2020届广东省惠州市高三上学期第三次调研考试数学（理）试题 17页

‎ 惠州市2020届高三第三次调研考试 ‎ 理科数学 2020.1‎ 全卷满分150分，时间120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。‎ ‎2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。‎ 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。‎ ‎1．已知全集，，则( )．‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设i为虚数单位，复数，则在复平面内对应的点在第( )象限．‎ A．一 B．二 C．三 D．四 ‎3．已知，，，则( )．‎ A． B． C． D．‎ ‎4．在直角坐标系中，已知角θ 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，‎ 终边落在直线上，则= ( )．‎ A． B． C． D．‎ ‎5．在平行四边形ABCD中，，，，为的中点，‎ ‎ 则= ( )．‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设，则“”是“直线与直线平行”‎ 的 ( ) 条件．‎ A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 ‎7．数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，称为斐波那契数列，它是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。该数列从第3‎ 项开始，每项等于其前相邻两项之和，即．记该数列的前项和为，则下列结论正确的是( )．‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8．《易经》是中国传统文化中的精髓之一。右图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，“ ”表示一根阴线）。从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为( )． ‎ A． B． C． D．‎ x y O x y O x y O x y O ‎9．函数的图象的大致形状是( )．‎ A B C D ‎ ‎10．如图，平面过正方体的顶点A，平面平面平面，则m、n所成角的正弦值为( )．‎ A． B． C． D． ‎ ‎11．已知F为抛物线的焦点，点A、B在该抛物线上且位于x轴的两侧，‎ 其中O为坐标原点，则与面积之和的最小值是( )．‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎12．已知函数满足， ‎ 且在上有最小值，无最大值。给出下述四个结论： ； 若，则；‎ 的最小正周期为3； 在上的零点个数最少为1346个． 其中所有正确结论的编号是( )．‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空2分，第二空3分。‎ ‎13．执行如图所示的程序框图，则输出的n值是________．‎ ‎14．若，‎ 则的值是________．‎ ‎15．设数列的前n项和为，若，，‎ ‎，则______，______．‎ ‎16．已知双曲线的离心率，左、右焦点分别为，其中也是抛物线的焦点，与在第一象限的公共点为．若直线斜率为，则双曲线离心率的值是________．‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 在平面四边形中，，，．‎ C A D B ‎（1）若的面积为，求；‎ ‎（2）若，，‎ 求．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，以AE为折痕把折起，使点D到达点P的位置平面．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角的余弦值．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 为发挥体育核心素养的独特育人价值，越来越多的中学将某些体育项目纳入到学生的必修课程。惠州市某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查。‎ ‎（1）已知在被抽取的学生中高一班学生有6名，其中3名对游泳感兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳感兴趣的概率；‎ ‎（2）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级以上游泳比赛中获奖，具体获奖人数如下表所示。若从高一班和高一班获奖学生中随机各抽取2人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为，‎ 求随机变量的分布列及数学期望。‎ 班级 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 市级 比赛获奖人数 ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2‎ 市级以上 比赛获奖人数 ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系中，已知过点的直线与椭圆交于不同的两点，，其中.‎ ‎（1）若，求的面积；‎ ‎（2）在x轴上是否存在定点T，使得直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形。‎ ‎21．（本题满分12分）‎ 已知实数，设函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，若对任意的，均有，‎ 求的取值范围。‎ 注：为自然对数的底数。‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。‎ ‎22．（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若极坐标系内异于的三点，，都在曲线上．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若过，两点的直线参数方程为（为参数），‎ 求四边形的面积．‎ ‎23．（本小题满分10分）[选修4－5：不等式选讲] ‎ 已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若对任意恒成立，求的取值范围．‎ 惠州市2020届高三第三次调研考试 理科数学参考答案及评分细则 一、 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B D A C A D D A D B C ‎1.【解析】，，故选D.‎ ‎2.【解析】，所以对应的点在第二象限，故选B.‎ ‎3.【解析】，，，所以.故选D.‎ ‎4.【解析】因为角θ终边落在直线上，所以，，‎ 所以故选A.‎ ‎5.【解析】如图所示，＝－＝－＝－(＋)‎ ‎＝－(＋)＝－－.故选C.‎ ‎6.【解析】依题意，知－＝－，且－≠，解得a＝±.故选A.‎ ‎7.【解析】‎ ‎，所以，故选D.‎ ‎8.【解析】故选D.‎ ‎9.【解析】是偶函数，排除C、D，又故选A.‎ ‎10.【解析】如图：面，面，面，可知，，因为△是正三角形，所成角为60°．‎ 则m、n所成角的正弦值为．故选D．‎ ‎11.【解析】设直线AB的方程为：，点,， 直线AB与x轴的交点为， 由，根据韦达定理有, ，， 结合及，得，点A、B位于x轴的两侧，‎ ‎，故．不妨令点A在x轴上方，则,又, ． 当且仅当，即时，取“”号，与面积之和的最小值是3．故选B．‎ ‎12.【解析】区间中点为，根据正弦曲线的对称性知,正确。 若，则，即，不妨取，此时，满足条件，但为上的最大值，不满足条件，故错误。‎ 不妨令，，两式相减得, 即函数的周期，故正确。 区间的长度恰好为673个周期，当时，即时，在开区间上零点个数至少为，故错误。 故正确的是，故选C．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空2分，第二空3分。‎ ‎13、6 14、3 15、 1（2分）；121（3分） 16、 ‎ ‎13.【解析】①②③故答案为6.‎ ‎14.【解析】令，得，令，则．所以 ‎15.【解析】由时，，可得，又，即，即有，解得；由，可得，由，可得，，．‎ ‎16.【解析】因为是双曲线的右焦点且是抛物线的焦点，所以，‎ 解得，所以抛物线的方程为：；‎ 由，，‎ 如图过作抛物线准线的垂线，垂足为，设，，‎ 则，∴．‎ 由，可得 在△中，，，，‎ 由余弦定理得 即，化简得 ‎，又，．故答案为．‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）在中，因为，，‎ ‎，……………………………………1分 所以，解得．………………………………………2分 在中，由余弦定理得，……4分 因为，所以． …………………………………………………5分 ‎（2）设，则． ………………6分 在中，因为，所以． ……………7分 在中，， ………………………8分 ‎ 由正弦定理得，即，……9分 所以，所以， …………10分 即， …………………………………………………………11分 所以，即． ……………………………………12分 ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）证明：连接BD，设AE的中点为O，，，‎ 四边形ABCE为平行四边形，………………………………1分 ‎，为等边三角形，……………………2分 又，平面POB，平面POB …3分【注】无写出此步骤不得分。‎ 平面POB ……………………………………………………………4分 又平面POB，． …………………………………………5分 ‎（2）【解法一】向量法 在平面POB内作平面ABCE，垂足为Q，则Q在直线OB上，‎ 直线PB与平面ABCE夹角为，又，，‎ ‎、Q两点重合，即平面ABCE, ……………6分 ‎【注】无证明此得分点不给分。 以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立如图空间直角坐标系， 则0,，0,，，0,，………………7分 设平面PCE的一个法向量为y,，则，即, ……………8分 令，得 ………………………………………………9分 又平面PAE，1,为平面PAE的一个法向量 ……………………10分 设二面角为，则 ……11分 易知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．…………12分 F ‎【解法二】几何法 在平面POB内作平面ABCE，垂足为Q，则Q在直线OB上，‎ 直线PB与平面ABCE夹角为，又，，‎ ‎、Q两点重合，即平面ABCE，……………6分 ‎【注】无证明此得分点不给分。‎ 过点C作CH⊥AE交于点H，连结PH，则二面角A-PE-C与二面角H-PE-C互为补角。‎ 又因为CH⊥PO，所以CH⊥面PAE，‎ 过H作HF⊥PE交于点F，连结CF，由三垂线定理知CF⊥PE 所以∠CFH为二面角H-PE-C的平面角。……………………………………………7分 在Rt△CHE中，∠CEH=60°，CE=1，所以HE=，CE=，……………………8分 在Rt△HFE中，∠FEH=60°，HE=，所以HF=……………………………………9分 在Rt△CHF中，由勾股定理知CF=…………………………………………………10分 故cos∠CFH== ……………………………………………………………………11分 所以二面角的余弦值为．………………………………………………12分 ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）【解法一】‎ 记事件从6名学生抽取的3人中恰好有i人有兴趣，，1，2，；‎ 则与互斥………………………………………………………………………1分 故所求概率为……………2分 ‎ ‎………………………………3分 ‎；…………………………………4分 ‎【解法二】记事件从6名学生抽取的3人中恰好有i人有兴趣，，1，2，；‎ 则与互斥………………………………………………………………………1分 故所求概率为………2分 ‎ ‎………………………………3分 ‎；…………………………………4分 ‎（2）由题意知，随机变量的所有可能取值有0，1，2，3；………………………………5分 ‎ …………………………………………………………6分 ‎ ‎ ………………………………………………7分 ‎ ………………………………………………8分 ‎ …………………………………………9分 则的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ p ‎………10分 ‎【注】无列表此得分点不得分。‎ 数学期望为． ………………………12分 ‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）当时，代入椭圆方程可得或 ……………………1分 若，此时直线l：…………………………………2分 联立，消x整理可得……………………………3分 解得或，故B ……………………………………………………4分 所以的面积为 . …………………………………………………5分 ‎，由对称性知的面积也是，‎ 综上可知，当时，的面积为.……………………………………6分 ‎（2）【解法一】显然直线l的斜率不为0，设直线l： ……………………………7分 联立，消去x整理得 由，得…………8分 则， ,…………………………9分 因为直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形，‎ 所以………………10分 ‎ 设，则, 即,‎ 解得. …………………………………………………………………………………………11分 故x轴上存在定点，使得直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形．……12分 ‎【解法二】显然直线l的斜率存在且不为0，设直线l： ………………………7分 联立，消去整理得 由，得,………………………8分 则， ,…………………………………………9分 因为直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形，所以……………10分 ‎ 设，则 即，‎ 解得. …………………………………………………………………………………………11分 故x轴上存在定点，使得直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形．………12分 ‎21．（本题满分12分）‎ ‎【解析】（1）【解法一】由，解得． ………………1分 若，则当时，，故的单调递增区间为；‎ 当时，，故的单调递减区间为．………2分 若，则当时，，故的单调递增区间为；‎ 当时，，故的单调递减区间为．………3分 综上所述，的单调递增区间为，单调递减区间为．……………4分 ‎【解法二】令其中.令得 ‎ 当 当 ………………1分 又当时，在R上单调递增；‎ 当时，在R上单调递减。……………………………………………2分 由复合函数单调性知，‎ 时，的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ 时，的单调递增区间为，单调递减区间为． …………3分 综上所述，的单调递增区间为，单调递减区间为．……………4分。‎ ‎（2），即（﹡）．‎ 令，得，则． ……………………………………………………5分 当时，不等式（﹡）显然成立， ‎ 当时，两边取对数，即恒成立． …………………6分 令函数，即在内恒成立．……………7分 由，得．‎ 故当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减. ………………………………………8分 因此． ………………………9分 令函数，其中，‎ 则，得，‎ 故当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增． ……………………10分 又，，‎ 故当时，恒成立，因此恒成立， …………………11分 综上知：当时，对任意的，均有成立……12分 ‎22.（本小题满分10分）‎ ‎【解析】（1）【解法1】由，，，…3分 则 ………………4分 所以……………………………………………………………5分 ‎【解法2】的直角坐标方程为，如图所示，……………1分 假设直线OA、OB、OC的方程为，，，，‎ 由点到直线距离公式可知 在直角三角形OMF中，由勾股定理可知，得……………2分 由直线方程可知，，‎ 所以，得………3分 所以，得……4分 所以……………………………………………………………5分 ‎（2）【解法一】曲线的普通方程为：，……………………………………6分 将直线的参数方程代入上述方程，整理得，解得；………7分 平面直角坐标为………………………………………………………8分 则；又得. ……………………………………9分 即四边形面积为为所求. ………10分 ‎【解法二】由BC的参数方程化为普通方程得：………………………5分 联立解得或，即,…………6分 点A的极坐标为，化为直角坐标为………7分 直线OB的方程为，点A到直线OB的距离为………8分 ‎…………………………10分 ‎23．（本小题满分10分）‎ ‎【解析】（1）当时，原不等式等价于，解得，所以………1分 当时，原不等式等价于，解得，所以此时不等式无解…2分 ‎ 当时，原不等式等价于，解得，所以……3分 综上所述，不等式解集为．……………………………………………5分 ‎（2）由，得，‎ 当时，恒成立，所以； …………………………………………6分 当时，．……7分 因为 ……………………8分 当且仅当即或时，等号成立， …………9分 所以，；‎ 综上，的取值范围是． …………………………………………………10分 ‎【注】①如果本题两个小问通过图象法解答，分别正确作出图象（如下图）各1分，正确写出结果各1分，中间过程可酌情给1-2分，但每小问给分最多不超过4分。‎ ‎ ②如果作图的坐标系没有箭头或的标记，扣除过程分1分。‎ ‎ ‎ 第（1）问图象 第（2）问图象