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- 2021-06-15 发布
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课时跟踪检测(七十九) 不等式的证明
1.(2017·全国卷Ⅱ)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:
(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2)a+b≤2.
证明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6
=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)
=4+ab(a2-b2)2≥4.
(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)
=2+,
所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.
2.设a,b为正实数,且+=2.
(1)求a2+b2的最小值;
(2)若(a-b)2≥4(ab)3,求ab的值.
解:(1)由2=+≥2 ,得ab≥,
当a=b=时取等号.
故a2+b2≥2ab≥1,当a=b=时取等号.
所以a2+b2的最小值是1.
(2)由(a-b)2≥4(ab)3,得2≥4ab,
即2-≥4ab,从而ab+≤2.
又ab+≥2,当且仅当ab=1时取等号.
所以ab=1.
3.已知函数f(x)=k-|x-3|,k∈R,且f(x+3)≥0的解集为[-1,1].
(1)求k的值;
(2)若a,b,c是正实数,且++=1,求证:a+2b+3c≥9.
解:(1)因为f(x)=k-|x-3|,
所以f(x+3)≥0等价于|x|≤k,
由|x|≤k有解,得k≥0,且解集为[-k,k].
因为f(x+3)≥0的解集为[-1,1],所以k=1.
(2)证明:由(1)知++=1,
因为a,b,c是正实数,
所以a+2b+3c=(a+2b+3c)
=3++++++
=3+++
≥3+2 +2 +2 =9.
当且仅当a=2b=3c时,等号成立.
因此a+2b+3c≥9.
4.(2019·南宁联考)已知函数f(x)=|x-1|.
(1)求不等式f(x)≥3-2|x|的解集;
(2)若函数g(x)=f(x)+|x+3|的最小值为m,正数a,b满足a+b=m,求证:+≥4.
解:(1)当x≥1时,原不等式可化为x-1≥3-2x,解得x≥,∴x≥;
当0<x<1时,原不等式可化为1-x≥3-2x,解得x≥2,无解;
当x≤0时,原不等式可化为1-x≥3+2x,解得x≤-,∴x≤-.
∴原不等式的解集为.
(2)证明:∵g(x)=|x-1|+|x+3|≥|(x-1)-(x+3)|=4,∴m=4,即a+b=4.
又+b≥2a,+a≥2b,当且仅当a=b时等号成立,
∴两式相加得+≥2a+2b,
∴+≥a+b=4,
当且仅当a=b=2时等号成立.
5.(2019·长春质量检测)(1)已知函数f(x)=|x+1|+|x-a|(a>0),若不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤-2或x≥3},求a的值;
(2)已知a,b,c为正实数,且a+b+c=m,求证:++≥.
解:(1)因为a>0,
所以f(x)=|x+1|+|x-a|=
又不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤-2或x≥3},
解得a=2.
(2)证明:++
=
=
=
≥.
6.设函数f(x)=|x-2|+2x-3,记f(x)≤-1的解集为M.
(1)求M;
(2)当x∈M时,求证:x[f(x)]2-x2f(x)≤0.
解:(1)由已知,得f(x)=
当x≤2时,由f(x)=x-1≤-1,
解得x≤0,此时x≤0;
当x>2时,由f(x)=3x-5≤-1,
解得x≤,显然不成立.
故f(x)≤-1的解集为M={x|x≤0}.
(2)证明:当x∈M时,f(x)=x-1,
于是x[f(x)]2-x2f(x)=x(x-1)2-x2(x-1)=-x2+x=-2+.
令g(x)=-2+,
则函数g(x)在(-∞,0]上是增函数,∴g(x)≤g(0)=0.
故x[f(x)]2-x2f(x)≤0.
7.已知函数f(x)=|x-1|.
(1)解不等式f(2x)+f(x+4)≥8;
(2)若|a|<1,|b|<1,a≠0,求证:>f.
解:(1)f(2x)+f(x+4)=|2x-1|+|x+3|
=
当x<-3时,由-3x-2≥8,解得x≤-;
当-3≤x<时,-x+4≥8,无解;
当x≥时,由3x+2≥8,解得x≥2.
所以不等式f(2x)+f(x+4)≥8的解集为
.
(2)证明:>f等价于f(ab)>|a|f,
即|ab-1|>|a-b|.
因为|a|<1,|b|<1,
所以|ab-1|2-|a-b|2
=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)
=(a2-1)(b2-1)>0,
所以|ab-1|>|a-b|.
故所证不等式成立.
8.设函数f(x)=x-|x+2|-|x-3|-m,若∀x∈R,-4≥f(x)恒成立.
(1)求实数m的取值范围;
(2)求证:log(m+1)(m+2)>log(m+2)(m+3).
解:(1)∵∀x∈R,-4≥f(x)恒成立,
∴m+≥x-|x+2|-|x-3|+4恒成立.
令g(x)=x-|x+2|-|x-3|+4=
则函数g(x)在(-∞,3]上是增函数,
在(3,+∞)上是减函数,
∴g(x)max=g(3)=2,∴m+≥g(x)max=2,
即m+-2≥0⇒=≥0,∴m>0.
综上,实数m的取值范围是(0,+∞).
(2)证明:由m>0,知m+3>m+2>m+1>1,
即lg(m+3)>lg(m+2)>lg(m+1)>lg 1=0.
∴要证log(m+1)(m+2)>log(m+2)(m+3).
只需证>,
即证lg(m+1)·lg(m+3)<lg2(m+2).
又lg(m+1)·lg(m+3)<2
=<=lg2(m+2),
∴log(m+1)(m+2)>log(m+2)(m+3)成立.