【数学】2020届一轮复习人教版（理）第一章第十节　函数与方程作业 9页

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练) A 级　基础夯实练 1．(2018·广州模拟)下列函数中，在(－1，1)内有零点且单调递 增的是(　　) A．y＝log 1 2 x　　　　　　　B．y＝2x－1 C．y＝x2－1 2 D．y＝－x3 解析：选 B.函数 y＝log 1 2 x 在定义域上单调递减，y＝x2－1 2在(－ 1，1)上不是单调函数，y＝－x 3 在定义域上单调递减，均不符合要 求．对于 y＝2x－1，当 x＝0∈(－1，1)时，y＝0 且 y＝2x－1 在 R 上 单调递增．故选 B. 2．(2018·湖南长沙模拟)若函数 f(x)＝ax＋1 在区间(－1，1)上存 在一个零点，则实数 a 的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(－∞，1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1，1) 解析：选 C.由题意知，f(－1)·f(1)＜0， 即(1－a)(1＋a)＜0，解得 a＜－1 或 a＞1. 3．(2018·石家庄调研)已知函数 f(x)＝6 x－log2x，在下列区间中， 包含 f(x)零点的区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，4) D．(4，＋∞) 解析：选 C.因为 f(1)＝6－log21＝6＞0，f(2)＝3－log22＝2＞0， f(4)＝3 2－log24＝－1 2＜0，所以函数 f(x)的零点所在区间为(2，4)，故 选 C. 4．(2018·山东滨州二模)函数 f(x)＝3x|ln x|－1 的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 B.函数 f(x)＝3 x|ln x|－1 的零点即 3x|ln x|－1＝0 的解，即|ln x|＝(1 3 ) x 的解，作出函数 g(x) ＝|ln x|和函数 h(x)＝(1 3 ) x 的图象，由图象可知，两函数图象有两 个公共点，故函数 f(x)＝3x|ln x|－1 有 2 个零点． 5．(2018·湖北武汉调研)已知函数 f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1 的图象 与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数 m 的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(0，1] C．(－∞，1) D．(－∞，1] 解析：选 D.令 m＝0，由 f(x)＝0 得 x＝1 3，满足题意，可排除选 项 A，B.令 m＝1，由 f(x)＝0 得 x＝1，满足题意，排除选项 C.故选 D. 6．已知函数 f(x)＝2x＋x，g(x)＝log 3x＋x，h(x)＝x－ 1 x 的零点 依次为 a，b，c，则(　　) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 解析：选 A.在同一坐标系下分别画出函数 y＝2x，y＝log3x，y＝－ 1 x 的图象，如图，观察它们与 y＝－x 的交点可知 a＜b＜c. 7．(2018·山东泰安模拟)已知 e 是自然对数的底数，函数 f(x)＝ex ＋x－2 的零点为 a，函数 g(x)＝ln x＋x－2 的零点为 b，则下列不等 式成立的是(　　) A．f(a)＜f(1)＜f(b) B．f(a)＜f(b)＜f(1) C．f(1)＜f(a)＜f(b) D．f(b)＜f(1)＜f(a) 解析：选 A.函数 f(x)，g(x)均为定义域上的单调递增函数，且 f(0) ＝－1＜0，f(1)＝e－1＞0，g(1)＝－1＜0，g(e)＝e－1＞0，所以 a∈(0，1)，b∈(1，e)，即 a＜1＜b，所以 f(a)＜f(1)＜f(b)． 8．(2018·河北武邑中学调研)函数 f(x)＝3x－7＋ln x 的零点位于 区间(n，n＋1)(n∈N)内，则 n＝________． 解析：因为 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且 f(2)＝－1＋ln 2＜0， f(3)＝2＋ln 3＞0，所以函数 f(x)的零点位于区间(2，3)内，故 n＝2. 答案：2 9．(2018·天津卷)已知 a＞0，函数 f(x)＝{x2＋2ax＋a，x ≤ 0， －x2＋2ax－2a，x＞0. 若关于 x 的方程 f(x)＝ax 恰有 2 个互异的实数解，则 a 的取值范围是 ________． 解析：当 x≤0 时，由 x2＋2ax＋a＝ax，得 a＝－x2－ax；当 x＞ 0 时 ， 由 － x2 ＋ 2ax － 2a ＝ ax ， 得 2a ＝ － x2 ＋ ax. 令 g(x) ＝ {－x2－ax，x ≤ 0， －x2＋ax，x＞0. 作出直线 y＝a，y＝2a，函数 g(x)的图象如图所 示，g(x)的最大值为－a2 4 ＋a2 2 ＝a2 4 ，由图象可知，若 f(x)＝ax 恰有 2 个 互异的实数解，则 a＜a2 4 ＜2a，得 4＜a＜8. 答案：(4，8) 10．已知二次函数 f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a， (1)判断命题：“对于任意的 a∈R，方程 f(x)＝1 必有实数根” 的真假，并写出判断过程； (2)若 y＝f(x)在区间(－1，0)及(0， 1 2)内各有一个零点，求实数 a 的取值范围． 解：(1)“对于任意的 a∈R，方程 f(x)＝1 必有实数根”是真命 题．依题意，f(x)＝1 有实根，即 x2＋(2a－1)x－2a＝0 有实根，因为 Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0 对于任意的 a∈R 恒成立，即 x2＋(2a －1)x－2a＝0 必有实根，从而 f(x)＝1 必有实根． (2)依题意，要使 y＝f(x)在区间(－1，0)及(0， 1 2)内各有一个零点， 只需{f（－1）＞0， f（0）＜0， f(1 2 )＞0， 即{3－4a＞0， 1－2a＜0， 3 4－a＞0， 解得1 2＜a＜3 4. 故实数 a 的取值范围为(1 2， 3 4). B 级　能力提升练 11．(2018·潍坊模拟)定义在 R 上的奇函数 f(x)，当 x≥0 时，f(x) ＝{log 1 2 （x＋1），x ∈ [0，1）， 1－|x－3|，x ∈ [1，＋∞）， 则关于 x 的函数 F(x)＝f(x)－a(0 ＜a＜1)的所有零点之和为(　　) A．2a－1 B．2－a－1 C．1－2－a D．1－2a 解析：选 D.当－1≤x＜0 时⇒1≥－x＞0； x≤－1⇒－x≥1. 又 f(x) 为 奇 函 数 ， ∴ x ＜ 0 时 ， f(x) ＝ － f( － x) ＝ {－log 1 2 （－x＋1），x ∈ （－1，0）， －1＋|x＋3|，x ∈ （－∞，－1]， 画出 y＝f(x)和 y＝a(0＜a ＜1)的图象，如图，共有 5 个交点，设其横坐标从左到右分别为 x1， x2，x3，x4，x5，则x1＋x2 2 ＝－3，x4＋x5 2 ＝3，而－log 1 2 (－x3＋1)＝a⇒ log2(1－x3)＝a⇒x3＝1－2a，可得 x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝1－2a，故选 D. 12．(2017·山东卷)已知当 x∈[0，1]时，函数 y＝(mx－1)2 的图象 与 y＝ x＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数 m 的取值范围是 (　　) A．(0，1]∪[2 3，＋∞) B．(0，1]∪[3，＋∞) C．( 0， 2 ]∪[2 3，＋∞) D．(0， 2]∪[3，＋∞) 解析：选 B.在同一直角坐标系中，分别作出函数 f(x)＝(mx－1)2 ＝m2 (x－1 m) 2 与 g(x)＝ x＋m 的大致图象．分两种情形： (1)当 0＜m≤1 时，1 m≥1，如图①，当 x∈[0，1]时，f(x)与 g(x) 的图象有一个交点，符合题意． (2)当 m＞1 时，0＜1 m＜1，如图②，要使 f(x)与 g(x)的图象在[0， 1]上只有一个交点，只需 g(1)≤f(1)，即 1＋m≤(m－1)2，解得 m≥3 或 m≤0(舍去)． 综上所述，m∈(0，1]∪[3，＋∞)． 故选 B. 13．(2018·浙江卷)已知 λ∈R，函数 f(x)＝{x－4，　　x ≥ λ， x2－4x＋3，x＜λ. 当 λ＝2 时，不等式 f(x)＜0 的解集是________．若函数 f(x)恰有 2 个零点，则 λ 的取值范围是________． 解析：(1)当 λ＝2 时，f(x)＝{x－4，x ≥ 2， x2－4x＋3，x＜2， 其图象如图(1)． 由图知 f(x)＜0 的解集为(1，4)． (2)f(x)＝{x－4，x ≥ λ， x2－4x＋3，x＜λ 恰有 2 个零点有两种情况：①二次函 数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零 点． 在同一平面直角坐标系中画出 y＝x－4 与 y＝x2－4x＋3 的图象， 如图(2)，平移直线 x＝λ，可得 λ∈(1，3]∪(4，＋∞)． 答案：(1，4)　(1，3]∪(4，＋∞) 14．(2018·德州二模)设函数 f(x)＝|1－1 x|(x＞0)． (1)作出函数 f(x)的图象； (2)当 0＜a＜b，且 f(a)＝f(b)时，求1 a＋1 b的值； (3)若方程 f(x)＝m 有两个不相等的正根，求 m 的取值范围． 解：(1)函数图象如图所示． (2)∵f(x)＝|1－1 x|＝{1 x－1，x ∈ （0，1]， 1－1 x，x ∈ （1，＋∞）， 故 f(x)在(0，1]上 是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数， 由 0＜a＜b 且 f(a)＝f(b)，得 0＜a＜1＜b， 且1 a－1＝1－1 b，∴1 a＋1 b＝2. (3)由函数 f(x)的图象可知，当 0＜m＜1 时，方程 f(x)＝m 有两个 不相等的正根． 15．(2018·贵州遵义月考)已知函数 f(x)＝－x 2 －2x，g(x)＝ {x＋ 1 4x，x＞0， x＋1，x ≤ 0. (1)求 g(f(1))的值； (2)若方程 g(f(x))－a＝0 有 4 个不同的实数根，求实数 a 的取值 范围． 解：(1)利用解析式直接求解得 g(f(1))＝g(－ 3)＝－3＋1＝－2. (2)令 f(x)＝t，则原方程化为 g(t)＝a，易知方 程 f(x)＝t 在(－∞，1)上有 2 个不同的解，则原方程 有 4 个解等价于函数 y＝g(t)(t＜1)与 y＝a 的图象有 2 个不同的交点， 作出函数 y＝g(t)(t＜1)的图象如图，由图象可知，当 1≤a＜5 4 时，函 数 y＝g(t)(t＜1)与 y＝a 有 2 个不同的交点，即所求 a 的取值范围是 [1， 5 4). C 级　素养加强练 16．已知函数 f(x)＝{ln x，x ≥ 1， 1－x 2，x＜1， 若 F(x)＝f[f(x)＋1]＋m 有 两个零点 x1，x2，则 x1·x2 的取值范围是(　　) A．[4－2ln 2，＋∞) B．( e，＋∞) C．(－∞，4－2ln 2] D．(－∞， e) 解 析 ： 选 D. 因 为 函 数 f(x) ＝ {ln x，x ≥ 1， 1－x 2，x＜1， 所 以 F(x) ＝ {ln（ln x＋1）＋m，x ≥ 1， ln(2－x 2)＋m，x＜1， 由 F(x)＝0 得，x1＝ee－m－1，x2＝4－ 2e－m，其中 m＝－ln(2－x 2)＜－ln 3 2，∴m＜ln2 3.设 t＝e－m，则 t＞3 2， 所以 x1·x2＝2et－1(2－t)，设 g(t)＝2et－1(2－t)，则 g′(t)＝2et－1(1－t)， 因为 t＞3 2，所以 g′(t)＝2et－1(1－t)＜0，即函数 g(t)＝2e t－1(2－t)在区 间(3 2，＋∞)上是减函数，所以 g(t)＜g(3 2 )＝ e，故选 D.