【数学】2021届一轮复习人教A版（文）选修4－4　第2讲　参数方程作业 6页

第2讲　 参数方程 ‎[基础题组练]‎ ‎1．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l的参数方程为(t为参数，α为直线的倾斜角)．‎ ‎(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点，求角α的大小．‎ 解：(1)当α＝时，直线l的普通方程为x＝－1；‎ 当α≠时，直线l的普通方程为y＝(x＋1)tan α.‎ 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，‎ 所以x2＋y2＝2x，‎ 即为曲线C的直角坐标方程．‎ ‎(2)把x＝－1＋tcos α，y＝tsin α代入x2＋y2＝2x，整理得t2－4tcos α＋3＝0.‎ 由Δ＝16cos2α－12＝0，得cos2α＝，‎ 所以cos α＝或cos α＝－，‎ 故直线l的倾斜角α为或.‎ ‎2．以极点为原点，以极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝10，曲线C′的参数方程为(α为参数)．‎ ‎(1)判断两曲线C和C′的位置关系；‎ ‎(2)若直线l与曲线C和C′均相切，求直线l的极坐标方程．‎ 解：(1)由ρ＝10得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝100，‎ 由得曲线C′的普通方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝25.‎ 曲线C表示以(0，0)为圆心，10为半径的圆；‎ 曲线C′表示以(3，－4)为圆心，5为半径的圆．‎ 因为两圆心间的距离5等于两圆半径的差，所以圆C和圆C′的位置关系是内切．‎ ‎(2)由(1)建立方程组 解得可知两圆的切点坐标为(6，－8)，且公切线的斜率为，‎ 所以直线l的直角坐标方程为y＋8＝(x－6)，‎ 即3x－4y－50＝0，‎ 所以极坐标方程为3ρcos θ－4ρsin θ－50＝0.‎ ‎3．(2020·成都市第二次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，α为倾斜角)，曲线C的参数方程为(β为参数，β∈[0，π])．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)写出曲线C的普通方程和直线l的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C恰有一个公共点P，求点P的极坐标．‎ 解：(1)由曲线C的参数方程，得(x－4)2＋y2＝4.‎ 因为β∈[0，π]，所以曲线C的普通方程为(x－4)2＋y2＝4(y≥0)．‎ 因为直线l的参数方程为(t为参数，α为倾斜角)，‎ 所以直线l的倾斜角为α，且过原点O(极点)．‎ 所以直线l的极坐标方程为θ＝α，ρ∈R.‎ ‎(2)由(1)可知，曲线C为半圆弧．‎ 若直线l与曲线C恰有一个公共点P，则直线l与半圆弧相切．‎ 设P(ρ，θ)(ρ>0)．由题意，得sin θ＝＝，故θ＝.‎ 而ρ2＋22＝42，所以ρ＝2.‎ 所以点P的极坐标为.‎ ‎4．(2020·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝，点P的极坐标为.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程和点P的直角坐标；‎ ‎(2)设l与C交于A，B两点，线段AB的中点为M，求|PM|.‎ 解：(1)由ρ2＝得ρ2＋ρ2sin2θ＝2，①‎ 将ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ代入①并整理得，曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1.‎ 设点P的直角坐标为(x，y)，因为点P的极坐标为，‎ 所以x＝ρcos θ＝cos＝1，y＝ρsin θ＝sin＝1.‎ 所以点P的直角坐标为(1，1)．‎ ‎(2)将代入＋y2＝1，并整理得41t2＋110t＋25＝0，‎ Δ＝1102－4×41×25＝8 000>0，故可设方程的两根分别为t1，t2，‎ 则t1，t2为A，B对应的参数，且t1＋t2＝－.‎ 依题意，点M对应的参数为，‎ 所以|PM|＝＝.‎ ‎5．(2020·湖南省湘东六校联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ＝4sin.‎ ‎(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设曲线C与直线l的交点为A，B，Q是曲线C上的动点，求△ABQ面积的最大值．‎ 解：(1)由消去t得x＋y－5＝0，所以直线l的普通方程为x＋y－5＝0.‎ 由ρ＝4sin＝4sin θ＋4cos θ，得ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，‎ 化为直角坐标方程为x2＋y2＝4x＋4y，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.‎ ‎(2)由(1)知，曲线C是以(2，2)为圆心，2为半径的圆，直线l过点P(3，2)，可知点P在圆内．‎ 将直线l的参数方程化为代入圆的直角坐标方程，得t2－9t＋33＝0.‎ 设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝9，t1t2＝33，‎ 所以|AB|＝|t2－t1|＝＝.‎ 又圆心(2，2)到直线l的距离d＝＝，‎ 所以△ABQ面积的最大值为×× ‎＝.‎ ‎6．(2020·吉林第三次调研测试)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ＝4cos θ.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)若C1与C2交于A，B两点，点P的极坐标为，求＋的值．‎ 解：(1)曲线C1的参数方程为(t为参数)，两式相加消去t可得普通方程为x＋y－2＝0.由ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ＝4cos θ，可得曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x.‎ ‎(2)把曲线C1的参数方程(t为参数)代入y2＝4x，得t2＋6t－6＝0，‎ 设t1，t2是A，B对应的参数，则t1＋t1＝－6，t1·t2＝－6，‎ 所以＋＝＝＝＝＝.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·辽宁大连第一次(3月)双基测试)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，曲线C2的参数方程为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为ρ＝1＋cos θ，曲线C4的极坐标方程为ρcos θ＝1.‎ ‎(1)求C3与C4的交点到极点的距离；‎ ‎(2)设C1与C2交于P点，C1与C3交于Q点，当α在上变化时，求|OP|＋|OQ|的最大值．‎ 解：(1)联立得ρ2－ρ－1＝0，解得ρ＝，即交点到极点的距离为.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α，‎ 曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈，联立C1，C2的极坐标方程得ρ＝2sin α，α∈，‎ 即|OP|＝2sin α，α∈，‎ 曲线C1与曲线C3的极坐标方程联立得ρ＝1＋cos α，α∈，‎ 即|OQ|＝1＋cos α，α∈，‎ 所以|OP|＋|OQ|＝1＋2sin α＋cos α＝1＋sin(α＋φ)，其中φ的终边经过点(2，1)，‎ 当α＋φ＝＋2kπ，k∈Z时，|OP|＋|OQ|取得最大值，为1＋.‎ ‎2．(2020·原创冲刺卷二)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＋y＝4，曲线C2：(α为参数)．在同一平面直角坐标系中，曲线C2上的点经过坐标变换得到曲线C3，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求直线C1的极坐标方程和曲线C3的极坐标方程；‎ ‎(2)若射线l：θ＝α(ρ>0)分别交C1与C3于A，B两点，求的取值范围．‎ 解：(1)由C1：x＋y＝4，得直线C1的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝4，‎ 由曲线C2的参数方程得其普通方程为＋＝1，‎ 由可得将其代入＋＝1，‎ 可得(x′－1)2＋y′2＝1，‎ 所以曲线C3的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ ‎(2)设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，则－<α<，‎ 由题可得ρ1＝，ρ2＝2cos α，‎ 所以＝＝×2cos α(cos α＋sin α)＝(cos 2α＋sin 2α＋1)＝，‎ 因为－<α<，‎ 所以－