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  • 2021-06-12 发布

2019届二轮复习解题技巧圆的方程以及直线与圆的位置关系学案(全国通用)

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考纲要求:‎ ‎1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程. ‎ ‎2.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系(相交、相切、相离).| |X|X| ‎ ‎3. 能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系(内含、内切、相交、外切、相离).‎ ‎4.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题, 初步了解用代数方法处理几何问题的思想. ‎ 基础知识回顾:‎ 一、圆的定义和圆的方程 ‎ ‎ 二、直线与圆的位置关系与判断方法 三、圆与圆的位置关系 ‎ ‎ 设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r(r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r(r2>0).‎ ‎ + + ‎ ‎ ‎ 应用举例:‎ 类型一、直线与圆位置关系 ‎(1)判断直线与圆的位置关系 ‎【例1】【陕西省四校联考2019届高三高考模拟】直线与圆的位置关系是( )‎ A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用圆心到直线的距离与半径比较,判断二者位置关系.‎ ‎【详解】‎ 将圆的方程化为标准方程得,‎ ‎∴圆心坐标为,半径,‎ ‎∵圆心到直线的距离,‎ 则圆与直线的位置关系是相切.故应选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准方程,点到直线的距离公式,直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,熟练掌握此性质是解本题的关键.‎ ‎【例2】【福建省莆田市莆田第六中 2018届高三下 期第三次模拟考试】已知直线过点且倾斜角为,若与圆相切,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据直线与圆相切得,再根据诱导公式以及弦化切求结果.‎ ‎【点睛】‎ 应用三角公式解决问题的三个变换角度 ‎(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”.‎ ‎(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.‎ ‎(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.‎ ‎(2)直线与圆相交 ‎【例3】【江西省南昌市2018届高三二轮复习测试】在圆内,过点的最短弦的弦长为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将圆的方程化为标准式,找到圆心和半径,过点的最短弦长是过点M和OM垂直的弦,再根据垂径定理得到结果.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是圆的性质和应用,一般和圆有关的问题很多情况下可利用数形结合来解决的,很少联立;在求圆上的点到直线或者定点的距离时,一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离,再加减半径,分别得到最大值和最小值;涉及到圆的弦长或者切线长时,经常用到垂径定理.‎ ‎【例4】【湖南省十四校2018届高三第二次联考】已知直线与圆:相交于,两点(为坐标原点),且为等腰直角三角形,则实数的值为( )‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵直线与圆:相交于,两点(为坐标原点),且为等腰直角三角形,到直线的距离为,由点到直线的距离公式可得.‎ 故选B.‎ ‎(3)直线与圆相切 ‎【例5】【海南省琼海市2018届高考模拟考试】若过点有两条直线与圆相切,则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 有两条直线与圆相切,则点在圆外,而且还要满足圆自身的限制条件 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了点与圆的位置关系,理解过已知点总能作圆的两条切线,得到点应在已知圆的外部是解本题的关键 ‎【例6】【宁夏吴忠市2018届高三下 期高考模拟联考】与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】圆的圆心为,半径为,过圆心与直线垂直的直线方程为,所求的圆心在此直线上,又圆心到直线的距离为,则所求圆的半径为,设所求圆心为,且圆心在直线的左上方,则,且 解得(不符合,舍去 ),故所求圆的方程为,选C.‎ 点睛:本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了数形结合的思想,考查了计算能力,属于中档题。‎ ‎【例7】【2018年普通高校招生全国卷 一(A)高三信息卷 (五)】过点作圆的两条切线,切点分别为, ,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 类型二、与圆有关的最值问题 与圆有关的最值问题也是命题的热点内容,它着重考查数形结合与转化思想.归纳起来常见的命题角度有:‎ ‎(1)斜率型最值问题.‎ ‎【例8】已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.求的最大值和最小值.‎ ‎ 图3‎ ‎ 解析:原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,为半径的圆.的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设= ,即y= x.如图3所示,当直线y= x与圆相切时,斜率 取最大值或最小值,此时= ,解得 =±.所以的最大值为,最小值为-. ‎ ‎(2)截距型最值问题.‎ ‎【例9】已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.求y-x的最大值和最小值;‎ 解析:方法一,y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时=,解得b=-2±.所以y-x的最大值为-2+,最小值为-2-.‎ ‎ 方法二,设x-2=cosθ,则y=sinθ,故x=2+cosθ,y=sinθ,‎ 则y-x=sinθ-cosθ-2=sin-2‎ ‎∴当θ-=2 π-,( ∈ )时,y-x有最小值--2,当θ-=2 π+( ∈ )时,y-x有最大值-2.‎ ‎(3)距离型最值问题.‎ ‎【例10】【2018届浙江省嘉兴市第一中 高三上期中】已知的方程为,直线与交于两点,当取最大值时 , 面积最大时, .‎ ‎【答案】 2 1或7‎ ‎(4)利用对称性求最值 ‎【例11】【2018届黑龙江省大庆中 高三上 期开 】过动点作圆: 的切线,其中为切点,若(为坐标原点),则的最小值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎(5)建立目标函数求最值问题 ‎【例12】【2018届江苏省南京市高三数 上 期期初】在平面直角坐标系xOy中,若圆(x-2)2+(y-2)2=1上存在点M,使得点M关于x轴的对称点N在直线 x+y+3=0上,则实数 的最小值为 .‎ ‎【答案】-‎ ‎【解析】在, 可设,可得,将的坐标代入,可得, ,化为得, 的最小值为 点评:求解与圆有关的最值问题的两大规律 ‎1.借助几何性质求最值 处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.‎ ‎2.建立函数关系式求最值 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式,然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等,利用基本不等式求最值是比较常用的.‎ 类型三、求圆的方程 ‎【例13】【河北省武邑中 2018届高三下 期第四次模拟考试】圆心在轴上,半径为1,且过点的圆的方程是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 点睛:本题考查圆的方程,考查 生的计算能力,属于基础题.‎ 类型四、两圆的位置关系 ‎【例14】【安徽省马鞍山高三三模】两圆和的位置关系是( )‎ A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离 【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:圆的圆心为,半径;圆的方程可以变形为,其圆心为 ‎,半径.圆心距,所以圆内切于圆.‎ 考点:平面内两圆的位置关系.‎ ‎【例15】【山东省枣庄第八中 高三上 期第二次阶段性检测】两圆与 的公切线有( )条 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 考点:两圆位置关系.‎ 类型五、与圆有关的轨迹方程 求动点的轨迹往往先求出动点的轨迹方程,然后由方程研究轨迹图形;求动点的轨迹方程有时需要先由条件判断轨迹图形,再由图形求方程.常用求法:(1)定义法(2)相关点代入法 ‎【例16】【江西省南昌市第二中 2018-2019 年高二上 期期中考试】在平面直角坐标系中,已知点,点是圆上的动点,则线段的中点的轨迹方程是( )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出点B和点M的坐标,由中点坐标公式得到两点的坐标关系,用M点的坐标表示B点坐标,再根据点B在圆上,代入B点坐标即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 设,,则根据中点坐标公式得到:,由点在圆上,将点B,,代入圆的方程得到:,即,‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 这道题目考查圆锥曲线中的求轨迹方程的方法,常见的方法有:数形结合法即几何法;相关点法,直接法;定义法,代入法,引入参数再消参的方法,交轨法是一种解决两直线交点的轨迹的方法,也是一种消参的方法。‎ 方法、规律归纳:‎ ‎1、直线与圆的位置关系的判断方法 ‎(1)几何法:由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断.‎ 若d>r,则直线与圆相离;‎ 若d=r,则直线与圆相切;‎ 若d0,方程有两个不同的实数解,从而方程组也有两组不同的实数解,那么直线与圆相交.‎ ‎2、与圆上点(x,y)有关代数式的最值的常见类型及解法:‎ ‎(1)形如u=型的最值问题,可转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值问题.‎ ‎(2)形如t=ax+by型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题.‎ ‎(3)形如(x-a)2+(y-b)2型的最值问题,可转化为动点到定点的距离平方的最值问题.‎ 实战演练:‎ ‎1.已知动圆P过定点A(-3,0),并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与定圆相切,则动圆的圆心P的轨迹是(  )‎ A. 线段 B. 直线 C. 圆 D. 椭圆 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设切点为M,根据题意,列出点P满足的关系式即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>6.则 P点的轨迹是椭圆即得解.‎ ‎【详解】‎ 设动圆P和定圆B内切于点M.动点P到定点A(﹣3,0)和定圆圆心B(3,0)距离之 和恰好等于定圆半径,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>6.‎ ‎∴点P的轨迹是以A,B为两焦点,半长轴为4的椭圆,b==.‎ ‎∴点P的轨迹方程为.‎ 故答案为:D ‎【点睛】‎ 本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法,应该熟练并灵活运用.‎ ‎2.【青海省西宁市第四高级中 2017-2018 年高二上 期期末考试】已知圆C:(x+3)2 +y2=100和点B(3,0),P是圆上一点,线段BP的垂直平分线交CP于没M点,则M点的轨迹方程是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 点睛:这道题目圆锥曲线中的求轨迹方程的方法;常见的方法有:数形结合法即几何法;相关点法,直接法;定义法,代入法,引入参数再消参的方法,交轨法是一种解决两直线交点的轨迹的方法,也是一种消参的方法。‎ ‎3.【甘肃省西北师范大 附属中 2018届高三冲刺诊断考试】若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为 ( )‎ A. B. 5 C. 2 D. 10‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析:由圆的方程得到圆心坐标,代入直线的方程得,再由表达式 的几何意义,即可求解答案.‎ 详解:由直线始终平分圆的周长,则直线必过圆的圆心,‎ 由圆的方程可得圆的圆心坐标,‎ 代入直线的方程可得,‎ 又由表示点到直线的距离的平方,‎ 由点到直线的距离公式得,‎ 所以的最小值为,故选B.‎ 点睛:本题主要考查了直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式应用,把转化为点到直线的距离的平方是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎4.【山西省大同市与阳泉市2018届高三第二次教 质量监测试题】已知双曲线 的离心率为,其一条渐近线被圆截得的弦长为,则实数的值为( )‎ A. 3 B. 1 C. D. 2‎ ‎【答案】D 点睛:本题考查双曲线的性质:渐近线方程和离心率,考查直线和圆相交的弦长公式的运用,考查运算能力,属于中档题.‎ ‎5.【河北省衡水中 2018届高三第十六次模拟考试】若平面内两定点,间的距离为,动点与、距离之比为,当,‎ 不共线时,面积的最大值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析:建立坐标系,则设,由,化简得,当点到轴)距离最大时,面积的最大值,从而得结果.‎ 详解:‎ 点睛:本题主要考查直接法求轨迹方程、圆的几何性质的应用,属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法,设出动点的坐标,根据题意列出关于的等式即可;②定义法,根据题意动点符合已知曲线的定义,直接求出方程;③参数法,把分别用第三个变量表示,消去参数即可;④逆代法,将代入.‎ ‎6.【福建省三明市2018届高三5月质量检查测试】已知,,点在圆上运动,若△的面积的最小值为,则实数的值为 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】分析:以AB为底边,△的面积的最小值为,即求点到直线AB的距离d最短,利用圆的几何性质处理即可.‎ 详解:直线AB:,即 若△的面积最小,则点到直线AB的距离d最短,‎ ‎,‎ 又△的面积的最小值为,‎ ‎∴‎ 即 ‎∴或 故选:D 点睛:当直线与圆相离时,经常涉及圆上点到直线的距离的最值问题,方法为:过圆心向直线作垂线,与圆交于两点,这两点到直线的距离即最大值与最小值.‎ ‎7.【辽宁省丹东市2018年高三模拟(二)】圆心为的圆与圆相外切,则的方程为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D 点睛:此题主要考查解析几何中圆的标准方程,两圆的位置关系,以及两点间的距离公式的应用等有关方面的知识与技能,以属于中低档题型,也是常考考点.判断两圆的位置关系,有两种方法,一是代数法,联立两圆方程,消去其中一未知数,通过对所得方程的根决断,从而可得两圆关系;一是几何法,通计算两圆圆心距与两圆半径和或差进行比较,从而可得两圆位置关系.‎ ‎8.【安徽省淮北市2018届高三第二次(4月)模拟考试】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,分别过作准线的垂线,垂足分别为两点,以为直径的圆过点,则圆 的方程为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由抛物线的定义知以为直径的圆一定过焦点,因此可设圆心坐标为,则,解得,于是有,所以圆C的方程为.‎ 故选C.‎ ‎9.【山西省孝义市2018届高三下 期一模考试】已知为直线上的点,过点作圆的切线,切点为,,若,则这样的点有( )‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个 ‎【答案】B ‎ ‎10.【上海市虹口区2018届高三下 期教 质量监控(二模)】直线与圆交于,两点,且,过点,分别作的垂线与轴交于点,,则等于( )‎ A. B. 4 C. D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】等于圆的直径,所以直线过圆心,所以,则,‎ 所以过的垂线的斜率均为1,倾斜角,‎ 由图象易知,,故选D。‎ ‎11.【吉林省梅河口市第五中 2018届高三下 期第二次模拟考试】已知圆:与圆关于轴对称,为圆上的动点,当到直线的距离最小时,的横坐标为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】圆的方程为:,过M(3,-4)且与直线y=x+2垂直的直线方程为y=-x-1,代入,得 ,故当Q到直线y=x+2的距离最小时,Q的坐标为 ‎ ‎12.【辽宁省沈阳市东北育才 校2018届高三第三次模拟考试】已知圆的方程为,直线与圆交于A,B两点,则当面积最大时,直线的斜率( )‎ A. 1 B. 6 C. 1或7 D. 2或6‎ ‎【答案】C ‎【点睛】本题选择合适是三角形面积公式是关键,选择,使运算更简单,也更好理解。‎ ‎13.【江苏省明德实验 校2018-2019 年高二上 期第二次 情调研】如图:已知是圆与轴的交点,为直线上的动点,与圆的另一个交点分别为 ‎(1)若点坐标为,求直线的方程;‎ ‎(2)求证:直线过定点.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)直线PA方程为y=x+2,由 解得M(0,2),直线PB的方程 y=3x-6,由解得 ,用两点式求得MN的方程. ‎ ‎(2)设P(4,t),则直线直线PA的方程为,直线PB的方程为 ,‎ 解方程组求得M、N的坐标,从而得到MN的方程为,显然过定点(1,0).‎ ‎ ‎ ‎(2)设,则直线PA的方程为,直线PB的方程为 ‎ 得,同理 ‎ 直线MN的斜率 ‎ 直线MN的方程为, ‎ 化简得: ‎ 所以直线过定点 ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线过定点问题,求直线的方程,求两条直线的交点坐标,属于中档题.‎ ‎14.【河北省唐山市2018-2019 年高三上 期第一次摸底考试】斜率为的直线与抛物线交于两点,且的中点恰好在直线上.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)直线与圆交于两点,若,求直线的方程.‎ ‎【答案】(1)1;(2)‎ ‎【解析】 ‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设直线的方程为,代入抛物线的方程,利用韦达定理得到,由的中点在 上,即可求解;‎ ‎(2)根据圆的弦长公式,分别求解,利用求得实数的值,进而得到答案.‎ ‎(2)O到直线l的距离d=,|CD|=2, ‎ 所以|AB|=|x1-x2|=·=2·, ‎ 因为|AB|=|CD|,‎ 所以2·=2,‎ 化简得m2+8m-20=0,‎ 所以m=-10或m=2. ‎ 由得-<m<2.‎ 所以m=2,‎ 直线l的方程为y=x+2.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目,通常通过联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系,得到“目标函数”的解析式,确定函数的性质进行求解,能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎ ‎15.【江西省南昌市八一中 、洪都中 2018-2019 年高二10月联考】已知直线:,圆A:,点 ‎(1)求圆上一点到直线的距离的最大值;‎ ‎(2)从点B发出的一条光线经直线反射后与圆有交点,求反射光线的斜率的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据圆心到直线的距离与圆的半径的关系,求得圆心到直线的距离,即可计算最大值;‎ ‎(2)设点关于直线直的对称点为,列出方程组,求的的值,得出对称点的坐标,进而设出直线的方程,利用,即可求解.‎ ‎(2)设点关于直线直的对称点为 由 即反射线过点 ‎ 由题意反射线的斜率必存在,设方程为:,‎ 即: ,由得 ‎ 整理得,‎ 解得,‎ 所以斜率的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆的方程应用,以及直线与圆的位置关系的应用问题,其中解答中根据题意,合理转化,建立不等式关系式是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及转化思想的应用.‎