2019届二轮复习解题技巧圆的方程以及直线与圆的位置关系学案（全国通用） 21页

考纲要求:‎ ‎1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．　‎ ‎2．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系(相交、相切、相离)．| |X|X| ‎ ‎3. 能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系(内含、内切、相交、外切、相离)．‎ ‎4．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题, 初步了解用代数方法处理几何问题的思想． ‎ 基础知识回顾:‎ 一、圆的定义和圆的方程 ‎ ‎ 二、直线与圆的位置关系与判断方法 三、圆与圆的位置关系 ‎ ‎　设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).‎ ‎ + + ‎ ‎ ‎ 应用举例:‎ 类型一、直线与圆位置关系 ‎（1）判断直线与圆的位置关系 ‎【例1】【陕西省四校联考2019届高三高考模拟】直线与圆的位置关系是（ ）‎ A． 相交 B． 相切 C． 相离 D． 不能确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用圆心到直线的距离与半径比较，判断二者位置关系.‎ ‎【详解】‎ 将圆的方程化为标准方程得，‎ ‎∴圆心坐标为，半径，‎ ‎∵圆心到直线的距离，‎ 则圆与直线的位置关系是相切．故应选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．‎ ‎【例2】【福建省莆田市莆田第六中 2018届高三下 期第三次模拟考试】已知直线过点且倾斜角为，若与圆相切，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据直线与圆相切得，再根据诱导公式以及弦化切求结果.‎ ‎【点睛】‎ 应用三角公式解决问题的三个变换角度 ‎(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.‎ ‎(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.‎ ‎(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.‎ ‎（2）直线与圆相交 ‎【例3】【江西省南昌市2018届高三二轮复习测试】在圆内，过点的最短弦的弦长为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将圆的方程化为标准式，找到圆心和半径，过点的最短弦长是过点M和OM垂直的弦,再根据垂径定理得到结果.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是圆的性质和应用，一般和圆有关的问题很多情况下可利用数形结合来解决的，很少联立；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.‎ ‎【例4】【湖南省十四校2018届高三第二次联考】已知直线与圆：相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，则实数的值为（ ）‎ A． 或 B． 或 C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵直线与圆：相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得.‎ 故选B．‎ ‎（3）直线与圆相切 ‎【例5】【海南省琼海市2018届高考模拟考试】若过点有两条直线与圆相切，则实数的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 有两条直线与圆相切，则点在圆外，而且还要满足圆自身的限制条件 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了点与圆的位置关系，理解过已知点总能作圆的两条切线，得到点应在已知圆的外部是解本题的关键 ‎【例6】【宁夏吴忠市2018届高三下 期高考模拟联考】与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】圆的圆心为，半径为，过圆心与直线垂直的直线方程为，所求的圆心在此直线上，又圆心到直线的距离为，则所求圆的半径为，设所求圆心为，且圆心在直线的左上方，则，且 解得（不符合，舍去 ），故所求圆的方程为，选C.‎ 点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题。‎ ‎【例7】【2018年普通高校招生全国卷 一（A）高三信息卷 （五）】过点作圆的两条切线，切点分别为， ，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D 类型二、与圆有关的最值问题 与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．归纳起来常见的命题角度有：‎ ‎(1)斜率型最值问题．‎ ‎【例8】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求的最大值和最小值．‎ ‎ 图3‎ ‎ 解析：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设＝ ，即y＝ x.如图3所示，当直线y＝ x与圆相切时，斜率 取最大值或最小值，此时＝ ，解得 ＝±.所以的最大值为，最小值为－. ‎ ‎(2)截距型最值问题．‎ ‎【例9】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求y－x的最大值和最小值；‎ 解析：方法一，y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.‎ ‎ 方法二，设x－2＝cosθ，则y＝sinθ，故x＝2＋cosθ，y＝sinθ，‎ 则y－x＝sinθ－cosθ－2＝sin－2‎ ‎∴当θ－＝2 π－，( ∈ )时，y－x有最小值－－2，当θ－＝2 π＋( ∈ )时，y－x有最大值－2.‎ ‎(3)距离型最值问题．‎ ‎【例10】【2018届浙江省嘉兴市第一中 高三上期中】已知的方程为，直线与交于两点，当取最大值时 ， 面积最大时， ．‎ ‎【答案】 2 1或7‎ ‎(4)利用对称性求最值 ‎【例11】【2018届黑龙江省大庆中 高三上 期开 】过动点作圆： 的切线，其中为切点，若（为坐标原点），则的最小值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎（5）建立目标函数求最值问题 ‎【例12】【2018届江苏省南京市高三数 上 期期初】在平面直角坐标系xOy中，若圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线 x＋y＋3＝0上，则实数 的最小值为 ．‎ ‎【答案】－‎ ‎【解析】在， 可设，可得，将的坐标代入，可得， ，化为得， 的最小值为 点评：求解与圆有关的最值问题的两大规律 ‎1．借助几何性质求最值 处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．‎ ‎2．建立函数关系式求最值 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．‎ 类型三、求圆的方程 ‎【例13】【河北省武邑中 2018届高三下 期第四次模拟考试】圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C 点睛：本题考查圆的方程，考查 生的计算能力，属于基础题.‎ 类型四、两圆的位置关系 ‎【例14】【安徽省马鞍山高三三模】两圆和的位置关系是（ ）‎ A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离 【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：圆的圆心为，半径；圆的方程可以变形为，其圆心为 ‎，半径．圆心距，所以圆内切于圆．‎ 考点：平面内两圆的位置关系．‎ ‎【例15】【山东省枣庄第八中 高三上 期第二次阶段性检测】两圆与 的公切线有（ ）条 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B 考点：两圆位置关系．‎ 类型五、与圆有关的轨迹方程 求动点的轨迹往往先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时需要先由条件判断轨迹图形，再由图形求方程．常用求法：(1)定义法(2)相关点代入法 ‎【例16】【江西省南昌市第二中 2018-2019 年高二上 期期中考试】在平面直角坐标系中，已知点，点是圆上的动点，则线段的中点的轨迹方程是（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出点B和点M的坐标，由中点坐标公式得到两点的坐标关系，用M点的坐标表示B点坐标，再根据点B在圆上，代入B点坐标即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 设，，则根据中点坐标公式得到：，由点在圆上，将点B，，代入圆的方程得到：，即，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 这道题目考查圆锥曲线中的求轨迹方程的方法，常见的方法有：数形结合法即几何法；相关点法，直接法；定义法，代入法，引入参数再消参的方法，交轨法是一种解决两直线交点的轨迹的方法，也是一种消参的方法。‎ 方法、规律归纳:‎ ‎1、直线与圆的位置关系的判断方法 ‎（1）几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断．‎ 若d>r，则直线与圆相离；‎ 若d＝r，则直线与圆相切；‎ 若d0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．‎ ‎2、与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法：‎ ‎(1)形如u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题．‎ ‎(2)形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题．‎ ‎(3)形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题.‎ 实战演练:‎ ‎1．已知动圆P过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与定圆相切，则动圆的圆心P的轨迹是(　　)‎ A． 线段 B． 直线 C． 圆 D． 椭圆 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设切点为M，根据题意，列出点P满足的关系式即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>6．则 P点的轨迹是椭圆即得解．‎ ‎【详解】‎ 设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到定点A（﹣3，0）和定圆圆心B（3，0）距离之 和恰好等于定圆半径，即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>6．‎ ‎∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，半长轴为4的椭圆，b==．‎ ‎∴点P的轨迹方程为．‎ 故答案为：D ‎【点睛】‎ 本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法，应该熟练并灵活运用．‎ ‎2．【青海省西宁市第四高级中 2017-2018 年高二上 期期末考试】已知圆C：（x+3）2 +y2=100和点B(3,0),P是圆上一点,线段BP的垂直平分线交CP于没M点,则M点的轨迹方程是 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B 点睛：这道题目圆锥曲线中的求轨迹方程的方法；常见的方法有：数形结合法即几何法；相关点法，直接法；定义法，代入法，引入参数再消参的方法，交轨法是一种解决两直线交点的轨迹的方法，也是一种消参的方法。‎ ‎3．【甘肃省西北师范大 附属中 2018届高三冲刺诊断考试】若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为 （ ）‎ A． B． 5 C． 2 D． 10‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由圆的方程得到圆心坐标，代入直线的方程得，再由表达式 的几何意义，即可求解答案．‎ 详解：由直线始终平分圆的周长，则直线必过圆的圆心，‎ 由圆的方程可得圆的圆心坐标，‎ 代入直线的方程可得，‎ 又由表示点到直线的距离的平方，‎ 由点到直线的距离公式得，‎ 所以的最小值为，故选B．‎ 点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式应用，把转化为点到直线的距离的平方是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．‎ ‎4．【山西省大同市与阳泉市2018届高三第二次教 质量监测试题】已知双曲线 的离心率为，其一条渐近线被圆截得的弦长为，则实数的值为（ ）‎ A． 3 B． 1 C． D． 2‎ ‎【答案】D 点睛：本题考查双曲线的性质：渐近线方程和离心率，考查直线和圆相交的弦长公式的运用，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎5．【河北省衡水中 2018届高三第十六次模拟考试】若平面内两定点，间的距离为，动点与、距离之比为，当，‎ 不共线时，面积的最大值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：建立坐标系，则设，由，化简得，当点到轴）距离最大时，面积的最大值，从而得结果.‎ 详解：‎ 点睛：本题主要考查直接法求轨迹方程、圆的几何性质的应用，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.‎ ‎6．【福建省三明市2018届高三5月质量检查测试】已知，，点在圆上运动，若△的面积的最小值为，则实数的值为 A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 ‎【答案】D ‎【解析】分析：以AB为底边，△的面积的最小值为，即求点到直线AB的距离d最短，利用圆的几何性质处理即可.‎ 详解：直线AB：，即 若△的面积最小，则点到直线AB的距离d最短，‎ ‎，‎ 又△的面积的最小值为，‎ ‎∴‎ 即 ‎∴或 故选：D 点睛：当直线与圆相离时，经常涉及圆上点到直线的距离的最值问题，方法为：过圆心向直线作垂线，与圆交于两点，这两点到直线的距离即最大值与最小值.‎ ‎7．【辽宁省丹东市2018年高三模拟（二）】圆心为的圆与圆相外切，则的方程为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D 点睛：此题主要考查解析几何中圆的标准方程，两圆的位置关系，以及两点间的距离公式的应用等有关方面的知识与技能，以属于中低档题型，也是常考考点.判断两圆的位置关系，有两种方法，一是代数法，联立两圆方程，消去其中一未知数，通过对所得方程的根决断，从而可得两圆关系；一是几何法，通计算两圆圆心距与两圆半径和或差进行比较，从而可得两圆位置关系.‎ ‎8．【安徽省淮北市2018届高三第二次（4月）模拟考试】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为两点，以为直径的圆过点，则圆 的方程为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由抛物线的定义知以为直径的圆一定过焦点，因此可设圆心坐标为，则，解得，于是有，所以圆C的方程为．‎ 故选C．‎ ‎9．【山西省孝义市2018届高三下 期一模考试】已知为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，，若，则这样的点有（ ）‎ A． 个 B． 个 C． 个 D． 无数个 ‎【答案】B ‎ ‎10．【上海市虹口区2018届高三下 期教 质量监控（二模）】直线与圆交于，两点，且，过点，分别作的垂线与轴交于点，，则等于（ ）‎ A． B． 4 C． D． 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】等于圆的直径，所以直线过圆心，所以，则，‎ 所以过的垂线的斜率均为1，倾斜角，‎ 由图象易知，，故选D。‎ ‎11．【吉林省梅河口市第五中 2018届高三下 期第二次模拟考试】已知圆：与圆关于轴对称，为圆上的动点，当到直线的距离最小时，的横坐标为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】圆的方程为：，过M（3，-4）且与直线y=x+2垂直的直线方程为y=-x-1,代入，得 ，故当Q到直线y=x+2的距离最小时，Q的坐标为 ‎ ‎12．【辽宁省沈阳市东北育才 校2018届高三第三次模拟考试】已知圆的方程为，直线与圆交于A，B两点，则当面积最大时，直线的斜率（ ）‎ A． 1 B． 6 C． 1或7 D． 2或6‎ ‎【答案】C ‎【点睛】本题选择合适是三角形面积公式是关键，选择，使运算更简单，也更好理解。‎ ‎13．【江苏省明德实验 校2018-2019 年高二上 期第二次 情调研】如图：已知是圆与轴的交点，为直线上的动点，与圆的另一个交点分别为 ‎（1）若点坐标为，求直线的方程；‎ ‎（2）求证：直线过定点.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直线PA方程为y=x+2，由 解得M（0，2），直线PB的方程 y=3x-6，由解得 ，用两点式求得MN的方程． ‎ ‎（2）设P（4，t），则直线直线PA的方程为,直线PB的方程为 ，‎ 解方程组求得M、N的坐标，从而得到MN的方程为，显然过定点（1，0）．‎ ‎ ‎ ‎(2)设,则直线PA的方程为,直线PB的方程为 ‎ 得,同理 ‎ 直线MN的斜率 ‎ 直线MN的方程为, ‎ 化简得: ‎ 所以直线过定点 ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线过定点问题，求直线的方程，求两条直线的交点坐标，属于中档题．‎ ‎14．【河北省唐山市2018-2019 年高三上 期第一次摸底考试】斜率为的直线与抛物线交于两点，且的中点恰好在直线上.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）直线与圆交于两点，若，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）1；（2）‎ ‎【解析】 ‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设直线的方程为，代入抛物线的方程，利用韦达定理得到，由的中点在 上，即可求解；‎ ‎（2）根据圆的弦长公式，分别求解，利用求得实数的值，进而得到答案.‎ ‎（2）O到直线l的距离d＝，|CD|＝2， ‎ 所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝2·， ‎ 因为|AB|＝|CD|,‎ 所以2·＝2，‎ 化简得m2＋8m－20＝0，‎ 所以m＝－10或m＝2． ‎ 由得－＜m＜2．‎ 所以m＝2，‎ 直线l的方程为y＝x＋2．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎ ‎15．【江西省南昌市八一中 、洪都中 2018-2019 年高二10月联考】已知直线：，圆A：，点 ‎(1)求圆上一点到直线的距离的最大值；‎ ‎(2)从点B发出的一条光线经直线反射后与圆有交点，求反射光线的斜率的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据圆心到直线的距离与圆的半径的关系，求得圆心到直线的距离，即可计算最大值；‎ ‎（2）设点关于直线直的对称点为，列出方程组，求的的值，得出对称点的坐标，进而设出直线的方程，利用，即可求解.‎ ‎（2）设点关于直线直的对称点为 由 即反射线过点 ‎ 由题意反射线的斜率必存在，设方程为：，‎ 即： ，由得 ‎ 整理得，‎ 解得，‎ 所以斜率的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆的方程应用，以及直线与圆的位置关系的应用问题，其中解答中根据题意，合理转化，建立不等式关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用.‎