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  • 2021-06-15 发布

2020届二轮复习指对数比较大小学案(全国通用)

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微专题41 指对数比较大小 ‎ 在填空选择题中我们会遇到一类比较大小的问题,通常是三个指数和对数混在一起,进行排序。这类问题如果两两进行比较,则花费的时间较多,所以本讲介绍处理此类问题的方法与技巧 一、一些技巧和方法 ‎1、如何快速判断对数的符号?八字真言“同区间正,异区间负”,容我慢慢道来:‎ 判断对数的符号,关键看底数和真数,区间分为和 ‎(1)如果底数和真数均在中,或者均在中,那么对数的值为正数 ‎(2)如果底数和真数一个在中,一个在中,那么对数的值为负数 例如:等 ‎2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数(如0,1)的大小关系,一作图,自明了 ‎3、比较大小的两个理念:‎ ‎(1)求同存异:如果两个指数(或对数)的底数相同,则可通过真数的大小与指对数函数的单调性,判断出指数(或对数)的关系,所以要熟练运用公式,尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况 例如:,比较时可进行转化,尽管底数难以转化为同底,但指数可以变为相同 ‎,从而只需比较底数的大小即可 ‎(2)利用特殊值作“中间量”:在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤(在兵法上可称为“分割包围,各个击破”,也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计,例如,可知,进而可估计是一个1点几的数,从而便于比较 ‎4、常用的指对数变换公式:‎ ‎(1) ‎ ‎(2) ‎ ‎(3) ‎ ‎(4)换底公式: ‎ 进而有两个推论: (令) ‎ 二、典型例题:‎ 例1:设,则的大小关系是______________‎ 思路:可先进行分堆,可判断出,从而肯定最大,只需比较即可,观察到有相同的结构:真数均带有根号,抓住这个特点,利用对数公式进行变换:,从而可比较出,所以 ‎ 答案: ‎ 例2:设,则的大小关系是___________‎ 思路:观察发现均在内,的真数相同,进而可通过比较底数得到大小关系:,在比较和的大小,由于是指数,很难直接与对数找到联系,考虑估计值得大小:,可考虑以为中间量,则,进而,所以大小顺序为 ‎ 答案:‎ 例3:设 则的大小关系为( )‎ A. B. C. D. ‎ 思路:观察到都是以为底的对数,所以将其系数“放”进对数之中,再进行真数的比较。发现真数的底与指数也不相同,所以依然考虑“求同存异”,让三个真数的指数一致: ,通过比较底数的大小可得: ‎ 答案:C 小炼有话说:(1)本题的核心处理方式就是“求同存异”,将三个数变形为具备某相同的部分,从而转换比较的对象,将“无法比较”转变为“可以比较”‎ ‎(2)本题在比较指数幂时,底数的次数较高,计算起来比较麻烦。所以也可以考虑将这三个数两两进行比较,从而减少底数的指数便于计算。例如可以先比较,从而,同理再比较或即可 例4:设,,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ 思路:观察可发现:‎ ‎,所以可得:‎ 答案:D 例5:设 则的大小关系为( )‎ A. B. C. D. ‎ 思路:观察可发现的底数相同,的指数相同,进而考虑先进行这两轮的比较。对于,两者底数在,则指数越大,指数幂越小,所以可得,再比较,两者指数相同,所以底数越大,则指数幂越大,所以,综上: ‎ 答案:B 例6:已知三个数,则它们之间的大小关系是( )‎ A. B. C. D. ‎ 思路:可先进行分组,,,所以只需比较大小,两者都介于之间且一个是对数,一个是三角函数,无法找到之间的联系。所以考虑寻找中间值作为桥梁。以作为入手点。利用特殊角的余弦值估计其大小。,而,从而,大小顺序为 答案:A 小炼有话说:在寻找中间量时可以以其中一个为入手点,由于非特殊角的三角函数值可用特殊角三角函数值估计值的大小,所以本题优先选择作为研究对象。‎ 例7:(2015甘肃河西三校第一次联考)设,则( )‎ A. B. C. D. ‎ 思路:首先进行分组,可得,下面比较的大小,可以考虑以作为中间量,,所以,从而 答案:D 例8:设且,则的大小关系是( )‎ A. B. C. D. ‎ 思路:由可得:,先用将分堆,,,则为最大,只需要比较即可,由于的底数与真数不同,考虑进行适当变形并寻找中间量。,而,因为,所以,所以顺序为 ‎ 答案:C 例9:下列四个数:的大小顺序为________‎ 思路:观察发现,其余均为正。所以只需比较,考虑,所以,而,所以下一步比较:,所以,综上所述,大小顺序为 ‎ 答案:‎ 例10:已知均为正数,且,则( )‎ A. B. C. D. ‎ 思路:本题要通过左右相等的条件,以某一侧的值作为突破口,去推断的范围。首先观察等式左侧,左侧的数值均大于0,所以可得:均大于0,由对数的符号特点可得:,只需比较大小即可。观察到,从而,所以顺序为 答案:A 小炼有话说:本题也可用数形结合的方式比较大小,观察发现前两个等式右侧为的形式,而第三个等式也可变形为,从而可以考虑视分别为两个函数的交点。先作出图像,再在这个坐标系中作出,比较交点的位置即可。‎