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  • 2021-06-15 发布

【数学】2020届一轮复习(理)通用版选修4-5-2不等式的证明作业

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课时跟踪检测(七十九) 不等式的证明 ‎1.(2017·全国卷Ⅱ)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:‎ ‎(1)(a+b)(a5+b5)≥4;‎ ‎(2)a+b≤2.‎ 证明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6‎ ‎=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)‎ ‎=4+ab(a2-b2)2≥4.‎ ‎(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3‎ ‎=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)‎ ‎=2+,‎ 所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.‎ ‎2.设a,b为正实数,且+=2.‎ ‎(1)求a2+b2的最小值;‎ ‎(2)若(a-b)2≥4(ab)3,求ab的值.‎ 解:(1)由2=+≥2 ,得ab≥,‎ 当a=b=时取等号.‎ 故a2+b2≥2ab≥1,当a=b=时取等号.‎ 所以a2+b2的最小值是1.‎ ‎(2)由(a-b)2≥4(ab)3,得2≥4ab,‎ 即2-≥4ab,从而ab+≤2.‎ 又ab+≥2,当且仅当ab=1时取等号.‎ 所以ab=1.‎ ‎3.已知函数f(x)=k-|x-3|,k∈R,且f(x+3)≥0的解集为[-1,1].‎ ‎(1)求k的值;‎ ‎(2)若a,b,c是正实数,且++=1,求证:a+2b+3c≥9.‎ 解:(1)因为f(x)=k-|x-3|,‎ 所以f(x+3)≥0等价于|x|≤k,‎ 由|x|≤k有解,得k≥0,且解集为[-k,k].‎ 因为f(x+3)≥0的解集为[-1,1],所以k=1.‎ ‎(2)证明:由(1)知++=1,‎ 因为a,b,c是正实数,‎ 所以a+2b+3c=(a+2b+3c) ‎=3++++++ ‎=3+++ ‎≥3+2 +2 +2 =9.‎ 当且仅当a=2b=3c时,等号成立.‎ 因此a+2b+3c≥9.‎ ‎4.(2019·南宁联考)已知函数f(x)=|x-1|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≥3-2|x|的解集;‎ ‎(2)若函数g(x)=f(x)+|x+3|的最小值为m,正数a,b满足a+b=m,求证:+≥4.‎ 解:(1)当x≥1时,原不等式可化为x-1≥3-2x,解得x≥,∴x≥;‎ 当0<x<1时,原不等式可化为1-x≥3-2x,解得x≥2,无解;‎ 当x≤0时,原不等式可化为1-x≥3+2x,解得x≤-,∴x≤-.‎ ‎∴原不等式的解集为.‎ ‎(2)证明:∵g(x)=|x-1|+|x+3|≥|(x-1)-(x+3)|=4,∴m=4,即a+b=4.‎ 又+b≥2a,+a≥2b,当且仅当a=b时等号成立,‎ ‎∴两式相加得+≥2a+2b,‎ ‎∴+≥a+b=4,‎ 当且仅当a=b=2时等号成立.‎ ‎5.(2019·长春质量检测)(1)已知函数f(x)=|x+1|+|x-a|(a>0),若不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤-2或x≥3},求a的值;‎ ‎(2)已知a,b,c为正实数,且a+b+c=m,求证:++≥.‎ 解:(1)因为a>0,‎ 所以f(x)=|x+1|+|x-a|= 又不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤-2或x≥3},‎ 解得a=2.‎ ‎(2)证明:++ ‎= ‎= ‎= ‎≥.‎ ‎6.设函数f(x)=|x-2|+2x-3,记f(x)≤-1的解集为M.‎ ‎(1)求M;‎ ‎(2)当x∈M时,求证:x[f(x)]2-x2f(x)≤0.‎ 解:(1)由已知,得f(x)= 当x≤2时,由f(x)=x-1≤-1,‎ 解得x≤0,此时x≤0;‎ 当x>2时,由f(x)=3x-5≤-1,‎ 解得x≤,显然不成立.‎ 故f(x)≤-1的解集为M={x|x≤0}.‎ ‎(2)证明:当x∈M时,f(x)=x-1,‎ 于是x[f(x)]2-x2f(x)=x(x-1)2-x2(x-1)=-x2+x=-2+.‎ 令g(x)=-2+,‎ 则函数g(x)在(-∞,0]上是增函数,∴g(x)≤g(0)=0.‎ 故x[f(x)]2-x2f(x)≤0.‎ ‎7.已知函数f(x)=|x-1|.‎ ‎(1)解不等式f(2x)+f(x+4)≥8;‎ ‎(2)若|a|<1,|b|<1,a≠0,求证:>f.‎ 解:(1)f(2x)+f(x+4)=|2x-1|+|x+3|‎ ‎= 当x<-3时,由-3x-2≥8,解得x≤-;‎ 当-3≤x<时,-x+4≥8,无解;‎ 当x≥时,由3x+2≥8,解得x≥2.‎ 所以不等式f(2x)+f(x+4)≥8的解集为 .‎ ‎(2)证明:>f等价于f(ab)>|a|f,‎ 即|ab-1|>|a-b|.‎ 因为|a|<1,|b|<1,‎ 所以|ab-1|2-|a-b|2‎ ‎=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)‎ ‎=(a2-1)(b2-1)>0,‎ 所以|ab-1|>|a-b|.‎ 故所证不等式成立.‎ ‎8.设函数f(x)=x-|x+2|-|x-3|-m,若∀x∈R,-4≥f(x)恒成立.‎ ‎(1)求实数m的取值范围;‎ ‎(2)求证:log(m+1)(m+2)>log(m+2)(m+3).‎ 解:(1)∵∀x∈R,-4≥f(x)恒成立,‎ ‎∴m+≥x-|x+2|-|x-3|+4恒成立.‎ 令g(x)=x-|x+2|-|x-3|+4= 则函数g(x)在(-∞,3]上是增函数,‎ 在(3,+∞)上是减函数,‎ ‎∴g(x)max=g(3)=2,∴m+≥g(x)max=2,‎ 即m+-2≥0⇒=≥0,∴m>0.‎ 综上,实数m的取值范围是(0,+∞).‎ ‎(2)证明:由m>0,知m+3>m+2>m+1>1,‎ 即lg(m+3)>lg(m+2)>lg(m+1)>lg 1=0.‎ ‎∴要证log(m+1)(m+2)>log(m+2)(m+3).‎ 只需证>,‎ 即证lg(m+1)·lg(m+3)<lg2(m+2).‎ 又lg(m+1)·lg(m+3)<2‎ ‎=<=lg2(m+2),‎ ‎∴log(m+1)(m+2)>log(m+2)(m+3)成立.‎