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- 2021-06-15 发布
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第1讲 等差数列和等比数列
考情解读 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点,经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点,考查分析问题、解决问题的综合能力.
1.an与Sn的关系Sn=a1+a2+…+an,an=
2.等差数列和等比数列
等差数列
等比数列
定义
an-an-1=常数(n≥2)
=常数(n≥2)
通项公式
an=a1+(n-1)d
an=a1qn-1(q≠0)
判定方法
(1)定义法
(2)中项公式法:2an+1=an+
an+2(n≥1)⇔{an}为等差数列
(3)通项公式法:an=pn+q(p、q为常数)⇔{an}为等差数列
(4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A、B为常数)⇔{an}为等差数列
(5){an}为等比数列,an>0⇔{logaan}为等差数列
(1)定义法
(2)中项公式法:a=an·
an+2(n≥1)(an≠0)⇔ {an}为等比数列
(3)通项公式法:
an=c·qn(c、q均是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}为等比数列
(4){an}为等差数列⇔{aan}为等比数列(a>0且a≠1)
性质
(1)若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq
(2)an=am+(n-m)d
(3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…,仍成等差数列
(1)若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq
(2)an=amqn-m
(3)等比数列依次每n项和(Sn≠0)仍成等比数列
前n项和
Sn==na1+d
(1)q≠1,Sn==
(2)q=1,Sn=na1
热点一 等差数列
例1 (1)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4+a6=12,则S7的值是( )
A.21 B.24 C.28 D.7
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若-10且a6>|a5|,Sn是数列的前n项的和,则下列说法正确的是( )
A.S1,S2,S3均小于0,S4,S5,S6…均大于0
B.S1,S2,…S5均小于0,S6,S7,…均大于0
C.S1,S2,…S9均小于0,S10,S11…均大于0
D.S1,S2,…S11均小于0,S12,S13…均大于0
答案 (1)A (2)C
解析 (1)因为a8是a7,a9的等差中项,所以2a8=a7+a9=16⇒a8=8,再由等差数列前n项和的计算公式可得S11===11a6,又因为S11=,所以a6=,则d==,所以a12=a8+4d=15,故选A.
(2)由题意可知a6+a5>0,故
S10==>0,
而S9===9a5<0,故选C.
热点二 等比数列
例2 (1)(2014·安徽)数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=_____________________.
(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则等于( )
A.4n-1 B.4n-1
C.2n-1 D.2n-1
思维启迪 (1)列方程求出d,代入q即可;(2)求出a1,q,代入化简.
答案 (1)1 (2)D
解析 (1)设等差数列的公差为d,则a3=a1+2d,
a5=a1+4d,
∴(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),解得d=-1,
∴q===1.
(2)∵∴
由①②可得=2,∴q=,代入①得a1=2,
∴an=2×()n-1=,
∴Sn==4(1-),
∴==2n-1,故选D.
思维升华 (1){an}为等比数列,其性质如下:
①若m、n、r、s∈N*,且m+n=r+s,则am·an=ar·as;
②an=amqn-m;
③Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列(q≠-1).
(2)等比数列前n项和公式
Sn=
①能“知三求二”;②注意讨论公比q是否为1;③a1≠0.
(1)已知各项不为0的等差数列{an}满足a4-2a+3a8=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b2b8b11等于( )
A.1 B.2
C.4 D.8
(2)在等比数列{an}中,a1+an=34,a2·an-1=64,且前n项和Sn=62,则项数n等于( )
A.4 B.5
C.6 D.7
答案 (1)D (2)B
解析 (1)∵a4-2a+3a8=0,∴2a=a4+3a8,即2a=4a7,∴a7=2,∴b7=2,又∵b2b8b11=b1qb1q7b1q10=bq18=(b7)3=8,故选D.
(2)设等比数列{an}的公比为q,由a2an-1=a1an=64,又a1+an=34,解得a1=2,an=32或a1=32,an=2.当a1=2,an=32时,Sn====62,解得q=2.又an=a1qn-1,所以2×2n-1=2n=32,解得n=5.同理,当a1=32,an=2时,由Sn=62,解得q=.由an=a1qn-1=32×()n-1=2,得()n-1==()4,即n-1=4,n=5.综上,项数n等于5,故选B.
热点三 等差数列、等比数列的综合应用
例3 已知等差数列{an}的公差为-1,且a2+a7+a12=-6.
(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn;
(2)将数列{an}的前4项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项,记{bn}的前n项和为Tn,若存在m∈N*,使对任意n∈N*,总有Sn6.即实数λ的取值范围为(6,+∞).
思维升华 等差(比)数列的综合问题的常见类型及解法
(1)等差数列与等比数列交汇的问题,常用“基本量法”求解,但有时灵活地运用性质,可使运算简便.
(2)等差数列、等比数列与函数、方程、不等式等的交汇问题,求解时用等差(比)数列的相关知识,将问题转化为相应的函数、方程、不等式等问题求解即可.
已知数列{an}前n项和为Sn,首项为a1,且,an,Sn成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{bn}满足bn=(log2a2n+1)×(log2a2n+3),求证:+++…+<.
(1)解 ∵,an,Sn成等差数列,∴2an=Sn+,
当n=1时,2a1=S1+,∴a1=,
当n≥2时,Sn=2an-,Sn-1=2an-1-,
两式相减得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,
∴=2,
∴数列{an}是首项为,公比为2的等比数列,
∴an=×2n-1=2n-2.
(2)证明 bn=(log2a2n+1)×(log2a2n+3)=log222n+1-2×log222n+3-2=(2n-1)(2n+1),
=×=(-),
+++…+=[(1-)+(-)+…+(-)]=(1-)<(n∈N*).
即+++…+<.
1.在等差(比)数列中,a1,d(q),n,an,Sn五个量中知道其中任意三个,就可以求出其他两个.解这类问题时,一般是转化为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算.
2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具,应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形.
3.等差、等比数列的单调性
(1)等差数列的单调性
d>0⇔{an}为递增数列,Sn有最小值.
d<0⇔{an}为递减数列,Sn有最大值.
d=0⇔{an}为常数列.
(2)等比数列的单调性
当或时,{an}为递增数列,当或时,{an}为递减数列.
4.常用结论
(1)若{an},{bn}均是等差数列,Sn是{an}的前n项和,则{man+kbn},{}仍为等差数列,其中m,k为常数.
(2)若{an},{bn}均是等比数列,则{can}(c≠0),{|an|},{an·bn},{manbn}(m为常数),{a},{}仍为等比数列.
(3)公比不为1的等比数列,其相邻两项的差也依次成等比数列,且公比不变,即a2-a1,a3-a2,a4-a3,…,成等比数列,且公比为==q.
(4)等比数列(q≠-1)中连续k项的和成等比数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,成等比数列,其公差为qk.
等差数列中连续k项的和成等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,成等差数列,公差为k2d.
5.易错提醒
(1)应用关系式an=时,一定要注意分n=1,n≥2两种情况,在求出结果后,看看这两种情况能否整合在一起.
(2)三个数a,b,c成等差数列的充要条件是b=,但三个数a,b,c成等比数列的充要条件是b2=ac.
真题感悟
1.(2014·大纲全国)等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lg an}的前8项和等于( )
A.6 B.5 C.4 D.3
答案 C
解析 数列{lg an}的前8项和S8=lg a1+lg a2+…+lg a8=lg(a1·a2·…·a8)=lg(a1·a8)4
=lg(a4·a5)4=lg(2×5)4=4.
2.(2014·北京)若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=________时,{an}的前n项和最大.
答案 8
解析 ∵a7+a8+a9=3a8>0,∴a8>0.
∵a7+a10=a8+a9<0,∴a9<-a8<0.
∴数列的前8项和最大,即n=8.
押题精练
1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,则下列一定成立的是( )
A.若a3>0,则a2 013<0
B.若a4>0,则a2 014<0
C.若a3>0,则a2 013>0
D.若a4>0,则a2 014>0
答案 C
解析 因为a3=a1q2,a2 013=a1q2 012,而q2与q2 012均为正数,若a3>0,则a1>0,所以a2 013>0,故选C.
2.已知数列{an}是首项为a,公差为1的等差数列,bn=.若对任意的n∈N*,都有bn≥b8成立,则实数a的取值范围为________.
答案 (-8,-7)
解析 an=a+(n-1)×1=n+a-1,所以bn==,因为对任意的n∈N*,都有bn≥b8成立,即≥(n∈N*)恒成立,即≤0(n∈N*),则有解得-80,∴an+1=an+2.
∴当n≥2时,{an}是公差d=2的等差数列.
∵a2,a5,a14构成等比数列,
∴a=a2·a14,(a2+6)2=a2·(a2+24),解得a2=3,
由条件可知,4a1=a-5=4,∴a1=1,
∵a2-a1=3-1=2,
∴{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列.
∴等差数列{an}的通项公式为an=2n-1.
∵等比数列{bn}的公比q===3,
∴等比数列{bn}的通项公式为bn=3n.
(2)Tn===,
∴(+)k≥3n-6对任意的n∈N*恒成立,
∴k≥对任意的n∈N*恒成立,
令cn=,cn-cn-1=-=,
当n≤3时,cn>cn-1;
当n≥4时,cn0,上式不成立;
当n为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 012,
即2n≥2 012,得n≥11.
综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n的集合为{n|n=2k+1,k∈N,k≥5}.