‎ 为满足题意的一组解 ‎,,设为平面的一个法向量 ‎ ,为满足题意的一组解, ‎ ‎ 二面角的余弦值为 ‎20. 解:(Ⅰ)不妨设 ‎ 所以椭圆方程为 ‎ ‎(Ⅱ)①当直线与轴重合时,‎ 设,则 ‎②当直线不与轴重合时,设其方程为,设 由得 ‎ 由与垂直知:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当取到“=”. ‎ 综合①②, ‎ ‎21. 解:(Ⅰ)恒成立,‎ ‎ 恒成立即. ‎ ‎ 方法一:恒成立,则 ‎ 而当时,‎ 则,,在单调递增,‎ 当,, 在单调递减,‎ 则,符合题意.‎ 即恒成立,实数的取值范围为;‎ 方法二:,‎ ‎(1)当时,,,,在单调递减,‎ 当,,在单调递增,‎ 则,不符题意;‎ ‎ (2)当时,,‎ ‎①若,,,,单调递减;当,, 单调递增,则,矛盾,不符题意;‎ ‎②若,‎ ‎(Ⅰ)若,;;‎ ‎ ,在单调递减,在单调递增,在单调递减,不符合题意;‎ ‎(Ⅱ)若时,,,在单调递减,,不符合题意. ‎ ‎(Ⅲ)若,,,,,,,, 在单调递减,在单调递增,在单调递减,,与已知矛盾不符题意.‎ ‎(Ⅳ)若,,,,在单调递增;‎ 当,, 在单调递减,‎ 则,符合题意; ‎ 综上,得恒成立,实数的取值范围为 ‎ (Ⅱ) 由(I)知,当时,有,;于是有 ,.‎ 则当时,有 ‎ 在上式中,用代换,可得 相乘得 选做题:请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所作的第一题记分.‎ ‎22.(本题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 ‎(Ⅰ)证明:连接BE.‎ ‎∵BC为⊙O的切线 ∴∠ABC=90°,……2分 ‎∵∠AEO=∠CED ∴∠CED=∠CBE, ……4分 ‎∵∠C=∠C∴△CED∽△CBE ‎ ‎∴ ∴CE=CD•CB……6分 ‎(Ⅱ)∵OB=1,BC=2 ∴OC=‎ ‎∴CE=OC-OE=-1 ……8分 由(Ⅰ)CE =CD•CB 得(-1)=2CD ‎∴CD=3- ……10分 ‎23.(本题满分10分)选修4-4:极坐标与参数方程 解:(1)直线即直线的直角坐标方程为,点在直线上。‎ ‎(2)直线的参数方程为(为参数),曲线C的直角坐标方程为 将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,‎ 有,设两根为,‎ ‎24.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若存在使不等式成立,求的取值范围.‎ 解:(1)‎ 当时,解得不存在 当时,解得 当时,解得 综上不等式的解集为 ‎(2)‎ 当,,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时,,‎ ‎ ‎ 综上,‎ 另解:‎ 画出的图象,如下所示 若有解,则