2020届二轮复习指对数比较大小学案（全国通用） 4页

微专题41 指对数比较大小 ‎ 在填空选择题中我们会遇到一类比较大小的问题，通常是三个指数和对数混在一起，进行排序。这类问题如果两两进行比较，则花费的时间较多，所以本讲介绍处理此类问题的方法与技巧 一、一些技巧和方法 ‎1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来：‎ 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为和 ‎（1）如果底数和真数均在中，或者均在中，那么对数的值为正数 ‎（2）如果底数和真数一个在中，一个在中，那么对数的值为负数 例如：等 ‎2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了 ‎3、比较大小的两个理念：‎ ‎（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况 例如：，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同 ‎，从而只需比较底数的大小即可 ‎（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如，可知，进而可估计是一个1点几的数，从而便于比较 ‎4、常用的指对数变换公式：‎ ‎（1） ‎ ‎（2） ‎ ‎（3） ‎ ‎（4）换底公式： ‎ 进而有两个推论： （令） ‎ 二、典型例题：‎ 例1：设，则的大小关系是______________‎ 思路：可先进行分堆，可判断出，从而肯定最大，只需比较即可，观察到有相同的结构：真数均带有根号，抓住这个特点，利用对数公式进行变换：，从而可比较出，所以 ‎ 答案： ‎ 例2：设，则的大小关系是___________‎ 思路：观察发现均在内，的真数相同，进而可通过比较底数得到大小关系：，在比较和的大小，由于是指数，很难直接与对数找到联系，考虑估计值得大小：，可考虑以为中间量，则，进而，所以大小顺序为 ‎ 答案：‎ 例3：设 则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：观察到都是以为底的对数，所以将其系数“放”进对数之中，再进行真数的比较。发现真数的底与指数也不相同，所以依然考虑“求同存异”，让三个真数的指数一致： ，通过比较底数的大小可得： ‎ 答案：C 小炼有话说：（1）本题的核心处理方式就是“求同存异”，将三个数变形为具备某相同的部分，从而转换比较的对象，将“无法比较”转变为“可以比较”‎ ‎（2）本题在比较指数幂时，底数的次数较高，计算起来比较麻烦。所以也可以考虑将这三个数两两进行比较，从而减少底数的指数便于计算。例如可以先比较，从而，同理再比较或即可 例4：设，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：观察可发现：‎ ‎，所以可得：‎ 答案：D 例5：设 则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：观察可发现的底数相同，的指数相同，进而考虑先进行这两轮的比较。对于，两者底数在，则指数越大，指数幂越小，所以可得，再比较，两者指数相同，所以底数越大，则指数幂越大，所以，综上： ‎ 答案：B 例6：已知三个数，则它们之间的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：可先进行分组，，，所以只需比较大小，两者都介于之间且一个是对数，一个是三角函数，无法找到之间的联系。所以考虑寻找中间值作为桥梁。以作为入手点。利用特殊角的余弦值估计其大小。，而，从而，大小顺序为 答案：A 小炼有话说：在寻找中间量时可以以其中一个为入手点，由于非特殊角的三角函数值可用特殊角三角函数值估计值的大小，所以本题优先选择作为研究对象。‎ 例7：（2015甘肃河西三校第一次联考）设，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：首先进行分组，可得，下面比较的大小，可以考虑以作为中间量，，所以，从而 答案：D 例8：设且，则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：由可得：，先用将分堆，，，则为最大，只需要比较即可，由于的底数与真数不同，考虑进行适当变形并寻找中间量。，而，因为，所以，所以顺序为 ‎ 答案：C 例9：下列四个数：的大小顺序为________‎ 思路：观察发现，其余均为正。所以只需比较，考虑，所以，而，所以下一步比较：，所以，综上所述，大小顺序为 ‎ 答案：‎ 例10：已知均为正数，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：本题要通过左右相等的条件，以某一侧的值作为突破口，去推断的范围。首先观察等式左侧，左侧的数值均大于0，所以可得：均大于0，由对数的符号特点可得：，只需比较大小即可。观察到，从而，所以顺序为 答案：A 小炼有话说：本题也可用数形结合的方式比较大小，观察发现前两个等式右侧为的形式，而第三个等式也可变形为，从而可以考虑视分别为两个函数的交点。先作出图像，再在这个坐标系中作出，比较交点的位置即可。‎