江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题 13页

江苏省南京市四区县 2013 届高三上学期联考 数学试题 2012.12 注意事项： 1．本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题~第 14 题）、解答题（第 15 题~第 20 题）两 部分．本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的 答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答卷纸． 参考公式： 1．样本数据 x1，x2，…，xn 的方差 s2＝1 n i = 1 (xi－－ x )2，其中－ x 是这组数据的平均数． 2．柱体、锥体的体积公式：V 柱体＝Sh，V 锥体＝1 3Sh，其中 S 是柱（锥）体的底面面积，h 是高． 一．填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答题纸相应位置 上． 1．已知集合 M＝{1，2，3，4，5}，N＝{2，4，6，8，10}，则 M∩N＝ ▲ ． 2．若 , 为虚数单位), 则 = ▲ ． 3. 函数 的定义域为 ▲ . 4. 程序框图（即算法流程图）如图（右）所示，其输出结果 是_____▲___. 5. 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有 1，2，3，4，5， 6 个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为 的概率是　　▲ 　 6. 在△ABC 中， ，则 = ▲ ． 7. 在等比数列 中， 为其前 项和，已知 ， ，则此数列的公比 为 ▲ 8. 已知向量 是第二象限角， ，则 = ▲ 9. 设 m，n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，给出下列命题： ①若 ， ，则 ； (1 2 ) ( ,i i a bi a b− = + ∈ R i ab )2lg()( xxf −= 6 sin :sin :sin 2:3: 4A B C = cosC { }na nS n 5 42 3a S= + 6 52 3a S= + q ),cos6,9(),3,5( α−−=−= ba α )2//( baa − αtan α β γ m β⊂ α β⊥ m α⊥ 开始 3←a 13 +← aa 100?a > 输出 a 结束 是 否 ②若 ， ，则 ； ③若 ， ，则 ； ④若 ， ， ，则 ． 上面命题中，真命题的序号是 ▲ （写出所有真命题的序号）． 10. 函数 , 的最大值为 ▲ 11.设椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ，上顶点为 ，过点 与 垂直的直线交 轴负半轴于点 ，且 ．则椭圆 的离心率为 ______▲_____ 12. 过圆 x2＋y2＝1 上一点 P 作圆的切线与 x 轴和 y 轴分别交于 A，B 两点，O 是坐标原点， 则 的最小值是 ▲ ． 13.．已知 的三边长 a，b，c 成等差数列，且 ，则实数 b 的取值范 围是 ▲ 14. 设 函 数 的 定 义 域 为 ， 若 存 在 非 零 实 数 使 得 对 于 任 意 ， 有 ，且 ，则称 为 上的 高调函数．如果定义域为 的函数 是奇函数，当 时， ，且 为 上的 4 高调函数，那么实 数 的取值范围是 ▲ ． 二．解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分） 在三角形 ABC 中，已知 ，设∠CAB＝α， （1）求角 α 的值； m//α m β⊥ α β⊥ α β⊥ α γ⊥ β γ⊥ mα γ = nβ γ = m//n //α β xxxxy cossin2sincos 22 ⋅+−=    ∈ 2,0 π x C )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x 1 2,F F A A 2AF x Q 02 221 =+ QFFF C |2| OBOA + ABC∆ 2 2 2 84a b c+ + = ( )f x D l ( )x M M D∈ ⊆ x l D+ ∈ ( ) ( )f x l f x+ ≥ ( )f x M l R ( )f x 0x≥ 2 2( ) | |f x x a a= − − ( )f x R a 2AB AC AB AC⋅ = ⋅    （2）若 ，其中 ，求 的值. 16．(本小题满分 14 分) 如图的几何体中， 平面 ， 平 面 ， △ 为 等 边 三 角 形 ， ， 为 的中点． （1）求证： 平面 ； （2）求证：平面 平面 . 17. （本小题满分 14 分） 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行 开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发, 且要求用 栏栅隔开( 栏栅要求在一直线上), 公共设施边界为曲线 的一部分,栏栅与矩形区域的边界交 于点 M、N，交曲线于点 P，设 （1）将 （O 为坐标原点）的面积 表示成 的函数 ； （2）若在 处， 取得最小值，求此时 的值及 的最小值. 18. （本小题满分 16 分） 如图：已知 是圆 与 轴的交点， 为直线 上的动点， 与圆 的另一个交点分别为 . （1） 若 点坐标为 ，求直线 的方 程； （2） 求证:直线 过定点. 4 3cos( - )= 7 β α 5( , )3 6 β π π∈ cos β AB ⊥ ACD DE ⊥ ACD ACD ABDEAD 2== F CD //AF BCE BCE ⊥ CDE 2( ) 1 ( 0)f x ax a= − > ( , ( ))P t f t OMN∆ S t ( )S t 1 2t = ( )S t a ( )S t ,A B 2 2 4x y+ = x P : 4l x = ,PA PB 2 2 4x y+ = ,M N P (4,6) MN MN B A E D C F O x y M N P B N M P A O 19．（本题满分 16 分） 已知函数 f(x)＝ax＋x2－xlna(a＞0，a≠1)． （1）当 a＞1 时，求证：函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增； （2）若函数 y＝|f(x)－t|－1 有三个零点，求 t 的值； （3）若存在 x1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1，试求 a 的取值范围． 20．（本题满分 16 分） 设等差数列 的公差 ，数列 为等比数列，若 ， ， （1）求数列 的公比 ； （2）若 ，求 与 之间的关系； （3）将数列 ， 中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列 ，是否 存在正整数 使得 和 均成等差数列？说明 理由。 数学附加题 21．［选做题］在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分，请在 答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A．选修 4－1：（几何证明选讲） 如图，从圆 外一点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， 与 交于点 ，设 为过点 且不过圆心 的一条 弦， 求证： 四点共圆． }{ na 0≠d }{ nb aba == 11 33 ba = 57 ba = }{ nb q *,, Nmnba mn ∈= n m }{ na }{ nb }{ nc rqp ,, )( rqp << rqp ,, rcqcpc rqp +++ ,, O P O A B, AB OP M CD M O O C P D、 、 、 M P A B O C D （第 21—A 题） B．选修 4－2：(矩阵与变换) 已知二阶矩阵 M 有特征值 ＝3 及对应的一个特征向量 ，并且矩阵 M 对应的变 换将点（－1，2）变换成（9，15），求矩阵 M． C．选修 4－4:（坐标系与参数方程） 在极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴 的正半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为 （ 为参数），求直 线 被曲线 所截得的弦长. D．选修 4—5（不等式选讲） 已知实数 满足 ，求 的最小值； ［必做题］第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分，请在答题纸指定区域内作答， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 22．袋中装着标有数字 1，2，3，4 的卡片各 1 张，甲从袋中任取 2 张卡片(每张卡片被取出 的可能性都相等)，并记下卡面数字和为 X，然后把卡片放回，叫做一次操作． （1）求在一次操作中随机变量 X 的概率分布和数学期望 E(X)； （2）甲进行四次操作，求至少有两次 X 不大于 E(X)的概率． λ 1 1 1e  =    C 2 2 sin( )4 πρ θ= − x l 41 5 31 5 x t y t  = +  = − − t l C , ,x y z 2x y z+ + = 2 2 22 3x y z+ + 23．（本小题满分 10 分） 对一个边长互不相等的凸 边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色 中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．所有不同的染色方法记为 （1）求 ； （2）求 数学试题 参考答案 一．填空题： 1．{2，4} 2. 2 3. 4. 283 5. 6. 7. 3 8. 9. ② 10. 11. 12. 3 13. 14. ； 由 为奇函数及 时的解析式知 的图象如下图右所示， ∵ ，由 ，故 ，从而 ，又 时，恒有 ，故 即可． 二．解答题 15．解：（1）由 ，得 ( 3)n n ≥ ( )P n (3), (4), (5)P P P ( )P n ( ]1,∞− 5 36 1 4 − 3 4− 2 2 1=e (2 6,2 7] [ 1, 1]− ( )f x 0x≥ ( )f x 2 2 2(3 ) ( )f a a f a= = − 2 2 2 2( 4) ( ) (3 )f a f a a f a− + − = =≥ 2 24 3a a− + ≥ 2 1a ≤ 2 1a ≤ ( 4) ( )f x f x+ ≥ 2 1a ≤ 2AB AC AB AC⋅ = ⋅    2 cosAB AC AB ACα⋅ = ⋅    a3 an-1an a 2 a 1 所以 ，又因为 为三角形 的内角，所以 ， …………………………………………6 分 （2）由（1）知： ，且 ，所以 …………………………………………8 分 故 ＝ . 　　　　　　…………………………………………14 分 16．（1）证明：取 的中点 ，连结 ． ∵ 为 的中点，∴ 且 ． ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ ，∴ ． 又 ，∴ ． ∴四边形 为平行四边形，则 ． ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ．…………7 分 （2）证明：∵ 为等边三角形， 为 的中点，∴ ∵ 平面 ， ，∴ ． ∵ ，∴ 又 ， ∴ 平面 ． ∵ 平面 ， ∴平面 平面 ．………………14 分 17．解：（1） ，切线的斜率为 ，………1 分 切线 的方程为 令 得 ,………3 分 令 ,得 ………5 分 的面积 ………6 分 1cos 2 α = 0 α< < π ABC 3 α π= 3sin 2 α = (0, )2 β α π− ∈ 1sin( ) 7 β α− = cos cos( ) cos( )cos sin( )sinβ β α α β α α β α α= − + = − − − 4 3 1 1 3 3 3 7 2 7 2 14 × − × = CE G FG BG、 F CD //GF DE 1 2GF DE= AB ⊥ ACD DE ⊥ ACD //AB DE //GF AB 1 2AB DE= GF AB= GFAB //AF BG AF ⊄ BCE BG ⊂ BCE //AF BCE ACD∆ F CD AF CD⊥ DE ⊥ ACD AF ACD⊂ 平面 DE AF⊥ //BG AF ,BG DE BG CD⊥ ⊥ CD DE D∩ = BG ⊥ CDE BG ⊂ BCE BCE ⊥ CDE 2y ax′ = − 2at− ∴ l 2(1 ) 2 ( )y at at x t− − = − − 0,y = 2 2 2 21 1 2 1 2 2 2 at at at atx tat at at − − + += + = = 21( ,0)2 atM at +∴ 0t = 2 2 2 21 2 1 , (0,1 )y at at at N at= − + = + ∴ + MON∴∆ 2 2 2 21 1 (1 )( ) (1 )2 2 4 at atS t atat at + += ⋅ + = B A E D C F G (2) ,由 ,得 ………8 分 当 时, 当 时, 已知在 处, ,故有 ………12 分 故当 时, ………14 分 18．解（1）直线 PA 方程为 , 由 解得 ,………2 分 直线 PB 的方程 ,由 解得 ,………4 分 所以 的方程 ………6 分 (2)法一：设 ,则直线 PA 的方程为 ,直线 PB 的方程为 得 ，同理 ………10 分 直线 MN 的斜率 ……………12 分 直线 MN 的方程为 , 化简得： ……………14 分 所以直线 过定点 …………………16 分 2 4 2 2 2 2 2 3 2 1 ( 1)(3 1)( ) 4 4 a t at at atS t at at + − + −′ = = 0, 0a t> > ( ) 0S t′ = 2 13 1 0, 3 at t a − = =得 2 13 1 0, 3 at t a − > >即 ( ) 0S t′ > 2 13 1 0, 0 3 at t a − < < <即 ( ) 0S t′ < 1 , ( ) 3 t S t a ∴ =当 时 有最小值 1 2t = ( )S t 取得最小值 1 1 4,2 33 a a = ∴ = 4 1,3 2a t= = 2 min 4 1(1 )1 23 4( ) ( ) 4 12 34 3 2 S t S + ⋅ = = = ⋅ ⋅ 2y x= + 2 2 2 4 y x x y = +  + = (0,2)M 3 6y x= − 2 2 3 6 4 y x x y = −  + = 8 6( , )5 5N − MN 2 2y x= − + (4, )p t ( 2)6 ty x= + ( 2)2 ty x= − 2 2 4 ( 2)6 x y ty x  + = = + 2 2 2 72 2 24( , )36 36 t tM t t − + + 2 2 2 2 8 8( , )4 4 t tN t t − − + + 2 2 2 2 2 2 2 24 8 836 4 72 2 2 8 12 36 4 t t tt tk t t t t t −−+ += =− − −−+ + 2 2 2 2 8 2 8 8( )12 4 4 t t ty xt t t −= − −− + + 2 2 8 8 12 12 t ty xt t = −− − MN (1,0) 注：其他解法酌情对应给出相应的分数. 法二：设 ， ，即 , 两边平方得： ，整理得 即 ……（1）,设 的方程为 ，代入 中得 ，得 代入(1)式得 ，即 .当 ， ，或 （舍） 当 时，直线 即为直线 AB，所以直线 过定点 . 19．解：（1） ．………………………3 分 由于 ，故当 时， ，所以 ， 故函数 在 上单调递增．……………………………………………5 分 （2）当 时，因为 ，且 在 R 上单调递增， 故 有唯一解 ．………………………………………………………7 分 所以 的变化情况如下表所示： x 0 － 0 ＋ 递减 极小值 递增 又函数 有三个零点，所以方程 有三个根， 而 ，所以 ，解得 ．………………10 分 （3）因为存在 ，使得 ， 所 以 当 时 ， ． …11 0 1 1 2 2(4, ), ( , ), ( , )P y M x y N x y 0 03 32 6BP AP y yk k= = ⋅ = 1 2 1 2 3 2 2 y y x x =+ − 2 2 1 2 2 2 1 2 9(4 ) 4 ( 2) ( 2) x x x x − −=+ − 1 2 1 2 9(2 ) 2 2 2 x x x x − +=+ − 1 2 1 22 5( ) 8 0x x x x− + + = MN ( )y k x m= − 2 2 4 0x y+ − = 2 2 2 2 2(1 ) 2 4 0k x k mx k m+ − + − = 2 2 2 1 2 1 22 2 2 4,1 1 k m k mx x x xk k −+ = =+ + 2 2 2 2 2 8 10 8 01 1 k m k m k k − − + =+ + 2 2( 5 4) 0k m m− + = 0k ≠ 1m = 4m = 0k = MN MN (1,0) ( ) ln 2 ln 2 ( 1)lnx xf x a a x a x a a′ = + − = + − 1a > (0, )x∈ +∞ ln 0, 1 0xa a> − > ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞ 0, 1a a> ≠ (0) 0f ′ = ( )f x′ ( ) 0f x′ = 0x = , ( ), ( )x f x f x′ ( ,0)−∞ (0, )+∞ ( )f x′ ( )f x | ( ) | 1y f x t= − − ( ) 1f x t= ± 1 1t t+ > − min1 ( ( )) (0) 1t f x f− = = = 2t = 1 2, [ 1,1]x x ∈ − 1 2| ( ) ( ) | 1f x f x e− ≥ − [ 1,1]x∈ − max min max min| ( ( )) ( ( )) | ( ( )) ( ( )) 1f x f x f x f x e− = − ≥ − 分 由（2）知， 在 上递减，在 上递增， 所以当 时， ．…12 分 而 ， 记 ， 因 为 （ 当 时 取 等 号）， 所以 在 上单调递增． 而 ， 故 当 时 ， ； 当 时 ， ． 即 当 时 ， ； 当 时， ．………………………………………………14 分 ①当 时，由 ； ②当 时，由 ． 综上可知，所求 的取值范围为 ．……………………16 分 20、解：（1）设 的公比为 ，由题意 即 ---------------------------------------------2 分 不合题意，故 ，解得 ----------------4 分 （2）由 得 ，又 ------------------6 分 即 --------------------------8 分 -------10 分 ( )f x [ 1,0]− [0,1] [ 1,1]x∈ − { }min max( ( )) (0) 1,( ( )) max ( 1), (1)f x f f x f f= = = − 1 1(1) ( 1) ( 1 ln ) ( 1 ln ) 2lnf f a a a a aa a − − = + − − + + = − − 1( ) 2ln ( 0)g t t t tt = − − > 2 2 1 2 1( ) 1 ( 1) 0g t t t t ′ = + − = − ≥ 1t = 1( ) 2lng t t tt = − − (0, )t ∈ +∞ (1) 0g = 1t > ( ) 0g t > 0 1t< < ( ) 0g t < 1a > (1) ( 1)f f> − 0 1a< < (1) ( 1)f f< − 1a > (1) (0) 1 ln 1f f e a a e a e− ≥ − ⇒ − ≥ − ⇒ ≥ 0 1a< < 1 1( 1) (0) 1 ln 1 0f f e a e aa e − − ≥ − ⇒ + ≥ − ⇒ < ≤ a [ )10, ,a ee  ∈ +∞    }{ nb q    += += daaq daaq 6 2 4 2    =− =− daaq daaq 6 2 4 2 1=q 3 1 1 1 4 2 =− − q q 22 =q 2±=∴q mn ba = 1)1( −=−+ maqdna aaaqd =−= 22 2 ad =∴ 1)2(2 11 −±=−+∴ mn 2 1 1 2)1(1 + −±=+ m mn *1 Nn ∈+ 0)( 1 >±∴ −m 12 2 1 −=∴ +m nm为奇数，且 （3）若 与 有公共项，不妨设 由（2）知： 令 ，则 ---------------------------------------------------------------12 分 若存在正整数 满足题意，则 ，又 又 ， ----------------------14 分 又 在 R 上增， 。与题设 矛盾， 若不存在 满足题意。---------------------------------------------------16 分 }{ na }{ nb mn ba = 12 2 1 −= +m nm为奇数，且 )(12 *Nkkm ∈−= 1112 2)2( −−− •=•= kk m aab ac n n 12 −=∴ )( rqprqp <<、、    +•++•=+• += −−− )2()2()2(2 2 111 rapaqa rpq rpq 11 222 −− +=∴ rpq )""(22222 2211 ===≥+ + −+−− 时取当且仅当 rp rp rPrp  rp ≠ 211 222 rp rp + −− >+∴ xy 2= 2 rpq +>∴ 2 rpq += ∴ rqp 、、 数学附加题 21．A．选修 4－1：（几何证明选讲） 证明：因为 ， 为圆 的两条切线，所以 垂直平分弦 ， 在 中 ， ， ………………4 分 在圆 中， ， 所以， ， ……………8 分 又弦 不过圆心 ，所以 四点共圆． ……………10 分 B．选修 4－2：(矩阵与变换) 设 ，则 ，故 ………………………4 分 ，故 …………………………………7 分 联立以上两方程组解得 ，故 = ． ………………10 分 C．选修 4－4:（坐标系与参数方程） 解：将方程 ， 分别化为普通方程： ，　　 ………(6 分) 由曲线 的圆心为 ，半径为 ，所以圆心 到直线 的距离为 ， 故所求弦长为 ………(10 分) D．选修 4—5（不等式选讲） 解：由柯西不等式可知： ……………………………………5 分 PA PB O OP AB Rt OAP∆ 2OM MP AM⋅ = O AM BM CM DM⋅ = ⋅ OM MP CM DM⋅ = ⋅ CD O O C P D, , , a b c d  =   M 1 1 331 1 3 a b c d        = =               3, 3 a b c d =  = + + ． 1 9 2 15 a b c d −     =           2 9, 2 15 a b c d − = − = + + ． 1, 4, 3, 6a b c d= − = = − = M 1 4 3 6 −   −  2 2 sin( )4 πρ θ= − 41 5 31 5 x t y t  = +  = − − 2 2 2 2 0x y x y+ + − = 3 4 1 0x y+ + = C ( 1,1)C − 2 C l 2 5 22 2 462 2 ( )5 5 − = 2 2 2 2 2 2 21 1( ) ( 2 ) ( 3 ) ( ) ( ) 1 2 3 x y z x y z   + + + + ⋅ + +     ≤ M P A B O C D （第 21—A 题） 故 ，当且仅当 ，即： 取得最小值为 …………………………………………10 分 22．解：（1）由题设知，X 可能的取值为：3，4，5，6，7． 随机变量 X 的概率分布为 X 3 4 5 6 7 P 1 6 1 6 1 3 1 6 1 6 ………………………3 分 因此 X 的数学期望 E(X)＝(3＋4＋6＋7)×1 6＋5×1 3＝5． ………………………5 分 （2）记“一次操作所计分数 X 不大于 E(X)”的事件记为 C，则 P(C)＝P(“X＝3”或“X＝4”或“X＝5”)＝1 6＋1 6＋1 3＝ 2 3． …………………7 分 设四次操作中事件 C 发生次数为 Y，则 Y～B(4， 2 3) 则所求事件的概率为 P(Y≥2)＝1－C 1 4 × 2 3×( 1 3)3－C 0 4 ×( 1 3)4＝ 8 9. ………………10 分 23．解 （1） ， …………3 分 （2）设不同的染色法有 种．易知． 当 时，首先，对于边 ，有 3 种不同的染法，由于边 的颜色与边 的颜色不 同，所以，对边 有 2 种不同的染法，类似地，对边 ，…，边 均有 2 种染法．对于 边 ，用与边 不同的 2 种颜色染色，但是，这样也包括了它与边 颜色相同的情况， 而边 与边 颜色相同的不同染色方法数就是凸 n－1 边形的不同染色方法数的种数 ， 于是可得 ， ． 于是 ， ， ． 综上所述，不同的染色方法数为 ．………………10 分 2 2 2 242 3 11x y z+ + ≥ 2 3 1 1 1 2 3 x y z= = 6 4 12, ,11 11 11x y z= = = 2 2 22 3x y z+ + 24 11 6)3( =P (4) 18, (5) 30P P= = np 4n ≥ 1a 2a 1a 2a 3a 1na − na 1na − 1a 1a na 1np − 1 13 2n n np p− −= × − ( )1 12 2n n n np p − −− = − − ( )3 3 2 32 ( 1) 2 ( 1) 2n n n np p− −− = − − = − ⋅ 2 ( 1) 2n n np = + − ⋅ 3n ≥ 2 ( 1) 2n n np = + − ⋅